医用物理学 第2版 课件 第12章 量子力学基础

第十二章

量子力学基础本章主要内容光的波粒二象性：黑体辐射、光电效应

氢原子光谱、玻尔的氢原子理论

微观粒子的波粒二象性：德布罗意波、不确定关系

薛定谔方程：一维无限深势阱薛定谔方程在原子分子中的应用

黑体辐射迈克尔逊—莫雷实验光电效应氢原子光谱

康普顿效应量子力学狭义相对论

1900年开尔文在欧洲科学家新年聚会的贺词中说：物理学晴朗的天空上，飘着几朵令人不安的乌云一、热辐射：由温度所决定的电磁辐射

任何物体在任何温度下都在不断地向外发射和吸收各种波长的电磁波1）单色辐出度

M

单位时间内，从物体表面单位面积上辐射出的波长在l附近单位波长间隔内的能量物体的辐射本领越大，其吸收本领也越大；

辐射和吸收达到平衡时，物体的温度不再变化，平衡热辐射

与波长、温度有关，还与物体的材料和表面情况有关

单位：2）辐出度

M(T)单位时间内，从物体表面单位面积发出的所有波长的电磁波的总能量二、绝对黑体和黑体辐射的基本规律能完全吸收入射到其上的各种波长的电磁波而无反射和透射的物体1.绝对黑体基尔霍夫研究发现：

在平衡辐射的条件下，黑体的单色辐出度仅与温度和频率有关，与材料和表面无关。在相同温度下，黑体的吸收本领最大，辐射本领也最大

2.黑体辐射的实验规律1）斯特藩——玻耳兹曼定律辐出度与

T

4

成正比.2）维恩位移定律峰值波长

m

与温度

T

成反比0.51.01.52.01050可见光5000K6000K3000K4000K三、普朗克能量子假设经典理论认为，黑体辐射中分子和原子的振动可视为线性谐振子，这些线性谐振子可以发射和吸收任意大小的辐射能。对频率为

的谐振子,最小能量

为:n为整数，称为量子数

称为能量子能量不连续，只能取某一最小能量的整数倍!!!!!1900年德国物理学家普朗克普朗克大胆地放弃了上述经典概念，认为：这些谐振子只能处于某些分立的状态，在这些状态下，谐振子的能量不能取任意值，只能是某一最小能量

的整数倍:

普朗克后来又为这种与经典物理格格不入的观念深感不安，只是在经过十多年的努力证明任何复归于经典物理的企图都以失败而告终之后，他才坚定地相信h

的引入确实反映了新理论的本质。

1918年他荣获诺贝尔物理学奖他的墓碑上只刻着他的姓名和普朗克常数四、光电效应

光的照射下，金属中的电子吸收光能而逸出金属表面的现象。这些逸出的电子被称为光电子。金属1）光电效应的实验规律实验装置K——金属电极（阴极）A——阳极GAK光V1.

饱和光电流强度

im

与入射光强I成正比；i0Uimim1I1I2光强I2>I1-Ua2.光电子的初动能随入射光频率线性增加，与光强无关；4.06.08.010.0(1014Hz)0.01.02.0Ua(V)CsNaCa3.

只有当入射光频率

大于一定的频率

0时才会产生光电效应；

0

称为截止频率或红限频率4.光电效应是瞬时发生的驰豫时间不超过10-9s遏止电势差Ua光电子的最大初动能:2）爱因斯坦光子理论2.每个光子的能量3.每个光子的动量4.光的强度取决于单位时间内通过单位面积的光子数N1.一束光是一束以光速运动的粒子流，这些粒子称为光子（光量子）光电效应方程当频率为

光照射金属时，一个电子是整体吸收一个光子。根据能量守恒A为该金属材料的逸出功1.当入射光的频率一定时，入射光越强则光子数N就越多，单位时间产生的光电子数就越多，饱合光电流就越大。与实验比较有：2.由

和光电效应方程得：1916年，密里根用此法测出了

理论解释：

Ua3.若能发生光电效应必要求4.一个光子是整体被电子吸收，不需要时间积累，因此光电效应的弛豫时间可很短。为红限频率一、氢原子光谱的实验规律波数:单位长度内完整波的个数1.氢原子光谱是彼此分离的线状光谱，每一条谱线具有确定的波长（或频率）2.每一条谱线的波数都可以表示为两项之差或称为光谱项---里兹并合原理

A,,A4340.10=gH4860.70=bH,A6562.10=aH,A4101.20=gH1853年，瑞典人埃格斯特朗精确测得了这组光谱线数据

A,,A4340.10=gH4860.70=bH,A6562.10=aH,A4101.20=gH—巴尔末公式当n=3,4,5,…..时，分别为H

,H

,H

,…..等谱线的波长1885年，瑞士一中学数学教师（在巴塞尔大学兼任讲师）发现了氢原子光谱在可见光部分的规律.里德伯常数里德伯公式(1889):莱曼系紫外巴尔末系可见光帕邢系布拉开系普丰特系红外当k一定时，由不同的n（n=k+1、n=k+2…

）构成一个谱系；不同的k构成不同的谱系。二、玻尔氢原子理论1.玻尔的三条基本假设(1913“论原子构造与分子结构”

)（1）定态假设：原子系统只能处在一系列能量不连续的定态，处于定态的电子虽然绕核做圆周运动但并不向外辐射电磁波。（2）跃迁假设：

电子从一个能量为En

定态跃迁到另一能量为Ek的定态时，要吸收或发射一个频率为

的光子，且有：这些定态的能量：——辐射频率公式（3）量子化条件：在这些定态下电子绕核运动的轨道角动量的值是不连续的，必须为h/2

的整数倍，即有：2.氢原子轨道半径由量子化条件及牛顿定律：轨道量子化角动量量子化库仑力=向心力玻尔半径速度量子化其他的可能轨道：r14r19r116r1rvmn=1n=2n=3n=43.氢原子的能级将rn,vn

代入上式，得：基态能量其它激发态：能量是量子化的E1E2E3E4rvm4.氢原子光谱的理论解释从其它能级到同一能级的跃迁属于同一谱线系。莱曼系巴耳末系帕邢系布拉开系-13.6eV-3.39eV-1.5eV-0.85eV定态假设：原子系统只能处在一系列能量不连续的状态，在这些状态上电子虽然绕核做圆周运动但并不向外辐射电磁波。这些状态称为原子系统的稳定状态（简称定态）。

电子从一个能量为En

稳定态跃迁到另一能量为Ek稳定态时，要吸收或发射一个频率为

的光子，有：这些定态的能量：——辐射频率公式玻尔氢原子量子论氢原子的能量：跃迁假设：

试由玻尔氢原子理论计算出巴尔末系第一条谱线的波长。解：由玻尔的氢原子能级公式：知：当电子由n=3→k=2时，发出光子的频率为：例:一、德布罗意假设——物质波

光(波)具有粒子性实物粒子具有波动性?1924年，青年博士研究生德布罗意在博士论文《关于量子理论的研究》中，提出了实物粒子的波动性，导师朗之万把德布罗意的文章寄给爱因斯坦，爱因斯坦称：“揭开了自然界巨大帷幕的一角”。“整个世纪以来，在光学中过于忽略了粒子性的研究，那么在实物粒子上是否发生了相反的错误呢？”

1927年，戴维逊和革末及G.P.汤姆逊分别从实验上证实了物质波的存在。1929年，德布罗意获得了诺贝尔奖。这种和实物粒子相联系的波称为德布罗意波或物质波。

不仅光具有波粒二象性，一切实物粒子(如电子、原子、分子等)也都具有波粒二象性;具有确定能量E和确定动量P的实物粒子相当于频率为n

和波长为l的波,二者之间的关系如同光子和光波的关系一样,满足：

德布罗意假设：德布罗意公式例1.质量为50g的小球，以20m/s的速率运动时，德布罗意波长为：例2.动能为100eV的电子，其德布罗意波长为

λ极其微小，宏观物体的波长小得实验难以测量，即

“宏观物体只表现出粒子性”X射线范围电子在电场里加速所获得的能量德布罗意波长二、德布罗意假设的实验证明晶体中原子间距为埃的数量级，晶格是非常好的光栅，用电子束可象光束那样在晶格上发生衍射。布喇格公式1913年布喇格父子研究X射线在晶体上反射得到

电子束在晶体表面散射实验时，观察到了和X射线在晶体表面衍射相类似的衍射现象，从而证实了电子具有波动性。1.戴维孙-革末实验（1927）UKDM镍单晶BG晶格常数为

满足相干条件：

若电子仅仅具有粒子性

电子具有波动性

戴维逊和G.P.汤姆逊分享了1937年诺贝尔物理学奖金

不会出现周期性波动

出现周期性波动

多晶铝箔电子衍射实验

电子的单缝、双缝、三缝和四缝衍射实验图象2、G.P.汤姆逊（1927）3、约恩逊（1960）单缝衍射双缝衍射三缝衍射四缝衍射三、不确定关系1.位置与动量的不确定原理

在经典力学中，质点（宏观物体或粒子）在任何时刻都有完全确定的位置、动量、能量等。由于微观粒子具有明显的波动性，以致它的某些成对物理量不可能同时具有确定的量值。（如位置坐标和动量、时间和能量等）下面以电子单缝衍射为例讨论这个问题

电子可在缝宽范围的任意一点通过狭缝，电子坐标不确定量就是缝宽，电子在x方向的动量不确定量:若考虑次级衍射:只考虑一级衍射:入射电子束x狭缝照相底版P

Px严格的理论给出的不确定性关系为：德国物理学家海森堡给出(1927)海森堡不确定性关系(1932年获诺贝尔奖)1925年提出矩阵力学，成为量子力学的创始人之一。他的文章成为继牛顿之后影响最深远的文章。则则粒子如何运动？粒子在何处？不确定关系的物理意义：微观粒子不可能同时具有确定的位置和动量。粒子位置的不确定量Δx

越小，动量的不确定量ΔPx就越大，反之亦然。因此，不可能用某一时刻的位置和动量描述其运动状态。轨道的概念已失去意义，经典力学规律也不再适用。2.能量与时间的不确定原理能量和时间也存在不确定度关系，即:例.原子线度为10-10m,

计算原子中电子速度的不确定量。解：

P=mV按经典力学计算，氢原子中电子的轨道速度V~106ms-1

。物理量与其不确定量的数量级一样，物理量没有意义了！在微观领域内，粒子的轨道概念不适用！一、波函数

一个沿

x

轴正向传播的频率为

的平面简谐波:1、一维自由粒子的波函数用指数形式表示：波的强度取复数实部

对于微观粒子，牛顿方程已不适用。微观粒子的运动状态描述微观粒子运动基本方程波函数

薛定谔方程

对于动量为P

、能量为E

的一维自由微观粒子，根据德布罗意假设，其物质波的波函数相当于单色平面波，类比可写成：量子力学中一维自由粒子波函数的一般形式。粒子在空间某处分布数目的多少，与粒子在该处出现的概率成正比。

波函数模方：2．波函数的统计意义亮

波强

电子到达多暗

波弱

电子到达少电子双缝衍射波的强度——振幅的平方德国玻恩（M.Born)的波函数统计解释(1926):

t

时刻粒子出现在空间某点r

附近体积元dV

中的概率，与波函数模方及dV

成正比。

dV=dxdydz单位体积内粒子出现的概率,出现在dV

内概率：w:概率密度波函数本身无直观物理意义，其模的平方反映粒子在某时刻某位置出现的概率密度。不同于机械波，电磁波。表示时刻处单位体积内找到粒子的概率3．波函数满足的条件(1)单值：在一个地方出现只有一个可能值；(2)连续：概率不会在某处发生突变；(3)有限：概率不可能是无穷大;(4)粒子在整个空间出现的总概率等于1.

即：波函数归一化条件玻恩波函数统计诠释涉及对世界本质的认识,1954年获诺贝尔奖。波函数满足的条件：单值、有限、连续、归一狄拉克1933年获诺贝尔奖物理讨论会（1926）薛定谔：你能不能给我们讲一讲DeBroglie的那篇学位论文呢？瑞士联邦工业大学德拜薛定谔二、薛定谔方程1、一维自由粒子薛定谔方程的建立薛定谔方程是量子力学基本假设之一，不能理论推导证明一维自由粒子的含时薛定谔方程以一维自由粒子为例：2.一维势场中运动粒子薛定谔方程一维运动粒子含时薛定谔方程推广到三维情况，薛定谔方程可写为：拉普拉斯算符：

一般的薛定谔方程可写为：

薛定谔方程是非相对论量子力学的基本动力学方程，其地位与经典力学中的牛顿方程相同。3、定态薛定谔方程若势能U与t无关，仅是坐标的函数。1）定态定态：粒子在空间各处出现的概率不随时间变化.2）定态薛定薛方程定态波函数可写成：根据：一维定态薛定谔方程定态薛定谔方程分离变量，得：三、一维无限深势阱BA金属表面00<x<a0ax金属中自由电子的势能曲线势阱外E为有限值，粒子不能跳出势阱，所以在势阱外找到粒子的概率为零。势阱内令:（二阶常系数微分方程）

通解

由波函数连续性，边界处：ψ(0)=0，ψ(a)=0ka=n

n=1,2,3,…n=0?势阱无限深~阱外无粒子ψ(x)=0

(x

0,

x

a

)（否则到处都找不到粒子）

波函数为：由归一化条件：考虑时间因子能级：波函数：n—量子数1）一维无限深势阱中粒子的能量是量子化的。

是最小能量，它不等于0，表明束缚在势阱内粒子不可能静止

3）量子效应可忽略

n越大，ΔE越大

n=1n=2n=30x讨论(能量)：2）例.一个被关闭在一个一维箱子中的粒子的质量为m0，箱子的两个理想反射壁之间的距离为L，若粒子的波函数是:,试由薛定谔方程求出粒子能量的表达式。其基态能量为解：该粒子的薛定谔方程为00<x<L1.决定原子中电子状态的四个量子数名称符号取值物理意义对应的经典模型主量子数角量子数磁量子数自旋磁量子数决定电子能量的主要部分n0,1,….n-1可取n个值决定电子“轨道”角动量对电子能量有影响决定“轨道”角动量在外场中的取向决定电子“自旋”角动量在外场中的取向“轨道”运动“自旋”运动2.原子的壳层结构1869年门捷列夫提出了元素周期表，大体上反映了元素性质的周期性变化特性。1916年柯塞尔提出壳层结构。壳层：主量子数n相同的电子构成同一壳层支壳层：同一壳层中(n相同)，l

相同的电子组成同一支壳层对多电子的原子系统而言能量主要由主量子n数决定，但也与副量子数l有关，故一个支壳层代表了一种能量组态，因此用主量子数与副量子数来表示一个原子组态

。如1s、2s、2p·····主量子数n壳层符号123456KLMNOP0角量子数l

支壳层符号s1p2d3f4g5h3.

原子的壳层结构中电子的填充原则一个原子中不可能有两个或两个以上的电子具有完全相同的四个量子数同一支壳层,最多同一壳层n相同，最多个电子spdln0123456

s

pd

f

g

h

i1234567KLMNOPQ2222222666666101010101014141414181818222226281832507298Nn各壳层最多可容纳的电子数主量子数为n的壳层中最多能容纳电子数为Nn2n2角量子数为l的支壳层中最多能容纳电子数为2（2l+1)一、量子点结构量子点（quantumdots,QDs），也被称为半导体纳米粒子，是一种极小的半导体纳米晶体。典型量子点是准零维的纳米材料，其内部仅包含有限数目的原子。量子尺寸效应：固体能带理论表明，在高温或者宏观尺寸情况下，金属费米能级附近的电子能级往往是连续的，即大粒子或宏观物体的能级间距几乎为零。但是，随着粒子尺寸降低到足够小的情况下，金属费米能级附近的电子能级将由准连续变为离散能级的现象和能隙变宽的现象称为量子尺寸效应。量子限域效应：当量子点尺寸小于激子波尔半径时，空穴很容易与电子形成激子，引起电子和空穴波函数重叠。量子点尺寸越小，重叠因子越大，这会引起激子带的吸收系数随半径下降而增加，即出现激子增强吸收并蓝移，即量子限域效应。宏观量子隧道效应：如前文所述，微光粒子具有进入和穿透势垒的能力，即隧道效应。尺寸受限的量子点的宏观物理量如磁化强度、磁通量等，会受到微观机制的影响，微观的量子隧穿效应在宏观物理量中表现出来称之为宏观量子隧道效应。表面效应：量子点表面原子数与总原子数的比值随着粒径变小而急剧增大后引起的性质上的变化。量子点尺寸小，表面积原子数增多，表面能增大，导致量子点表面原子配位不足、不饱和键和悬挂键增