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变分法与边值问题第一页，共十四页，2022年，8月28日第6章变分法与边值问题6.1

边值问题与算子方程6.1.1薄膜的横振动与最小位能原理

考虑张在平面有界区域上的均匀薄膜在垂直于平面的外力作用下的微小横振动，薄膜的边缘固定在上。利用微元分析法可得薄膜的总位能为其中，T表示张力，F(x,y)表示外力面密度，u(x,y)表示薄膜在点(x,y)出垂直于平面方向的位移。由于薄膜边缘固定,故可见,(6.1.1)是定义在容许函数类上的泛函。第二页，共十四页，2022年，8月28日第6章变分法与边值问题

类似于小节中对Dirichlet原理的讨论，可知泛函（）的极小函数就是Poisson方程Dirichlet问题

的解；反之边值问题（6.1.2)的解u也是泛函(6.1.1)的极小函数,即

于是,我们可以用变分方法得到边值问题(6.1.2)的解.值得注意的是,为了保证极小函数的存在性,有时必须将容许函数类扩大.此时我们得到的不一定是边值问题的古典解而是弱解.第三页，共十四页，2022年，8月28日第6章变分法与边值问题6.1.2正算子与算子方程

我们称满足等式（Au,v)=(Av,u)的算子A为对称算子。设A是定义在Hilbert空间H的某一线性稠密子集上的线性算子，若对中的任意元素u，有且等号成立当且仅当u=0,则称A是正算子。第四页，共十四页，2022年，8月28日第6章变分法与边值问题应用

取Hilbet空间为第五页，共十四页，2022年，8月28日第6章变分法与边值问题

可以验证，它们各自对应的算子是正算子。对应于以上三种问题算子的定义域分别为第六页，共十四页，2022年，8月28日第6章变分法与边值问题6.1.3正定算子弱解存在性

设A是上的线性算子，若存在常数对任意有则称算子A是上的正算子。在上引入新内积由此内积诱导的新范数记为第七页，共十四页，2022年，8月28日第6章变分法与边值问题第八页，共十四页，2022年，8月28日第6章变分法与边值问题第九页，共十四页，2022年，8月28日第6章变分法与边值问题6.2Laplace算子的特征值问题

本节考虑如下的Laplace算子特征值问题：第十页，共十四页，2022年，8月28日第6章变分法与边值问题6.2.1特征值与特征函数的存在性第十一页，共十四页，2022年，8月28日第6章变分法与边值问题第十二页，共十四页，2022年，8月28日第6章变分法与边值问题6.2.2

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