湖北省十一校2025届高三第二次联考数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页湖北省十一校2025届高三第二次联考数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知集合A={y|y=log12x,x>12}A.{y|y<1} B.{y|0<y<1} C.{y|0<y≤1} D.{y|y>1}2.设复数z=1+i(i为虚数单位)，z的共轭复数是z，则2−2zz=A.−1+i B.−1−i C.1+i D.1−i3.函数f(x)为定义在R上的奇函数，当x>0时，f(x)=log3(2x+1)，则f(−4)的值为A.−2 B.−12 C.124.已知等差数列{an}的公差d=1，且a3，a5+1，2a6A.−1013 B.−505 C.505 D.10135.已知向量p，q满足：p=(1,−1)，|q|=1，(p−q)⋅qA.(2,−2) B.(−6.已知函数f(x)=sinωx+cosωx(ω>0)的最小正周期为πA.ω=1

B.f(x)关于点(π8,0)对称

C.将函数f(x)的图象向右平移π4个单位长度，得到的函数图象恰好关于原点对称

D.7.如图，在棱长为1的正方体内部，有8个以正方体顶点为球心且半径相等的部分球体Oi(i=1,2,⋯,8)，有1个以正方体体心为球心的球体O0，O0与Oi(i=1,2,⋯,8)均相切，则该9A.3π4 B.(23−3)π8.函数f(x)=alnx−2lnxx+2bA.(−∞,e] B.(0,2e] C.[2,+∞) D.(−∞,2]二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.下列命题正确的是(

)A.在经验回归方程y=−0.85x+2.3中，当解释变量x每增加1时，响应变量y平均增加2.3

B.若P(A)>0，P(B)>0，则事件A、B相互独立与A、B互斥不可能同时成立

C.在对高三某班学生物理成绩的比例分配的分层随机抽样调查中，抽取男生12人，其平均数为75，方差为893;抽取女生8人，其平均数为70，方差为23，则这20名学生物理成绩的方差为33

D.10.已知O为坐标原点，双曲线C:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左顶点为A，右焦点为F，以AF为直径的圆与y轴正半轴交于点D，过D且垂直于y轴的直线与C的某条渐近线交于点BA.|AB|2|OA|·OF B.|DF|211.对于任意两个正数u，v，当u<v时，记曲线y=1x与直线x=u，直线x=v以及x轴围成的曲边梯形的面积为L(u,v)，当u>v时，约定L(u,v)=−L(v,u)，并约定L(u,u)=0.德国数学家莱布尼茨(Leibniz)最早发现L(1,x)=lnx.关于L(u,v)(u≠v)A.L(1,6)=L(1,2)+L(1,3)

B.2L(u,v)>vu−uv

C.L(uu,三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.若tanα=1，则sin 2αsin (α+13.若x5=a0+a14.已知点(2,1)在抛物线C:y=ax2上，T为直线y=x−2上的一动点，过点T作C的2条切线，切点分别为M，N，直线TM、TN分别交x轴于点A、B，则|AB|的最小值为

，△TAB外接圆半径的最小值为

．四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，△ABC的面积为S△ABC.已知(1)求角A;(2)若a=3，求△ABC16.(本小题15分)

如图，在四棱锥P−ABCD中，PD⊥AB，PB=PD，底面ABCD是边长为3的菱形，∠ABC=2π3(1)证明：平面PAC⊥平面ABCD;(2)若平面PAB与平面ABCD所成角的正切值为2，点Q满足PC=4PQ，求直线CP与平面ABQ17.(本小题15分)已知函数f(x)=ae(1)当a=−1时，求函数y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程;(2)求函数f(x)的单调区间;(3)若不等式f(x)+(a+2)ex≤0恒成立，求整数18.(本小题17分)

某学校数学小组建立了如下的数学模型：将一个小盒里放入6个小球，其中4个黑球，2个红球．

模型一为：若取出黑球，则放回小盒中，不作任何改变;若取出红球，则放回小盒并再往小盒里加入2个红球;

模型二为：若取出黑球，则放回小盒中，不作任何改变;若取出红球，则用黑球替换该红球重新放回小盒中．(1)分别计算在两种模型下，抽两次球，第二次取到的球是红球的概率;(2)在模型二的前提下： ①求在第n(n≥2)次抽球时，抽到的球恰好是第二个红球的概率(结果用n表示)． ②现规定当两个红球都被抽出来时停止抽球，且最多抽球10次，第10次抽球结束后无论盒中是否还有红球均停止抽球，记抽球的次数为X，求X的数学期望．19.(本小题17分)古希腊数学家阿波罗尼斯在他的代表作《圆锥曲线》一书中指出：平面内动点M与两定点Q，P的距离之比MQ|MP|=λ(λ>0,λ≠1)，λ是一个常数，那么动点M的轨迹是一个圆，且圆心在直线PQ上，我们把由此产生的圆叫做阿波罗尼斯圆.已知阿波罗尼斯圆x2+y2=2的两个定点分别为椭圆C:x2(1)求椭圆C的标准方程;(2)如图，过右焦点F斜率为k(k>0)的直线l与椭圆C相交于B，D(点B在x轴上方)，点S，T是椭圆C上异于B，D的两点，SF平分∠BSD，TF平分∠BTD．

 ①求|BS||DS|的取值范围 ②若△SFT外接圆的周长为9π，求直线l的方程．

参考答案1.B

2.C

3.A

4.D

5.B

6.D

7.C

8.D

9.BCD

10.BCD

11.AD

12.1

13.−10

14.23

15.解：(1)选条件①，

将(2b−c)cosA−acosC=0代入正弦定理得：

(2sinB−sinC)cosA−sinAcosC=0，

即2sinBcosA=sinCcosA+cosCsinA=sin(A+C)=sinB，

由B∈(0,π)，得到sinB≠0，

所以cos所以

A=π3(2)由(1)知

A=π3

，由正弦定理得

b因此

b+c=2=2(3由

▵ABC

为三角形，得

0<B<2π3

，

因此

π则

12<sin (B+π6)⩽1

，

于是

所以

▵ABC

周长的取值范围是

(23

16.(1)证明：连接BD

交AC

于点O

，连接PO

，因为ABCD

是菱形，所以BD⊥AC

，又因为O

为BD

的中点，PD=PB

，所以PO⊥BD，又AC,PO⊂

面APC

，且AC∩PO=O

，所以BD⊥

平面APC，又BD⊂

平面ABCD

，所以平面PAC⊥

平面ABCD；(2)解：由PB=PD，过P

作PH⊥AC

交AC

于点H

，面APC⊥

面ABCD,PH⊥AC

，面APC∩

面ABCD=AC

，PH⊂

面APC

，所以PH⊥

面ABCD

．因为AB⊥PD,AB⊥PH,PH,PD⊂

面PHD,PH∩PD=P

，所以AB⊥

面PHD

，又DH⊂

面PHD

，所以AB⊥DH

，所以H

为DH,AO

的交点，因为∠ABC=2π3，▵ABD

为等边三角形，所以H为▵ABD

的重心，则PA=PB=PD，

因为平面PAB与平面ABCD所成角的正切值为2，所以PH=1，

又OH=12

，CH=2

，点Q满足PC=4PQ，所以OQ⊥以O

为原点，OB,OC

，OQ所在直线为x,y

，z轴建立如图坐标系，则A(0,−3所以AB=(设平面ABQ

的法向量为m=(x,y,z)

则AB⋅m=0AQ⋅m=0

，即即m=(2设直线CP与平面ABQ所成角为θ

，则sin θ=4+44+1·12+4+16=

17.解：(1)函数

fx

的定义域为R

，当a=−1时，f(x)=−e2x+x+1

f′x所以函数y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程y−0=−1(x−0)，即x+y=0(2)因为

f′(x)=1+2a当

a<0

时，由

f′x>0

，得

x<12ln (−12a)

所以

fx

在

(−∞,12ln(−12a(3)依题知，

f(x)+(a+2)ex即

x+ae2x设

ℎx=x+a则

ℎ′x=1+2a当

a<0

时，由

ℎ′x>0

，得

x<ln−1a

，由

ℎ′所以

ℎx

在

−∞,ln−1a

则

ℎ(x)⩽ℎ(ln (−整理得

ln (−1设

mx=则

m′(x)=−1x+1x2=1−x又

a∈Z

，且

m−1=0+1=1>0,m故整数

a

的最大值为

−2

．

18.解：(1)记在模型一下：取到红球的概率为P1，则P1=23×13+13×48=718;

记在模型二下：取到红球的概率为P2，则P2=23×13+13×16=518．

(2)在模型二下：

①若第k次是第一次取到红球，第n次是第二次取到红球，则P=(23)k−1×13×(56)n−k−1×16．

因此第n次抽到第二个红球的概率为：P=(23)0×13×(56)n−2×1619.解：(1)设M(x,y)，由题意|MF||MA|=(x−c)2+y2(x−a)2+y2=λ(常数)，

整理得x2+y2+2c−2aλ2λ2−1x+λ2a2−c2λ2−1