抽样分布与参数估计

抽样分布与参数估计第一页，共四十五页，2022年，8月28日抽样分布总体、样本、个体总体：具有某种特征的一类事物的全体个体：构成总体的每一个基本单位称为个体样本：从总体中随机抽取的由一部分个体组成的新的集合称为该总体的一个样本。第二页，共四十五页，2022年，8月28日例6.1如果请你完成一项名为“第二十七届奥运会参赛中国选手心理健康状况调查”的研究，请确定研究的总体、样本和个体。例6.2如果请你完成一项名为“大学新生入学适应状况调查”的研究，请确定研究的总体、样本和个体。第三页，共四十五页，2022年，8月28日有限总体和无限总体构成总体的个体数目是有限的构成总体的个体数目是无限的样本容量（n）大样本（n>=30）小样本（n<30）第四页，共四十五页，2022年，8月28日参数与统计量参数（又称总体参数）：描述一个总体的特征的一些统计指标，由总体数据得到。统计量（样本统计量）：描述样本特征的统计指标，由样本数据得到。第五页，共四十五页，2022年，8月28日第六页，共四十五页，2022年，8月28日抽样设计统计科学描述统计推断统计参数估计假设检验总体样本抽样设计描述和推断统计分析第七页，共四十五页，2022年，8月28日随机抽样简单随机抽样：使总体中所有抽样单元都有相等的概率被抽取到样本中去的一种抽样方法。抽签法随机数码表第八页，共四十五页，2022年，8月28日抽签法将总体中的每个个体编好序号中，号码写在签上将签充分混合从中随机抽取n个签，与签上号码相对应的个体组成样本。有放回与无放回第九页，共四十五页，2022年，8月28日随机抽样机械抽样（等距抽样，系统随机抽样）把总体中每个个体编号按一定间距进行取样间距大小决定于样本容量与总体容量的比率比率越小，则间距越大比率越大，则间距越小一项关于全市居民小区住宅楼质量的调查，考虑如何运用机械抽样？第十页，共四十五页，2022年，8月28日随机抽样分层抽样（分层随机抽样）先将总体划分成若干个层次，在每层中随机抽取一些个体组成样本按比例分层抽样非比例分层抽样一群男性中，5％为高收入者，65％为中等收入者，30％为低收入者，试确定他们的平均收入入。该如何确定样本？第十一页，共四十五页，2022年，8月28日男性总体N=1000高收入中收入低收入男性样本N=1005%65%30%5人65人30人图6.1按比例分层随机抽样示意图第十二页，共四十五页，2022年，8月28日随机抽样整群抽样（整群随机抽样）常与分层抽样结合使用，将总体分成若干层次，选取一些基本层次中的全部个体构成样本考虑在北京市中学教师心理健康调查研究中，如何运用整群随机抽样进行取样？第十三页，共四十五页，2022年，8月28日中学教师总体普通中学职业中学重点非重点艺术非艺术样本A所B所C所D所图6.2分层整群随机抽样示意图第十四页，共四十五页，2022年，8月28日抽样分布抽样分布的概念抽样分布：样本的某种统计量（随机变量）的分布，如样本平均数的分布，标准差的分布，方差的分布，离差的分布，相关系数的分布，等等。第十五页，共四十五页，2022年，8月28日区分三种不同性质的分布总体分布：总体内个体数据的频数分布。样本分布：样本内个体数据的频数分布。抽样分布：指某种样本统计量的所有可能值构成的分布。第十六页，共四十五页，2022年，8月28日抽样分布：以平均数的抽样分布为例平均数抽样分布的基本理论平均数的抽样分布的平均数记作抽样分布的标准差称为标准误，平均数的抽样分布的标准差记作统计上证明，，而平均数抽样分布的标准误，则依平均数抽样分布的形态有不同的求法。样本平均数与总体平均数的离差，依随平均数的抽样分布而有不同的分布形态。第十七页，共四十五页，2022年，8月28日总体为正态分布时，平均数的抽样分布的标准误及离差的求法总体分布为正态，总体方差已知，则平均数抽样分布的标准误为公式6.1平均数抽样分布的离差为第十八页，共四十五页，2022年，8月28日总体分布为正态，总体方差未知如果样本容量n>30，平均数的抽样分布近似正态，可用样本的标准差代替总体标准差标准误为离差为第十九页，共四十五页，2022年，8月28日总体分布为正态，总体方差未知如果样本容量n<30，平均数的抽样分布会怎么样？此时，平均数抽样分布的标准误？此时，平均数抽样分布的离差？第二十页，共四十五页，2022年，8月28日t分布Studentt的来历t分布的形成条件总体是正态分布总体方差未知样本容量小于30样本平均数的抽样分布为t分布还有其他一些统计量的抽样分布在一定条件下也服从t分布。第二十一页，共四十五页，2022年，8月28日总体正态分布，方差未知，样本容量小于30时，平均数的抽样分布的标准误为自由度df=n-1上述公式只是样本平均数分布的标准误的估计值。第二十二页，共四十五页，2022年，8月28日则，平均数的抽样分布的平均数与总体平均数的离差表示为t，t值服从t分布第二十三页，共四十五页，2022年，8月28日t分布的特点与正态分布相似之处：钟形对称曲线，平均数为０，取值范围为与正态分布不同之处：形态不由标准差决定，而由自由度决定，自由度越大，越接近正态分布，自由度越小，双尾翘得越高样本容量趋于无穷大时，t分布的标准差趋近于１第二十四页，共四十五页，2022年，8月28日图6.3正态分布曲线标准正态分布第二十五页，共四十五页，2022年，8月28日关于单尾和双尾概率的表示如果概率表示的是一侧尾部的面积，t值记作如果概率表示的是双侧尾部的面积之和，t值记作第二十六页，共四十五页，2022年，8月28日图6.4

T分布示意图第二十七页，共四十五页，2022年，8月28日总体分布与抽样分布正态平均数：正态离差：标准正态方差已知？？？总体分布：抽样分布：平均数：近似正态离差：标准正态n>30n<30平均数：T分布离差：T分布方差未知第二十八页，共四十五页，2022年，8月28日参数估计点估计区间估计总体样本抽样设计参数估计：点估计区间估计第二十九页，共四十五页，2022年，8月28日点估计－以平均数和标准差为例假设某地小学五年级学生语文统考成绩服从正态分布。现随机抽取27名五年级学生的成绩进行统计，。试估计该地小学五年级学生语文平均成绩和标准差。第三十页，共四十五页，2022年，8月28日假设某地小学五年级学生语文统考成绩服从正态分布。现随机抽取40名五年级学生的成绩进行统计，。试估计该地小学五年级学生语文平均成绩和标准差。第三十一页，共四十五页，2022年，8月28日区间估计置信区间与置信度置信度：估计总体参数落在某一区间的可能性或概率置信区间：估计总体参数所在区间的长度显著性水平：犯错误的概率，表示为。其与置信度的和为１。区间估计的基本原理解决总体参数的范围大小和正确估计的概率问题常见置信度为0.95或0.99，即显著性水平为0.05或0.01区间估计的关键是根据抽样分布的标准误计算出区间长度，标准误越小，置信区间越小，反之越大。增加加样本容量可以减小标准误。第三十二页，共四十五页，2022年，8月28日以平均数为例的区间估计：总体方差已知假设某地小学五年级学生语文统考成绩服从正态分布。已知，现随机抽取27名五年级学生的成绩进行统计，平均分为78分，试求该地小学五年級学生语文平均成绩的95％的置信区间。第三十三页，共四十五页，2022年，8月28日图6.1平均数的抽样分布95％99％68.3％第三十四页，共四十五页，2022年，8月28日第三十五页，共四十五页，2022年，8月28日第三十六页，共四十五页，2022年，8月28日以平均数为例的区间估计：总体方差已知假设某地小学五年级学生语文统考成绩服从正态分布。已知，现随机抽取27名五年级学生的成绩进行统计，平均分为78分，试求该地小学五年級学生语文平均成绩的95％的置信区间。第三十七页，共四十五页，2022年，8月28日总体方差未知，且样本容量小于30显著性水平为（置信度为1-）时，总体平均数的置信区间为第三十八页，共四十五页，2022年，8月28日总体平均数区间估计的计算步骤计算样本平均数计算平均数抽样分布的标准误根据置信度要求及抽样分布的形态查出Z值或T值计算置信区间解释总体参数的置信区间第三十九页，共四十五页，2022年，8月28日置信区间的表示方法第四十页，共四十五页，2022年，8月28日假设某地小学五年级学生语文统考成绩服从正态分布。现随机抽取26名五年级学生的成绩进行统计，平均分为78分，标准差为3分，试求该地小学五年級学生语文平均成绩的95％的置信区间。第四十一页，共四十五页，2022年，8月28日解：已知根据公式得到标准误为

估计总体平均数的0.95的置信区间为：答：估计该地小学五年級学生语文平均成绩落在分之间的可靠性为（置信度）为95％。第四十二页，共四十五页，2022年，8月28日估计总体平均数时样本容量的确定

----总体方差已知时某研究者要对某市中考数学成绩的总体平均分数进行估计，据历次中考成绩记录，中考数学成绩的标准差为10分。要使这次估计的误差不超过2分，且具有95％的可靠程度，则至少要抽取多少名学生的数学成绩？分析：第四十三页，共四十五页，2022年，8月28日本章复习：点估计例6.16某县初一学生数学统考成绩服从正态分布，某校26名学生参加考试，成绩如下：

8572648773506874597581638265708074636065888679817470

运用点估计，估计某县初一学生的数学统考的均值和方差。第四十四页，共四十五页，2022