二自由度系统振动1课件

第三章

二自由度系统振动振动与噪声控制实验室(1)概论大量振动系统需要简化成多自由度系统才能反映实际问题的物理本质。举例：汽车的单自由度、二自由度、四自由度、七自由度模型与单自由度系统比较，多自由度系统具有一些本质上的新概念，需要新的分析方法。二自由度系统是多自由度系统最简单的特例。从二自由度系统到多自由度系统，主要是量的扩充，在问题的表述、求解方法、振动性态上没有本质区别。数学工具：线性代数、矩阵理论车辆悬架车辆悬架结构简图1、二自由度系统运动微分方程的矩阵表示形式；2、系统动能、势能和能量耗散函数的矩阵表示形式；3、运动微分方程的耦合问题。

本节讲三个问题：

二自由度系统简图

下面是一个典型的二自由度弹簧阻尼质量系统简图

在多自由度系统振动理论中，广泛使用矩阵记号(写为矩阵形式)其中定义质量矩阵阻尼矩阵刚度矩阵矩阵形式的改写位移向量；速度向量；加速度向量；激励向量；矩阵形式的运动微分方程定义：运动微分方程的矩阵形式和单自由度微分方程的关系单自由度系统如果将看作一维矩阵，看作一维向量，则单自由度和多自由度微分方程具有相同的形式。系统势能的矩阵表达形式刚度矩阵的二次型系统能量耗散函数的矩阵表达形式阻尼矩阵的二次型通过对以上三个函数求偏导数，可以分别求出三个矩阵的各个元素

多自由度系统的质量矩阵，刚度矩阵和阻尼矩阵是对称矩阵质量，刚度和阻尼矩阵的确定（二阶混合偏导数在什么条件下与求导次序无关？）由于能量为标量，对于任意的,，

质量矩阵一定是正定的；刚度矩阵和阻尼矩阵是半正定的质量，刚度和阻尼矩阵的性质三、运动微分方程的耦合问题

由于的存在，使得两个质量的振动相互影响,使刚度矩阵和阻尼矩阵成为非对角矩阵，微分方程存在耦合耦合的分类如果质量矩阵是非对角矩阵，称方程存在惯性耦合如果刚度矩阵是非对角矩阵，称方程存在弹性耦合如果阻尼矩阵是非对角矩阵，称方程存在阻尼耦合

解耦如何消除方程的耦合是（手工）求解多自由度系统运动微分方程的关键，从数学上讲，就是使三个矩阵同时成为对角矩阵。

不同坐标系下的运动微分方程

下面通过实例说明：方程是否存在耦合以及存在什么类型的耦合取决于所取的描述系统的广义坐标，并不是系统本身的性质。

汽车的二自由度振动模型汽车板簧以上部分被简化为一刚性杆，质心C，质量m。绕质心转动惯量Ic

，k1,k2为前后板簧刚度，忽略了减振器阻尼和干摩擦等其他形式的阻尼，不计板簧以下部分的质量和刚度。不同广义坐标下的运动微分方程。⑴、，

势能由于则系统的动能系统的势能运动微分方程耦合情况当时，存在弹性耦合若，则刚度矩阵成为对角矩阵，方程已经解耦，变为两个彼此独立的单自由度方程，和独立微分方程取广义坐标为则yC和θ可以表示为：变换矩阵动能和势能的表达式当时，方程存在惯性耦合，当，A点和B点振动相互独立，对于汽车来说，就是前悬和后悬振动相互独立。在汽车理论中，定义为质量分配系数当时，汽车前悬和后悬振动相互独立，可以分别讨论它们的振动。耦合情况结论结论：耦合的方式（弹性耦合还是惯性耦合）是依选取的坐标而定的，而坐标选取是研究者的主观抉择，并非系统的本质特性。从这个意义上讲，这里我们应该说“坐标的耦合方式”或“运动方程的耦合方式”，而不应该说“系统的耦合方式”。

广义坐标和的变换关系为由于势能和广义坐标选取无关：从而：

不同广义坐标系下的质量、刚度、阻尼矩阵的关系不同广义坐标系下的质量、刚度、阻尼矩阵的关系结论：从上例我们看到，系统的质量矩阵、刚度矩阵（当然也包括阻尼矩阵）的具体形式与所选取的广义坐标有关，合适的广义坐标能够解除方程的耦合，由于不同广义坐标之间存在着变换关系，所以，方程解耦的就归结为寻找一个合适的变换矩阵，使变换后的系统的质量矩阵、阻尼矩阵和刚度矩阵同时成为对角矩阵。

线性代数知识的复习特征值与特征向量矩阵的相似实对称矩阵的性质特征值与特征向量设是n阶矩阵，如果存在数和非零向量，使得则称为A的特征值，X为A的对应于的特征向量

矩阵的相似设A，B是两个n阶矩阵，如果存在n阶矩阵P，使得：B=P-1AP，则称，A相似于B，P称为A到B的相似变换矩阵。相似矩阵具有相同的特征值实对称矩阵的特征值和特征向量实对称矩