天津市南开区育红中学2021年中考数学模拟试卷（解析版）(一)

天津市南开区育红中学2021年中考数学模拟试卷（解析版）

一、挑选题：每小题3分，共12题，共计36分.

1.下列等式正确的是（）

C.V^=-3

2.下列计算正确的是（）

A.(a5)2=a10B.X16-7-X4=X：'4C.2a2+3a2=6a4D.b3»b3-2b3

3.一家商店把某商品按标价的九折出售仍可获利15%,若该商品的进价是35元，若

设标价为x元，则可列得方程（）

90%x-359%x-35

A.—^15%B.

90%x—359%x-35

--------------=15%D.

C.x

Ay

4.已知(x-y)(2x-y)=0(xy¥0),则y+x的值是（)

111

A.2B.-27C.-2或-2彳D.2或2]

5.F列基本几何体中，从正面、上面、左面观察都是相同图形的是（）

A.

长方体

6.甲、乙、丙、丁四位选手各10次射击成绩的平均数和方差如下表:

选手甲乙丙丁

平均数（环）9.29.29.29.2

方差（环2）0.0350.0150.0250.027

则这四人中成绩发挥最稳定的是（）

A.甲B.乙C.丙D.丁

7.若关于x的一元二次方程x2-4x-k=0有两个实数根，则（）

A.k>4B.k>-4C.k》4D.k2-4

8.已知一次函数y=kx+b的图象经过第一、二、四象限，则反比例函数丫=乎的图象

在（）

A.第一、二象限B.第三、四象限C.第一、三象限D.第二、四象限

9.如图，己知四边形ABCD是平行四边形，要使它成为菱形，那么需要添加的条件

A.AC1BDB.AB=ACC.ZABC=90°D.AC=BD

10.如图所示，矩形纸片ABCD中，AB=6cm,BC=8cm,现将其沿EF对折，使得点

C与点A重合，则AF长为（）

A.----cmB.cmC.----cmD.8cm

842

11.圆I是三角形ABC的内切圆，D,E,F为3个切点，若NDEF=52。，则/A的

度数为（）

A.68°B.52°C.76°D.38°

12.如图，在边长为4的正方形ABCD中，动点P从A点出发，以每秒1个单位长度

的速度沿AB向B点运动，同时动点Q从B点出发，以每秒2个单位长度的速度沿

BCfCD方向运动，当P运动到B点时，P、Q两点同时停止运动.设P点运动的时间

为t,4APQ的面积为S,则S与t的函数关系的图象是（）

二、填空题：每小题3分，共6题，共计18分.

13.伍的算术平方根是.

14.分解因式：-X3+2X2-x=.

15.在一个不透明的袋子中装有仅颜色不同的10个小球，其中红球4个，黑球6个，先

从袋子取出m个红球，再放入m个一样的黑球并摇匀，随机摸出一个球是黑球的概

率等于卷，则m的值为.

16.已知反比例函数丫=-区，则有

X

①它的图象在一、三象限：

②点（-2,4）在它的图象上；

③当l<x<2时，y的取值范围是-8Vy<-4；

④若该函数的图象上有两个点A（xi，yi）,B（X2，y2），那么当x1<X2时，y）

<Y2

以上叙述正确的是.

17.如图AABC中，BE平分/ABC,DE〃BC,若DE=2AD,AE=2,那么EC=.

18.如图，边长为6的等边三角形ABC中，E是对称轴AD上的一个动点,连接EC,

将线段EC绕点C逆时针旋转60。得到FC,连接DF.

(1)4ABC的面积等于；

(2)则在点E运动过程中，DF的最小值是

三、解答题：共66分.

'3(x-3)〉x-4

19.解一元一次不等式组，2x+l、.•

-->x-1

3

20."宜居长沙”是我们的共同愿景，空气质量倍受人们的关注.我市某空气质量检测站

点检测了该区域每天的空气质量情况，统计了2021年1月份至4月份若干天的空气质量

情况，并绘制了如下两幅不完整的统计图，请根据图中信息，解答下列问题:

各类空气质量天数

条形统计图各类空气天数

扇形统计图

60

50

40

30

20

10

r

0优良轻度震类型

污染

（1）统计图共统计了天空气质量情况.

（2）请将条形统计图补充完整，并计算空气质量为"优"所在扇形圆心角度数.

（3）从小源所在班级的40名同学中，随机选取一名同学去该空气质量监测点参观，则

恰好选到小源的概率是儿？

四、解答题：

21.（10分）（2021•河东区模拟）如图，某校综合实践活动小组的同学欲测量公园内

一棵树DE的高度，他们在这棵树正前方一座楼亭前的台阶上A点处测得树顶端D的仰

角为30。，朝着这棵树的方向走到台阶下的点C处，测得树顶端D的仰角为60。.已

知A点的高度AB为2m,台阶AC的坡度为1：且B,C,E三点在同一条直

线上.请根据以上条件求出树DE的高度（测倾器的高度忽略不计）.

22.（10分）（2021♦南开区校级模拟）如图，已知AB是。。的直径，点C在。O

上，过点C的直径与AB的延长线交于点P,AC=PC,ZCOB=2ZPCB.

（1）求证：PC是。0的切线；

（2）求证：BC=yAB；

（3）点M是弧AB的中点，CM交AB于点N,若AB=4,求MN・MC的值.

23.（10分）（2021•南开区校级模拟）某移动通讯公司开设了两种通讯业务："全球通"

使用者先缴50元月租费，然后每通话1分钟，再付话费0.4元；"神舟行"不缴月租费，每

通话Imin付费0.6元.若一个月内通话xmin,两种方式的费用分别为yi元和y2元.

（1）写出yi、y2与x之间的函数关系式；

（2）一个月内通话几分钟，两种移动通讯费用相同；

（3）某人估计一个月内通话300min,应挑选哪种移动通讯合算些.

24.（10分）（2021•南开区校级模拟）边长为2的正方形ABCD的两顶点A、C分

别在正方形EFGH的两边DE、DG上（如图1）,现将正方形ABCD绕D点顺时针旋

转，当A点第一次落在DF上时停止旋转，旋转过程中，AB边交DF于点M,BC边

交DG于点N.

（1）求边DA在旋转过程中所扫过的面积；

（2）旋转过程中，当MN和AC平行时（如图2）,求正方形ABCD旋转的度数；

（3）如图3,设aMBN的周长为p,在旋转正方形ABCD的过程中，p值是否有

变化？请证明你的结论.

25.（10分）（2021•昆明）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+^x+c（aWO）

与x轴交于A、B两点（点A在点B的右侧），与y轴交于点C,点A的坐标为（4,

0）,抛物线的对称轴是直线x=1-.

（1）求抛物线的解析式；

（2）M为第一象限内的抛物线上的一个点，过点M作MGJ_x轴于点G,交AC于点

H,当线段CM=CH时，求点M的坐标；

（3）在（2）的条件下，将线段MG绕点G顺时针旋转一个角a（0。＜。＜90。）,在

旋转过程中，设线段MG与抛物线交于点N,在线段GA上是否存在点P,使得以P、

N、G为顶点的三角形与AABC相似？加入存在，请求出点P的坐标；加入不存在，请

2021年天津市南开区育红中学中考数学模拟试卷

参考答案与试题解析

一、挑选题：每小题3分，共12题，共计36分.

1.下列等式正确的是（）

A-借土VB.Cg=-3D.

【考点分析】算术平方根.

【考点剖析】A、根据算术平方根的定义即可判定；

B、根据负数没有平方根即可判定；

C、根据立方根的定义即可判定：

D、根据算术平方根的管道定义算术平方根为非负数，负数没有平方根.

【解答】解：A、序号,故选项A错误；

B、由于负数没有平方根，故选项B错误；

C、行市=-3，故选项C错误；

D、J（_/）2号故选项正确.

故答案选D.

【点评】本题所考查的是对算术平方根的正确理解和运用，要求学生对于这些基本知识

比较熟练.

2.下列计算正确的是（)

A.(a5)2=a10B.x16-?x4=x4C.2a2+3a2=6a4D.b3»b3：::2b3

【考点分析】同底数嘉的除法；合并同类项；同底数'幕的乘法；塞的乘方与积的乘方.

【考点剖析】根据基的乘方、同底数嘉的乘法、同类项和同底数事的除法计算即可.

【解答】解：A、(a5)2=aQ正确；

B、X16-rX4=X12,错误；

C、2a2+3a2=5a2,错误；

D、b3»b3=b6,错误；

故选A

【点评】此题考查事的乘方、同底数嘉的乘法、同类项和同底数基的除法，关键是根

据法则进行计算.

3.一家商店把某商品按标价的九折出售仍可获利15%,若该商品的进价是35元，若

设标价为X元，则可列得方程()

a90%x-359%x-35

A.----------=15%B.

35一3/5一=15%

C90%x二359%x-35

=15%D--------=15%

xx

【考点分析】由实际问题抽象出一元一次方程.

【考点剖析】等量关系为：(售价-进价)+进价=15%,把相关数值代入即可.

【解答】解：实际售价为90%x,

利润为90%x-35,

__..90%x-35

所rr以iu可r列力程为—————=15%，

35

故选A.

【点评】考查列一元一次方程；得到利润的等量关系是解决本题的关键.

4.已知(x-y)(2x-y)=0(xy#0)，则三+工的值是()

yx

A.2B.-2—C.-2或-2工D.2或2工

222

【考点分析】分式的化简求值.

【考点剖析】先根据题意求出X,y的关系，再把原式进行化简，把X,y的关系式代

入进行解答即可.

【解答】解：；(x-y)(2x-y)=0(xy#0),

x-y=0或2x-y=0,解得x=y或2x=y.

原式=(x+y)fxy=(x+y)2_

xyxy

4y2

当x=y时，原式=芍--2=4-2=2；

y

、9x2

当2x=y时，原式=-----2=4.5-2=2.5.

2-

原式的值是2或2a.

故选D.

【点评】本题考查的是分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解答此题的关

键.

5.下列基本几何体中，从正面、上面、左面观察都是相同图形的是()

A.

长方体

【考点分析】简单几何体的三视图.

【考点剖析】分别写出各选项中几何体的三视图，然后挑选答案即可.

【解答】解：A、从正面看是长方形，从上面看是圆，从左面看是长方形：

B、从正面看是两个长方形，从上面看是三角形，从左面看是长方形；

C、从正面、上面、左面观察都是圆；

D、从正面看是长方形，从上面看是长方形，从左面看是长方形，但三个长方形的长

与宽不相同.

故选C.

【点评】本题考查了几何体的三种视图，掌握定义是关键.注意所有的看到的棱都应

表现在三视图中.

6.甲、乙、丙、丁四位选手各10次射击成绩的平均数和方差如下表:

选手甲乙丙丁

平均数(环)9.29.29.29.2

方差(环2)0.0350.0150.0250.027

则这四人中成绩发挥最稳定的是()

A.甲B.乙C.丙D.丁

【考点分析】方差.

【考点剖析】根据方差的定义，方差越小数据越稳定.

【解答】解：因为S单2>S#>S丙2>S乙2,方差最小的为乙，所以本题中成绩比较稳

定的是乙.

故选B.

【点评】本题考查方差的意义.方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表

明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组

数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定.

7.若关于x的一元二次方程x2-4x-k=0有两个实数根，则()

A.k>4B.k>-4C.k》4D.k2-4

【考点分析】根的判别式.

【考点剖析】根据关于x的一元二次方程x2-4x-k=0有两个实数根，得到△=(-4)2

-4X1X(-k)》0,从而求出k的取值范围.

【解答】解：•••一元二次方程x2-4x-k=0有两个实数根，

；.△=(-4)2-4XIX(-k)20,

即：16+4k20,

解得：k2-4,

故选：D.

【点评】此题主要考查了一元二次方程根的情况与判别式，关键是掌握一元二次方程根

的情况与判别式△的关系：

(1)△>()0方程有两个不相等的实数根；

(2)△=()0方程有两个相等的实数根；

(3)△<0=方程没有实数根.

8.已知一次函数y=kx+b的图象经过第一、二、四象限，则反比例函数y=此的图象

x

在()

A.第一、二象限B.第三、四象限C.第一、三象限D.第二、四象限

【考点分析】反比例函数的性质；一次函数的性质.

【考点剖析】先根据一次函数的性质求出kb的正负情况，再利用反比例函数的性质解

答.

【解答】解：；一次函数丫=1«+15的图象经过第一、二、四象限，

.*.k<0,b>0,

.\kb<0,

...反比例函数丫=蛇的图象在第二、四象限.

X

故选D.

【点评】先利用一次函数的性质确定k,b的取值，再根据取值情况确定反比例函数的系

数kb的正负，再利用性质求解.

9.如图，已知四边形ABCD是平行四边形，要使它成为菱形，那么需要添加的条件

A.AC1BDB.AB=ACC.ZABC=90°D.AC=BD

【考点分析】菱形的判定.

【考点剖析】根据菱形的判定方法有四种:①定义：一组邻边相等的平行四边形是菱

形；②四边相等；③对角线互相垂直平分的四边形是菱形，④对角线平分对角，作出

挑选即可.

【解答】解：A、•..四边形ABCD是平行四边形，AC1BD,

，平行四边形ABCD是菱形，故本选项正确；

B、•.•四边形ABCD是平行四边形，AB=ACWBC,

平行四边形ABCD不是，故本选项错误；

C、二•四边形ABCD是平行四边形，NABC=90°,

四边形ABCD是矩形，

不能推出，平行四边形ABCD是菱形，故本选项错误；

D、•.•四边形ABCD是平行四边形，AC=BD

四边形ABCD是矩形，不是菱形.

故选：A.

【点评】本题考查了平行四边形的性质，菱形的判定方法；注意：菱形的判定定理有:

①有一组邻边相等的平行四边形是菱形，②四条边都相等的四边形是菱形，③对角

线互相垂直的平行四边形是菱形.

10.如图所示，矩形纸片ABCD中，AB=6cm,BC=8cm,现将其沿EF对折，使得点

C与点A重合，则AF长为()

A.--cmB.--cmC.--cmD.8cm

842

【考点分析】翻折变换(折叠问题).

【考点剖析】设AF=xcm,则DF=(8-x)cm,利用矩形纸片ABCD中，现将其沿EF

对折，使得点C与点A重合，由勾股定理求AF即可.

【解答】解：设AF=xcm,则DF=(8-x)cm,

•••矩形纸片ABCD中，AB=6cm,BC=8cm,现将其沿EF对折，使得点C与点A重合,

...DF=D'F,

在RtAADT中，AF2=AD，2+DT2,

X2=62+(8-x)2,

解得：x=2^(cm).

4

故选：B.

【点评】本题考查了图形的翻折变换，解题过程中应注意折叠是一种对称变换，它属于

轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变是解题关键.

II.圆I是三角形ABC的内切圆，D,E,F为3个切点，若/DEF=52。，则/A的

度数为()

D

I

A.68°B.52°C.76°D.38°

【考点分析】三角形的内切圆与内心.

【考点剖析】先利用切线的性质得NIDA=/IFA=90。，则根据四边形的内角和得到/A+

ZDIF=180°,再根据圆周角定理得到NDIF=2NDEF=104。，然后利用互补计算/A的度

数即可.

【解答】解：：圆I是三角形ABC的内切圆，

.,.IDIAB,IF±AC,

，NIDA=NIFA=90°,

.,.ZA+ZDIF=180°,

ZDIF=2ZDEF=2X52°=104°,

.•.ZA=180°-104°=76°.

故选C.

【点评】本题考查了三角形的内切圆与内心：记住三角形内心的性质（三角形的内心到

三角形三边的距离相等；三角形的内心与三角形顶点的连线平分这个内角）.解决本题

的关键是求出/DIF.

12.如图，在边长为4的正方形ABCD中，动点P从A点出发，以每秒1个单位长度

的速度沿AB向B点运动，同时动点Q从B点出发，以每秒2个单位长度的速度沿

BCfCD方向运动，当P运动到B点时，P、Q两点同时停止运动.设P点运动的时间

为t,4APQ的面积为S,则S与t的函数关系的图象是()

【考点分析】动点问题的函数图象.

【考点剖析】本题应分两段进行解答，①点P在AB上运动，点Q在BC上运动，②点

P在AB上运动，点Q在CD上运动，依次得到S与t的关系式即可得到函数图象.

【解答】解：①点P在AB上运动，点Q在BC上运动，此时AP=t,QB=2t,

故可得S=*AP・QB=t2,函数图象为抛物线；

②点P在AB上运动，点Q在CD上运动，

此时AP=t,4APQ底边AP上的高保持不变，为正方形的边长4,

故可得S=*APX4=2t,函数图象为一次函数.

综上可得总过程的函数图象，先是抛物线，然后是一次增函数.

故选：D.

【点评】此题考查了动点问题的函数图象，解答本题关键是分段求解，注意在第二段时,

△APQ底边AP上的高保持不变，难度一般.

二、填空题：每小题3分，共6题，共计18分.

13.阮的算术平方根是2.

【考点分析】算术平方根.

【考点剖析】首先根据算术平方根的定义求出J五的值，然后再利用算术平方根的定义

即可求出结果.

【解答】解：VV16=4，

•'•4正的算术平方根是«=2・

故答案为：2.

【点评】此题主要考查了算术平方根的定义，注意要首先计算收=4.

14.分解因式：-x3+2x2-X=-x(x-l)2.

【考点分析】提公因式法与公式法的综合运用.

【考点剖析】先提取公因式-X,再利用完全平方公式进行二次分解.完全平方公式：(a

-b)2=a2-2ab+b2.

【解答】解：-X3+2X2-X,

=-x(x2-2x+l)...(提取公因式)

=-X(X-I)2....(完全平方公式)

【点评】本题考查了提公因式法，公式法分解因式，提取公因式后利用完全平方公式进行

二次分解，注意分解要彻底.在提取负号时，要注意各项符号的变化.

15.在一个不透明的袋子中装有仅颜色不同的10个小球，其中红球4个，黑球6个，先

从袋子取出m个红球，再放入m个一样的黑球并摇匀，随机摸出一个球是黑球的概

率等于2则m的值为2.

5

【考点分析】概率公式.

【考点剖析】由概率=所求情况数与总情况数之比，可得方程，继而求得答案.

【解答】解：根据题意得：婴=4-

105

解得：m=2.

故答案为：2.

【点评】此题考查了概率公式的应用.用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数

之比.

16.已知反比例函数丫=一2，则有

X

①它的图象在一、三象限：

②点（-2,4）在它的图象上；

③当l〈x<2时，y的取值范围是-8<yV-4；

④若该函数的图象上有两个点A（X|,y1）,B（X2，y2），那么当x1<X2时，yi

<Y2

以上叙述正确的是②③•

【考点分析】反比例函数的性质.

【考点剖析】利用反比例函数的性质逐条进行分析后即可确定正确的答案.

【解答】解：@Vk=-8<0,.♦.它的图象在一、三象限错误：

②；-2X4=-8,...点（-2,4）在它的图象上正确；

③当l<x<2时，y的取值范围是-8<y<-4,正确；

④当两个点A（X],yi）,B（X2>y2）分别位于不同的象限时，则xi<X2时，yi

Vy2错误，

故答案为：②③.

【点评】考查了反比例函数的性质，对于反比例函数丫=k，当k>0时，在每一个象限

X

内，函数值y随自变量X的增大而减小；当kvo时，在每一个象限内，函数值y随自

变量x增大而增大.

17.如图4ABC中，BE平分NABC,DE〃BC,若DE=2AD,AE=2,那么EC=4.

【考点分析】平行线分线段成比例；等腰三角形的判定与性质.

【考点剖析】由BE平分NABC,DE/7BC,易得4BDE是等腰三角形，即可得BD=2AD,

又由平行线分线段成比例定理，即可求得答案.

【解答】解：VDE/7BC,

.\ZDEB=ZCBE,

「BE平分NABC,

.'.ZABE=ZCBE,

AZABE=ZDEB,

.\BD=DE,

VDE=2AD,

.\BD=2AD,

VDE/7BC,

AAD：DB=AE：EC,

，EC=2AE=2X2=4.

故答案为：4.

【点评】此题考查了平行线分线段成比例定理以及等腰三角形的判定与性质.注意掌握线

段的对应关系是解此题的关键.

18.如图，边长为6的等边三角形ABC中，E是对称轴AD上的一个动点，连接EC,

将线段EC绕点C逆时针旋转60。得到FC,连接DF.

(1)z^ABC的面积等于」盗_；

(2)则在点E运动过程中，DF的最小值是1.5.

【考点分析】旋转的性质；等边三角形的性质.

【考点剖析】(1)根据等边三角形的性质得到NB=60。，由AD是AABC的对称轴，

得到ADLBC,求得AD=2^AB=3«,根据三角形的面积公式即可得到结论；

(2)取AC的中点G,连接EG,根据等边三角形的性质可得CD=CG,再求出NDCF=

ZGCE,根据旋转的性质可得CE=CF,然后利用“边角边"证明4DCF和4GCE全等，再

根据全等三角形对应边相等可得DF=EG,然后根据垂线段最短可得EG,AD时最短，再

根据NCAD=30。求解即可.

【解答】解：(1)ABC是等边三角形，

ZB=60°,

「AD是AABC的对称轴，

AAD1BC,

.•.AD=^AB=3«,

；•SAABC=*BC・AD弓X6X3T=9立；

故答案为：

(2)如图，取AC的中点G,连接EG,

•・•旋转角为60。，

AZECD+ZDCF=60°,

XVZECD+ZGCE=ZACB=60°,

AZDCF=ZGCE,

TAD是等边△ABC的对称轴，

.,.CD=—BC,

2

；.CD=CG,

又；CE旋转至！JCF,

；.CE=CF,

在4DCF和4GCE中，

'CEXF

,ZDCF=ZGCE.

,CD=CG

.•.△DCF^AGCE(SAS),

；.DF=EG,

根据垂线段最短，EGLAD时，EG最短，即DF最短,

此时ZCAD=yX60°=30°,AG=yAC=yX6=3,

.\EG=—AG=—X3=1.5,

22

；.DF=1.5.

故答案为：1.5.

【点评】本题考查了旋转的性质，等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，垂

线段最短的性质，作辅助线构造出全等三角形是解题的关键，也是本题的难点.

三、解答题：共66分.

’3(x-3)〉x-4

19.解一元一次不等式组|2x+l、，.

>X-1

【考点分析】解一元一次不等式组.

【考点剖析】先求出每个不等式的解集，再根据找不等式组解集的规律找出不等式组的

解集即可.

f3(x-3)>x-4①

【解答】解：2x+l1②

3

•..解不等式①得：

解不等式②得：x<4,

•••不等式组的解集为•|wx<4,

【点评】本题考查了解一元一次不等式组的应用，能根据找不等式组解集的规律找出不

等式组的解集是解此题的关键.

20."宜居长沙”是我们的共同愿景，空气质量倍受人们的关注.我市某空气质量检测站

点检测了该区域每天的空气质量情况，统计了2021年1月份至4月份若干天的空气质量

情况，并绘制了如下两幅不完整的统计图,请根据图中信息，解答下列问题:

各类空气质量天数

各类空气天数

扇形统计图

(1)统计图共统计了100天空气质量情况.

(2)请将条形统计图补充完整，并计算空气质量为"优"所在扇形圆心角度数.

(3)从小源所在班级的40名同学中，随机选取一名同学去该空气质量监测点参观，则

恰好选到小源的概率是儿？

【考点分析】条形统计图；扇形统计图；概率公式.

【考点剖析】(1)根据良的天数是70天，占70%,即可求得统计的总天数:

(2)利用360度乘以对应的百分比即可求解;

(3)利用概率公式即可求解.

【解答】解：(1)70+70%=100(天),故答案是：100；

(2)空气质量为"优”所在扇形圆心角度数是：360。*20%=72。；

如图所示:

各类空气质量天数

条形统计图各类空气天数

扇形统计图

（3）班级的40名同学中，随机选取一名同学去该空气质量监测点参观，则恰好选到小

源的概率是3.

【点评】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统

计图中得到必要的信息是解决问题的关键.条形统计图能清楚地表示出每个项目的数

据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小.

四、解答题:

21.（10分）（2021•河东区模拟）如图，某校综合实践活动小组的同学欲测量公园内

一棵树DE的高度，他们在这棵树正前方一座楼亭前的台阶上A点处测得树顶端D的仰

角为30。，朝着这棵树的方向走到台阶下的点C处，测得树顶端D的仰角为60。.已

知A点的高度AB为2m,台阶AC的坡度为1：且B,C,E三点在同一条直

线上.请根据以上条件求出树DE的高度（测倾器的高度忽略不计）.

D

【考点分析】解直角三角形的应用-仰角俯角问题；解直角三角形的应用-坡度坡角问题.

【考点剖析】由于AFLAB,则四边形ABEF为矩形，设DE=x,在Rt/XCDE中，CE

DE_DE_Mx、AR1

在RtZXABC中，得到挡■=*,求出BC,在RtaAFD

tan/DCEtan60°3BCV3

中，求出AF,由AF=BC+CE即可求出x的长.

【解答】解：VAF±AB,AB1BE,DE1BE,

二.四边形ABEF为矩形，

；.AF=BE,EF=AB=2

CE=————=—口后。=四x

设DE=x,在RtZ\CDE中,

tan/DCEtan603

在RtZ\ABC中,

..ABXAB=2,

'BC"V3'

.,.BC=2«,

在RtAAFD中，DF=DE-EF=x-2,

.•.AAFU=----DTF——=---x---2-3r-(x-2)

tan/DAFtan305

YAF二BE=BC+CE.

・,・遂(x-2)=2折冬x,

3

解得x=6.

答：树DE的高度为6米.

【点评】本题考查了解直角三角形的应用--仰角、坡度问题、矩形的判定与性质、三

角函数；借助仰角构造直角三角形并解直角三角形是解决问题的关键.

22.（10分）（2021•南开区校级模拟）如图，已知AB是。O的直径，点C在。O

上，过点C的直径与AB的延长线交于点P,AC=PC,ZCOB=2ZPCB.

（1）求证：PC是。。的切线;

(2)求证：BC=yAB；

(3)点M是弧AB的中点，CM交AB于点N,若AB=4,求MN・MC的值.

【考点分析】圆的综合题.

【考点剖析】(1)已知C在圆上，故只需证明0C与PC垂直即可；根据圆周角定理，易

得/PCB+/OCB=90°,即OCLCP；故PC是。。的切线；

(2)AB是直径；故只需证明BC与半径相等即可：

(3)连接MA,MB,由圆周角定理可得NACM=NBCM,进而可得△MBNs^MCB,

故BM2=MN»MC；代入数据可得MN»MC=BM2=8.

【解答】(1)证明：VOA=OC,

AZA=ZACO.

又；/COB=2/A,ZCOB=2ZPCB,

；./A=/ACO=NPCB.

又：AB是。。的直径，

.".ZACO+ZOCB=90".

.".ZPCB+ZOCB=90°.

即OCJ_CP,

；OC是。。的半径.

...PC是。。的切线.

(2)证明：；AC=PC,

；./A=/P,

ZA=ZACO=ZPCB=ZP.

XVZCOB=ZA+ZACO,ZCBO=ZP+ZPCB,

.*.ZCOB=ZCBO,

/.BC=OC.

.\BC=—AB.

2

(3)解：连接MA,MB,

；点M是源的中点，

AZACM=ZBCM.

VZACM=ZABM,

.,.ZBCM=ZABM.

VZBMN=ZBMC,

AAMBN^AMCB.

.BMMN

*'MC=BM-

;.BM2=MN・MC.

又：AB是。0的直径，源=窗，

；.NAMB=90°,AM=BM.

VAB=4,

，BM=2班.

...MN・MC=BM2=8.

【点评】此题主要考查圆的切线的判定及圆周角定理的运用和相似三角形的判定和性质

的应用，熟练掌握圆的这些定理是解题的关键.

23.（10分）（2021•南开区校级模拟）某移动通讯公司开设了两种通讯业务："全球通"

使用者先缴50元月租费，然后每通话1分钟，再付话费0.4元；"神舟行"不缴月租费，每

通话Imin付费0.6元.若一个月内通话xmin,两种方式的费用分别为yi元和y2元.

（1）写出yi、y2与x之间的函数关系式；

（2）一个月内通话几分钟，两种移动通讯费用相同；

（3）某人估计一个月内通话300min,应挑选哪种移动通讯合算些.

【考点分析】一次函数的应用.

【考点剖析】（1）因为移动通讯公司开设了两种通讯业务："全球通”使用者先缴50元月

租费，然后每通话1分钟，再付话费0.4元；"神舟行"不缴月租费，每通话Imin付费

0.6元.若一个月内通话xmin,两种方式的费用分别为yi元和y2元，则yi=50+0.4x,y2=0.

6x；

（2）令yi=y2，解方程即可；

（3）令x=300,分别求出yi、y2的值，再做比较即可.

【解答】解：(1)y1=50+0.4x；y2=0.6x：

（2）令yi=y2,则50+0.4x=0.6x,

解之，得x=250

所以通话250分钟两种费用相同；

（3）令x=300

则y『50+0.4X300=170；y2=0.6X300=180

所以挑选全球通合算.

【点评】本题需认真分析题意，建立函数解析式，利用方程或简单计算即可解决问题.

24.（10分）（2021•南开区校级模拟）边长为2的正方形ABCD的两顶点A、C分

别在正方形EFGH的两边DE、DG上（如图1）,现将正方形ABCD绕D点顺时针旋

转，当A点第一次落在DF上时停止旋转，旋转过程中，AB边交DF于点M,BC边

交DG于点N.

（1）求边DA在旋转过程中所扫过的面积；

（2）旋转过程中，当MN和AC平行时（如图2）,求正方形ABCD旋转的度数；

（3）如图3,设aMBN的周长为p,在旋转正方形ABCD的过程中，p值是否有

变化？请证明你的结论.

EFEFEF

【考点分析】四边形综合题；全等三角形的判定与性质；正方形的性质；扇形面积的计

算.

【考点剖析】(1)根据DA所扫过的区域为扇形进行计算即可；

(2)先根据平行线及正方形的性质得到BMN=/BAC=45。，ZBNM=ZBCA=45°,故

可得至|JBM=BN,根据SAS判定△DAMg^DCN,可得至l」NADM=NCDN,由此可得

到旋转的度数；

(3)延长BA交DE于H点，由ASA判定△DAHgZXDCN,得至I」DH=DN,AH=CN,

再由SAS判定△DMH名△DMN,可得到MN=MH=AM+AH,MN=AM+CN,将AMBN

的周长转化为AB+BC即可得到结论.

【解答】解：(1)VZADB=45°,AD=2,

...边DA在旋转过程中所扫过的面积=45X冗X2"=二;

3602

(2))：MN〃AC,

；.NBMN=NBAC=45。，ZBNM=ZBCA=45".

.,.ZBMN=ZBNM,

；.BM=BN.

又；BA=BC,

，AM=CN.

在ADAM与ADCN中，

'ADXD

<ZDAM=ZDCN.

AM=CN

/.△DAM^ADCN(SAS),

；./ADM=/CDN,

ZCDN=—(90°-45°)=22.5°,

2

即正方形ABCD旋转的度数为22.5。；

(3)不变化.

证明：如图，延长BA交DE于H点，

•.,ZADE+ZADN=90",ZCDN+ZADN=90°,

.,.ZADE=ZCDN,

在ADAH与4DCN中，

"ZADH=ZCDN

<AD=CD，

ZDAH=ZDCN

.".△DAH^ADCN(ASA),

；.DH=DN,AH=CN.

在△DMH与△DMN中，

'DH=DN

<NMDE=/MDN，

,DI=DI

.'.△DMH^ADMN(SAS),

；.MN=MH=AM+AH,

；.MN=AM+CN,

，p=MN+BN+BM=AM+CN+BN+BM=AB+BC=4,

在旋转正方形ABCD的过程中，p值无变化.

EF

M/\

DG

C

【点评】本题主要考查了正方形的性质以及旋转变换的性质，需要综合运用扇形的面积

公式和全等三角形的判定与性质，难度较大.熟知图形在旋转的过程中其大小、形状不

变是解题的关键.

25.（10分）（2021•昆明）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+慨x+c（a#0）

与x轴交于A、B两点（点A在点B的右侧）,与y轴交于点C,点A的坐标为（4,

0）,抛物线的对称轴是直线x=-|.

（1）求抛物线的解析式；

（2）M为第一象限内的抛物线上的一个点，过点M作MG，x轴于点G,交AC于点

H,当线段CM=CH时，求点M的坐标；

（3）在（2）的条件下，将线段MG绕点G顺时针旋转一个角a（0。＜0（＜90。）,在

旋转过程中，设线段MG与抛物线交于点N,在线段GA上是否存在点P,使得以P、

N、G为顶点的三角形与AABC相似？加入存在，请求出点P的坐标；加入不存在，请

【考点剖析】（1）首先利用对称轴公式求出a的值，然后把点A的坐标与a的值代

入抛物线的解析式，求出c的值，即可确定出抛物线的解析式.

（2）首先根据抛物线的解析式确定出点C的坐标，再根据待定系数法，确定出直线

AC解析式为y=-£x+2；然后设点M的坐标为（m,-ym2+-|m+2）,H（m,一称

m+2）,求出MH的