2022年高考一轮复习第26课随机事件及其概率

第十章概率与统计2022年高考一轮复习指导第26课随机事件及其概率■陕西省宝鸡市金台高中晁群彦一.考点解析及考纲要求【考点解析】本节课考点有三个方面，事件与概率、古典概型、随机数与几何概型，把握古典概型、随机数与几何概型的概念以及概率特征，并准确的运算.①利用古典概型的概率时要分清楚基本事件总数和事件A所包含的基本事件的个数.②利用几何概型的概率时要分清楚事件A发生的区域和基本事件发生的区域的大小.③本考点重点是古典概型，难点是几何概型的意义.在求古典概型的概率时，把基本事件列举出来是解答问题的关键.而求几何概型的概率关键是确定事件A以及基本事件发生的区域和区域的大小.【考纲要求】1.事件与概率（1）了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性，了解概率的意义以及概率与频率的区别.（2）了解两个互斥事件的概率加法公式.古典概型（1）理解古典概型及其概率计算公式.(2)会计算一些随机事件所含的基本事件数机事件发生的概率.3.随机数与几何概型（1）了解随机数的意义，能运用模拟方法估计概率.（2）了解几何概型的意义.二.复习小节【知识点梳理】1.随机事件和确定事件在一定条件下，一定发生的事件叫做必然事件.在一定条件下，一定分不会发生的事件叫做不可能事件.必然事件和不可能事件统称为确定事件.可能发生也可能不发生的事件叫做随机事件.确定事件和随机事件统称为事件，一般用大写字母A，B，C…表示.2.频率与概率（1）在相同条件下重复次试验，事件A出现的次数和试验的总次数的比称为事件A发生的频率.(2)对于给定的事件A，如果随着试验次数的增加，事件A发生的频率稳定在某个常数上，把这个常数叫做事件A发生的概率.3.古典概型(1)满足①试验所有可能的结果是有限的，每次试验结果只有一个.②每次试验出现的结果是等可能的.这两个特征的概率模型叫做古典概型.（2）古典概型的概率公式几何概型向平面区域G内随机的投掷点M，若点M落在子区域的概率与的面积成正比，与G的形状、位置无关，则成这种概率模型为几何概型.几何概型的特点①无限性：在一次试验中出现的结果有无限多个；②等可能性：每个结果的发生是等可能的.③几何概型的概率公式【复习指导】复习这部分知识先要搞清楚事件的种类，分析并判断概率是哪一种概率模型；其次是正确的运用公式完成解答.其中用列举法、图表法或排列组合计算事件的个数是解答问题的根本，注意把握.三.对2022年高考命题分析立足事件和概率模型命制试题事件及其概率是概率内容的根本，也是高考的热点，主要命题形式在于填空选择题.例1.（2022·陕西卷）甲乙两人一起去游“2022西安世园会”，他们约定，各自独立地从1到6号景点中任选4个进行游览，每个景点参观1小时，则最后一小时他们同在一个景点的概率是()\f(1,36)\f(1,9)\f(5,36)\f(1,6)【解析】对本题我们只看甲乙二人游览的最后一个景点，最后一个景点的选法有Ceq\o\al(1,6)×Ceq\o\al(1,6)＝36(种)，若两个人最后选同一个景点共有Ceq\o\al(1,6)＝6(种)选法，所以最后一小时他们在同一个景点游览的概率为P＝eq\f(C\o\al(1,6),C\o\al(1,6)×C\o\al(1,6))＝eq\f(1,6).【命题分析】甲乙二人游览的最后一个景点与否是随机的，最后一个景点的选择也是随机的.同时他们彼此到达最后一个景点是相互独立的，在每个小时两人出现在相应的景点是互斥的基本事件，结果是有限的、等可能的.全面的考察了事件及其概率，因此本题考查了事件及其概率、古典概型.例2.（2022·湖南卷）已知圆C：x2＋y2＝12，直线l：4x＋3y＝25.(1)圆C的圆心到直线l的距离为________；(2)圆C上任意一点A到直线l的距离小于2的概率为________．【解析】(1)圆心到直线的距离为：d＝eq\f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(－25)),\r(32＋42))＝5;图1－4(2)当圆C上的点到直线l的距离是2时有两个点为点B与点D，设过这两点的直线方程为4x＋3y＋c＝0，同时可得到的圆心到直线4x＋3y＋c＝0的距离为OC＝3，又圆的半径为r＝2eq\r(3)，可得∠BOD＝60°，由图1－2可知点A在弧eq\x\to(BD)上移动，弧长leq\x\to(BD)＝eq\f(1,6)×c＝eq\f(c,6)，圆周长c，故P(A)＝eq\f(l\x\to(BD),c)＝eq\f(1,6).【命题分析】本题考查几何概型的概率，命题背景是直线与圆的位置关系，让考生在熟悉的环境下，去发现、寻找事件A发生的区域（弧长）与基本事件区域（弧长），从而求概率.同时考察了学生分析问题、解决问题的能力以及数形结合与转化化归的数学思想.2.在概率和统计的交汇处命题把概率和统计结合在一起命题是高考常考的一种形式，既能考查统计的相关内容，也考察了概率的有关内容，同时也考察了考生的数学能力，主要是解答题的类型.例3.（2022·广东卷）在某次测验中，有6位同学的平均成绩为75分．用xn表示编号为n(n＝1,2，…，6)的同学所得成绩，且前5位同学的成绩如下：编号n,1,2,3,4,5成绩xn,70,76,72,70,72(1)求第6位同学的成绩x6，及这6位同学成绩的标准差s；(2)从前5位同学中，随机地选2位同学，求恰有1位同学成绩在区间(68,75)中的概率．【解答】(1)∵eq\x\to(x)＝eq\f(1,6)eq\o(,\s\do4(n＝1))xn＝75，∴x6＝6eq\x\to(x)－eq\o(,\s\do4(n＝1))xn＝6×75－70－76－72－70－72＝90，s2＝eq\f(1,6)eq\o(,\s\do4(n＝1))(xn－eq\x\to(x))2＝eq\f(1,6)(52＋12＋32＋52＋32＋152)＝49，∴s＝7.(2)从5位同学中随机选取2位同学，共有如下10种不同的取法：{1,2}，{1,3}，{1,4}，{1,5}，{2,3}，{2,4}，{2,5}，{3,4}，{3,5}，{4,5}．选出的2位同学中，恰有1位同学的成绩位于(68,75)的取法共有如下4种：{1,2}，{2,3}，{2,4}，{2,5}，故所求概率为eq\f(2,5).【命题分析】此题以在平均数、标准差为依托，考察了统计中的平均数和方差以及古典概型的概率，要求考生既要掌握统计意义，同时还要掌握古典概型的实际意义，综合考察考生的能力.以现实生活为背景考查考生的应用能力概率源于生活并且应用于生活，以实际应用题的形式考察概率是高考试题的另一种形式.例4,（2022·福建卷）某日用品按行业质量标准分成五个等级，等级系数X依次为1,2,3,4,5.现从一批该日用品中随机抽取20件，对其等级系数进行统计分析，得到频率分布表如下：X12345频率abc(1)若所抽取的20件日用品中，等级系数为4的恰有3件，等级系数为5的恰有2件，求a，b，c的值；(2)在(1)的条件下，将等级系数为4的3件日用品记为x1，x2，x3，等级系数为5的2件日用品记为y1，y2，现从x1，x2，x3，y1，y2这5件日用品中任取两件(假定每件日用品被取出的可能性相同)，写出所有可能的结果，并求这两件日用品的等级系数恰好相等的概率．【解答】(1)由频率分布表得a＋＋＋b＋c＝1，即a＋b＋c＝.因为抽取的20件日用品中，等级系数为4的恰有3件，所以b＝eq\f(3,20)＝.等级系数为5的恰有2件，所以c＝eq\f(2,20)＝.从而a＝－b－c＝.所以a＝，b＝，c＝.(2)从日用品x1，x2，x3，y1，y2中任取两件，所有可能的结果为：{x1，x2}，{x1，x3}，{x1，y1}，{x1，y2}，{x2，x3}，{x2，y1}，{x2，y2}，{x3，y1}，{x3，y2}，{y1，y2}．设事件A表示“从日用品x1，x2，x3，y1，y2中任取两件，其等级系数相等”，则A包含的基本事件为：{x1，x2}，{x1，x3}，{x2，x3}，{y1，y2}，共4个．又基本事件的总数为10，故所求的概率P(A)＝eq\f(4,10)＝.【命题分析】本题以现实生活为背景，考查事件及其概率、古典概型及概率，考查分类讨论、数据处理、分析问题与解决问题的能力.四．核心考点分析本章重点内容是事件及其概率、古典概型和几何概型，高考考查的核心内容是古典概型，因为这一考点既可以覆盖