单调性与最大小值

单调性与最大小值第一页，共三十一页，2022年，8月28日

观察下列各个函数的图象，并说说它们分别反映了相应函数的哪些变化规律：

1、观察这三个图象，你能说出图象的特征吗？2、随x的增大，y的值有什么变化？第二页，共三十一页，2022年，8月28日问题1画出f(x)=x的图像，并观察其图像。2、在区间________上，随着x的增大，f(x)的值随着______.o5-5-55f(x)=x1、从左至右图象上升还是下降

____?上升增大第三页，共三十一页，2022年，8月28日1、在区间________上，f(x)的值随着x的增大而______.问题2画出的图像，并观察图像.o5-5-552、在区间________

上，f(x)的值随着x的增大而_____.(-∞,0](0,+∞)减小增大第四页，共三十一页，2022年，8月28日函数单调性的概念：

一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x1，x2，当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，那么就说f(x)在区间D上是增函数,如图1.1．增函数第五页，共三十一页，2022年，8月28日

一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x1，x2

，当x1<x2时，都有f(x1)>f(x2)

，那么就说f(x)在区间D上是减函数

,如图2.yx0x1x2f(x1)f(x2)y=f(x)图1yx0x1x2f(x1)f(x2)y=f(x)图2第六页，共三十一页，2022年，8月28日1、函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，是函数的局部性质.第七页，共三十一页，2022年，8月28日xy21013对于函数y=f(x)

，若在区间I上，当x＝1时,y＝1;当x＝2时,y＝3,能说在区间I上函数值y随自变量x的增大而增大吗?2、必须是对于区间D内的任意两个自变量x1，x2；当x1<x2时，总有f(x1)<f(x2)

或f(x1)>f(x2)

分别是增函数和减函数.第八页，共三十一页，2022年，8月28日

如果函数y=f(x)在某个区间上是增函数或是减函数，那么就说函数y=f(x)在这一区间具有（严格的）单调性，区间D叫做y=f(x)的单调区间.函数的单调性定义第九页，共三十一页，2022年，8月28日例1.下图是定义在闭区间[-5,5]上的函数y=f(x)的图象,根据图象说出y=f(x)的单调区间,以及在每个单调区间上,y=f(x)是增函数还是减函数?解:函数y=f(x)的单调区间有[-5,-2),[-2,1),[1,3),[3,5],其中y=f(x)在区间[-5,-2),[1,3)上是减函数,在区间[-2,1),[3,5]上是增函数.第十页，共三十一页，2022年，8月28日用定义证明函数单调性的步骤是：（1）取值（2）作差（4）定号（5）结论根据单调性的定义得结论

即取是该区间内的任意两个值且即求（3）变形通过因式分解、配方、有理化等方法

即根据给定的区间和的符号来确定的符号第十一页，共三十一页，2022年，8月28日例2求证：函数在区间上是单调增函数．，则证明：在区间（0，+∞）上任取两个值且又因为，，所以说

即函数在区间（0，+∞）上是单调增函数.第十二页，共三十一页，2022年，8月28日探究画出反比例函数的图象．

1这个函数的定义域是什么？

2它在定义域I上的单调性怎样？证明你的结论．xy0{x∣x≠0}分两个区间(0，+∞)，（-∞，0）来考虑其单调性.第十三页，共三十一页，2022年，8月28日函数f(x)=1/x在(0，+∞)上是减函数.f(x1)-f(x2)=由于x1,x2得x1x2>0,又由x1<x2得x2-x1>0所以f(x1)-f(x2)>0,即f(x1)>f(x2).证明：（1）在区间(0，+∞)上，设x1,x2是(0，+∞)上任意两个实数，且x1<x2，则（2）在区间（-∞，0）上，同理可得到函数f(x)=1/x在（-∞，0）上是减函数。第十四页，共三十一页，2022年，8月28日下列两个函数的图象：图1ox0xMyyxox0图2M观察

观察这两个函数图象，图中有个最高点，那么这个最高点的纵坐标叫什么呢？思考第十五页，共三十一页，2022年，8月28日

设函数y=f(x)图象上最高点的纵坐标为M，则对函数定义域内任意自变量x，f(x)与M的大小关系如何？思考f(x)<Mƒ(0)=1O122、存在0，使得ƒ(0)=1.1、对任意的都有ƒ(x)≤1.1是此函数的最大值第十六页，共三十一页，2022年，8月28日知识要点M是函数y=f(x)的最大值（maximumvalue）：

一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：（1）对于任意的x∈I，都有f(x)≤M;（2）存在，使得.那么，我们称M是函数y=f(x)的最大值第十七页，共三十一页，2022年，8月28日

一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果实数M满足：（1）对于任意的的x∈I，都有f(x)≥M;（2）存在 ，使得，那么我们称M是函数y=f(x)的最小值（minimunvalue）.

能否仿照函数的最大值的定义，给出函数y=f(x)的最小值的定义呢？思考第十八页，共三十一页，2022年，8月28日

函数的最大值是函数值域中的一个元素吗？思考是

如果在函数f(x)定义域内存在x1和x2，使对定义域内任意x都有成立，由此你能得到什么结论？如果函数f(x)的最大值是b，最小值是a，那么函数f(x)的值域是[a，b]吗？思考函数f(x)在定义域中既有最大值又有最小值.第十九页，共三十一页，2022年，8月28日探究:函数单调性与函数的最值的关系（1）若函数y=f(x)在区间[m，n](m<n)上单调递增，则函数y=f(x)的最值是什么？Oxy

当x=m时，f(x)有最小值f(m)，当x=n时,f(x)有最大值f(n).第二十页，共三十一页，2022年，8月28日(2)若函数y=f(x)在区间[m，n]上单调递减，则函数y=f(x)的最值是什么？Oxy

当x=m时，f(x)有最大值f(m)，当x=n时，f(x)有最小值f(n).第二十一页，共三十一页，2022年，8月28日(3)若函数则函数y=f(x)在区间[m,n]上的最值是什么？Oxy最大值f(l)=h，有最小值f(m),f(n)中较小者.第二十二页，共三十一页，2022年，8月28日第二十三页，共三十一页，2022年，8月28日解：做出函数的图像。显然，函数图像的顶点就是烟花上升的最高点，顶点的横坐标就是烟花爆裂的最佳时刻，纵坐标就是这时距地面的高度.oth43215101520由二次函数的知识，对于函数，我们有当时，函数有最大值

所以，烟花冲出1.5s是它爆裂的最佳时刻，此时距离地面的高度约为29m.第二十四页，共三十一页，2022年，8月28日例5已知函数，求函数的最大值与最小.

分析：由函数的图象可知道，此函数在[3，5]上递减。所以在区间[3，5]的两个端点上分别取得最大值与最小值.

解：设是区间[3，5]上的任意两个实数，且，则第二十五页，共三十一页，2022年，8月28日由于得于是即所以，此函数在区间[3,5]的两个端点上分别取得最大值与最小值即在x=3时取得最大值是1，在x=5时取得最小值为0.5.第二十六页，共三十一页，2022年，8月28日

课堂小结2、函数单调性的定义；3、证明函数单调性的步骤；1、单调函数的图象特征；4、函数的最值：最大值最小值第二十七页，共三十一页，2022年，8月28日5、函数的最值的求法（1）利用二次函数的性质（配方法）求函数的最值;（2）利用图象求函数的最