《圆内接正多边形》示范公开课教案【九年级数学下册北师大版】

《正多边形和圆》教学设计教学目标1.了解正多边形的概念、正多边形和圆的关系，并会用量角器和圆规画出圆的内接正n边形.2.理解并掌握正多边形的半径、边长和边心距之间的关系.3.会应用正多边形和圆的有关知识解决实际问题.4.培养学生的自主学习能力和创新意识，感受圆的对称美，正多边形和圆的和谐美.二、教学重难点重点：了解正多边形和圆的关系，会用量角器和圆规画出圆的内接正n边形.难点：会用尺规作图的方法作圆内接正方形和正六边形.三、教学用具电脑、多媒体、课件、教学用具等四、教学过程设计教学环节教师活动学生活动设计意图环节一创设情境【复习回顾】教师活动：教师提出问题，引导学生回答，师生共同回顾、交流，适时做好总结.问题：观察下面图形，说一说什么是正多边形？预设：各边相等，各角也相等的多边形叫做正多边形.如果一个正多边形有n条边，那么这个正多边形叫做正n边形.学生思考回答问题.回顾旧知识，为本节课作正多边形知识做铺垫.环节二探究新知【思考】提出问题：观察如下图案，它们有什么特征呢？预设1：正多边形的顶点都在圆上预设2：正多边形在圆的内部总结：像这样，顶点都在同一圆上的正多边形叫做圆内接正多边形.这个圆叫做该正多边形的外接圆.追问：你知道还有哪些相关概念吗？预设：如图，圆心O叫做这个正五边形的中心；OA是这个正五边形的半径；∠AOB是这个正五边形的中心角；OM⊥BC，垂足为M，OM是这个正五边形的边心距.【做一做】利用尺规作一个已知圆的内接正六边形.分析：画出此图的关键是把圆六等分.作法：①先在O上选定一点A1作为起点；②再依次截取等于R的弦，确定点A2、A3、A4、A5、A6；，则A1、A2、A3、A4、A5、A6是O的六等分点；③顺次连接这6个分点，便得到这个圆的内接正六边形.追问：还有其他的作法吗？作法：①先在O上任意画一条直径CF；②再分别以点C、F为圆心，以O的半径R为半径作弧，与O相交于点B、D和A、E，则A、B、C、D、E、F是O的六等分点；③顺次连接这6个分点，便得到这个圆的内接正六边形.注：这样画可以减少累积误差.【想一想】怎样用尺规作一个正十二边形？作一个正三角形呢？作圆内接正方形呢？作法：(1)用直尺和圆规作出一个正六边形ABCDEF.(2)作各边的垂直平分线，与圆分别又有六个交点G，H，I，J，K，L.(3)顺次连接点A，B，C，D，E，F，G，H，I，J，K，L.十二边形ABCDEFGHIJKL就是所要求作的正十二边形.作法：(1)用直尺和圆规作出一个正六边形ABCDEF.(2)顺次连接点A，C，E，A.三角形ACE就是所要求作的正三角形.作法：(1)任意画线段AC，以AC为直径作圆O；(2)分别以点A，点C为圆心，大于AC小于AC的长为半径作弧，两弧交于一点；(3)圆心O与两弧交点的连线与圆O交于点B，D(4)顺次连接A，B，C，D，A；四边形ABCD就是所要求作的圆内接正方形.【归纳】画正多边形的步骤：①先任意画出一个圆；②接着等分圆；(根据多边形的边数或者其它特殊特征把圆进行等分，选择最优方案进行等分.)③顺次链接前边得到的等分点，即可得到要画的正多边形.思考并回答问题.概括总结.思考回答问题.概括总结.学生自己动手尝试画图学生独立完成，并交流反馈.学生与教师一起归纳总结.通过此活动，学习圆内接正多边形及其相关的概念.通过此活动进一步巩固对圆内接正多边形的认识和理解，同时引导学生从多个角度进行分析，尽量用多种方法解决问题.进一步熟悉利用直尺和圆规作正多边形的基本思路和步骤.进一步掌握尺规作图特殊正多边形的画法.环节三应用新知【典型例题】教师活动：提出问题，学生先独立思考，解答.然后再小组交流探讨，教师巡视，如遇到有困难的学生适当点拨，最终教师展示答题过程.例如图，在圆内接正六边形ABCDEF中，半径OC=4，OG⊥BC，垂足为G，求这个正六边形的中心角、边长和边心距.分析：正六边形的中心角→正六边形的中心角是360°÷6；正六边形的边长→求得中心角是60°，则△OCD是等边三角形.正六边形的边心距→求边心距直接根据勾股定理计算即可.解：连接OD.∵六边形ABCDEF为正六边形，∴∠COD=360°6=60°.∴△∴CD=OC=4.在Rt△COG中，OC=4，CG=12BC=1∴正六边形ABCDEF的中心角为60°，边长为4，边心距为思考问题明确例题的做法.通过典型例题的分析与讲解让学生进步一步掌握本节课的新知识，并总结概括解题的方法和技巧.环节四巩固新知教师给出练习，随时观察学生完成情况并相应指导，最后给出答案，根据学生完成情况适当分析讲解.1.圆内接正六边形的一边所对的圆周角是()A.30°B.60°C.150°D.30°或150°答案：D.2.如果一个正多边形的一个外角等于36°，那么这个正多边形的内角和等于()A.1620°B.1080°C.1260°D.1440°答案：D.3.正八边形至少绕中心旋转＿＿＿°，才能与原正八边形重合.答案：454.已知圆内接正方形的边长为，则该圆的内接正六边形的边长＿＿＿.答案：15.用量角器画一个已知圆的内接八边形.作法：①画一个⊙O，用量角器画一个45°的圆心角∠A1OA2；②再以点A2为圆心、以弦A2A1为半径作弧，在⊙O上截得点A3；③然后以点A3为圆心、以弦A2A1为半径作弧，在⊙O上截得点A4…这样继续下去，就可以把⊙O分成8等份；④顺次连接这8个分点，便得到了⊙O的一个圆内接正八边形.6.分别求出半径为6的圆内接正三角形的边长和边心距.解：如图，连接CO，AO，过O点作OD⊥AC，交AC于D∵∠COD=∠AOC=×=60°，∴OD=CO·cos60°=6×=3，CD=CO·sin60°=6×=.∴AC=2CD=.∴正三角形的边长为，边心距为3.自主完成练习，然后集体交流评价.及时练习巩固，体现学以致用的观念，消除学生学无所用的思想顾虑.并能在练习中联系相关知识分析、推理，说明解决问题的想法，发展能力.积极的思维活动，获得相关问题的成功体验，培养学生对推理知识学习的兴趣.环节五课堂小结