新教材2021-2022学年高一数学北师大版必修第一册学案第1章113第1课时交集与并集word版含解析

1.3集合的基本运算第1课时交集与并集学习目标核心素养1．理解两个集合的交集与并集的含义，会求两个集合的交集与并集．(重点、难点)2．能使用Venn图表达集合的关系与运算，体会图示对理解抽象概念的作用．(难点)1．借助Venn图培养直观想象素养．2．通过并集与交集的运算，提升数学运算素养.1．两个集合的并集与交集的含义是什么？2．如何用Venn图表示集合的并集与交集？3．并集与交集有哪些性质？知识点1交集文字语言一般地，由既属于集合A又属于集合B的所有元素组成的集合，叫作集合A与B的交集，记作A∩B读作“A交B”符号语言A∩B＝{x|x∈A，且x∈B}图形语言运算性质A∩B＝B∩A，A∩A＝A，A∩∅＝∅∩A＝∅，(A∩B)⊆A，(A∩B)⊆B，A⊆B⇔A∩B＝A(1)当集合A，B无公共元素时，A与B有交集吗？(2)若A∩B＝A，则A与B有什么关系？[提示](1)有，交集为空集．(2)若A∩B＝A，则A⊆B.1.已知集合A＝{－1,0,1,2}，B＝{－1,0,3}，则A∩B＝________.[答案]{－1,0}2.若集合A＝{x|－3<x<4}，B＝{x|x>2}；C＝{x|x≤－3}，则A∩B＝________，A∩C＝________.[答案]{x|2<x<4}∅知识点2并集文字语言一般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合，叫作集合A与B的并集，记作A∪B读作“A并B”符号语言A∪B＝{x|x∈A，或x∈B}图形语言运算性质A∪B＝B∪A，A∪A＝A，A∪∅＝∅∪A＝A，A⊆(A∪B)，B⊆(A∪B)，A⊆B⇔A∪B＝B(1)集合A∪B的元素个数是否等于集合A与集合B的元素个数和？(2)在什么条件下，集合A∪B的元素个数等于集合A与B的元素个数之和？[提示](1)不一定，A∪B的元素个数小于或等于集合A与集合B的元素个数和．(2)A∩B＝∅.3.设集合M＝{4,5,6,8}，N＝{3,5,7,8}，则M∪N＝________.[答案]{3,4,5,6,7,8}4.已知A＝{x|x>1}，B＝{x|x>0}，则A∪B＝________.[答案]{x|x>0}类型1交集运算【例1】(1)eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\b\lc\\rc\|(\a\vs4\al\co1(x))x是等腰三角形))∩{x|x是等边三角形}＝________.(2)eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\b\lc\\rc\|(\a\vs4\al\co1(x))－1≤x≤2))∩eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\b\lc\\rc\|(\a\vs4\al\co1(x))0≤x≤4))＝()A.eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\b\lc\\rc\|(\a\vs4\al\co1(x))0≤x≤2)) B．eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\b\lc\\rc\|(\a\vs4\al\co1(x))1≤x≤2))C.eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\b\lc\\rc\|(\a\vs4\al\co1(x))0≤x≤4)) D．eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\b\lc\\rc\|(\a\vs4\al\co1(x))1≤x≤4))(3)已知集合A＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝3n＋2，n∈Z))))，B＝{6,8,10,12,14}，则集合A∩B元素的个数为()A．5 B．4C．3 D．2(1){x|x是等边三角形}(2)A(3)D[(1)因为eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\b\lc\\rc\|(\a\vs4\al\co1(x))x是等边三角形))⊆{x|x是等腰三角形}，所以eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\b\lc\\rc\|(\a\vs4\al\co1(x))x是等腰三角形))∩eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\b\lc\\rc\|(\a\vs4\al\co1(x))x是等边三角形))＝{x|x是等边三角形}．(2)如图，所以{x|－1≤x≤2}∩{x|0≤x≤4}＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(0≤x≤2)))).(3)因为8＝3×2＋2；14＝3×4＋2，所以A∩B＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(8，14)).]1．在进行集合的交集运算时，要根据交集的定义进行运算，尽可能地借助Venn图和数轴使抽象问题直观化．一般地，集合元素离散时要用Venn图表示；集合元素是连续时用数轴表示，但要注意端点值的取舍．2．恰当地运用交集的交换律与结合律，可简化运算过程．eq\a\vs4\al([跟进训练])1．(1)已知集合A＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(0，2))，B＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(－2，－1，0，1，2))，则A∩B＝()A.eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(0，2)) B．eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(1，2))C.eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(0)) D．eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(－2，－1，0，1，2))(2)设集合A＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(－1≤x<2))))，B＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x<a))))，若A∩B≠∅，则实数a的取值范围是()A．－1<a≤2 B．a>2C．a≥－1 D．a>－1(1)A(2)D[(1)由交集的定义可知，A∩B＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(0，2)).(2)在数轴上表示两集合，由上图可知，当a>－1时，A∩B≠∅.]类型2并集运算【例2】(1)设集合A＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＋2x＝0))))，B＝{x|x2－2x＝0}，则A∪B＝()A.eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(0)) B．eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(0，2))C.eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(－2，0)) D．eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(－2，0，2))(2)已知集合M＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\b\lc\\rc\|(\a\vs4\al\co1(x))－3<x≤5))，N＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x<－5，或x>5))))，则M∪N＝()A.eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x<－5，或x>－3)))) B．eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\b\lc\\rc\|(\a\vs4\al\co1(x))－5<x<5))C.eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\b\lc\\rc\|(\a\vs4\al\co1(x))－3<x<5)) D．eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x<－3，或x>5))))(3)已知集合A＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(1，4，x))，B＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(1，x2))，且A∪B＝{1,4，x2}，则满足条件的实数x的个数为()A．1 B．2C．3 D．4(1)D(2)A(3)A[(1)因为A＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(0，－2))，B＝{0,2}，所以A∪B＝{－2,0,2}．(2)如图，在数轴上表示两集合，所以M∪N＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x<－5，或x>－3)))).(3)由A∪B＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(1，4，x2))，得x＝x2，又x≠1，所以x＝0.]在进行集合的并集运算时(1)若集合是用列举法表示的，可以直接用并集的定义求解，但要注意集合元素的互异性．(2)若集合是连续的数集，可以借助数轴进行运算．eq\a\vs4\al([跟进训练])2．(1)已知集合A＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(0，2))，B＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x))<0))，则A∪B＝()A.eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x))≤0，或x＝2)) B．eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x))<0))C.eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x))≤2)) D．eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x))<2))(2)设集合A＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x≥0))))，B＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(－1≤x≤2))))，则A∪B＝________.[答案](1)A(2)eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x≥－1))))类型3由集合的并集、交集求参数【例3】已知集合A＝{x|－3<x≤4}，集合B＝{x|k＋1≤x≤2k－1}，且A∪B＝A，试求k的取值范围．[解]①当B＝∅时，即k＋1>2k－1时，k<2，满足A∪B＝A.②当B≠∅时，要使A∪B＝A，只需eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－3<k＋1，,4≥2k－1，,k＋1≤2k－1，))解得2≤k≤eq\f(5,2).综合①②可知k≤eq\f(5,2).1．(变条件)把本例条件“A∪B＝A”改为“A∩B＝A”，试求k的取值范围．[解]由A∩B＝A可知A⊆B.所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－3≥k＋1，,2k－1≥4，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(k≤－4，,k≥\f(5,2)，))所以k∈∅.所以k的取值范围为∅.2．(变条件)把本例条件“A∪B＝A”改为“A∪B＝{x|－3<x≤5}”，求k的值．[解]由题意可知eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－3<k＋1≤4，,2k－1＝5，))解得k＝3.所以k的值为3.利用集合交集、并集的性质解题的方法(1)在利用集合的交集、并集性质解题时，常常会遇到A∩B＝A，A∪B＝B等这类问题，解答时常借助于交、并集的定义及上节学习的集合间的关系去分析，如A∩B＝A⇔A⊆B，A∪B＝B⇔A⊆B等，解答时应灵活处理．(2)当集合B⊆A时，如果集合A是一个确定的集合，而集合B不确定，运算时一定要考虑B＝∅的情况，切不可漏掉．eq\a\vs4\al([跟进训练])3．已知M＝{1,2，a2－3a－1}，N＝{－1，a,3}，M∩N＝{3}，则实数a4[因为M∩N＝{3}，所以a2－3a解得a＝－1或a＝4.又N＝{－1，a,3}，所以a≠－1，所以a＝4.]1.eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x是矩形))))∩eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x是菱形))))＝()A.eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x是平行四边形)))) B．eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x是矩形))))C.eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x是菱形)))) D．eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x是正方形))))[答案]D2．已知集合A＝{x|－3≤x<4}，B＝{x|－2≤x≤5}，则A∪B＝()A．{x|－3≤x≤5} B．{x|－2≤x<4}C．{x|－2≤x≤5} D．{x|－3≤x<4}A[因为集合A＝{x|－3≤x<4}，集合B＝{x|－2≤x≤5}，所以A∪B＝{x|－3≤x≤5