《工程力学》第三章 杆件基本变形时的内力分析

机械或结构要正常工作，要求组成它们的构件有足够的承受载荷的能力——承载能力。（1）构件必须具有足够的强度（strenth）：衡量构件承载能力的三个主指标：强度指构件抵抗破坏的能力（不发生断裂，也不产生显著的塑性变形）。稳定性指构件保持原有平衡状态的能力。（2）构件必须具有足够的刚度（rigidity）：刚度指构件抵抗变形的能力（不产生过量的弹性变形）。（3）构件必须具有足够稳定性（stability）第二篇杆件承载能力分析构件承载能力分析的任务：构件的强度、刚度和稳定性问题均与所用材料的力学性能有关，因此实验研究和理论分析是完成构件承载能力分析所必需的手段。保证构件具有足够的承载能力的前提下，以最经济的代价

为构件选择适宜的材料；确定合理的截面形状和尺寸；

提供必要的理论基础和计算方法。构件承载能力分析研究的内容和方法:内容1.外力变形的规律破坏（失效）的规律2.材料的力学性质3.截面形状和尺寸与承载关系方法1.实验手段2.理论分析几何方面物理方面静力方面内力第三章杆件基本变形时的内力分析§3-1内力与截面法§3-2拉压杆的内力与内力图§3-3平面弯曲梁的内力与内力图习题课§3-4受扭圆轴的内力与内力图内力的大小及其分布规律与杆件的变形与失效密切相关，因此内力分析是解决构件承载能力的基础。本章主要研究杆件的内力及其沿杆件轴线的变化规律，以便为杆件的强度、刚度和稳定性计算提供基础。§3-1内力与截面法一、外力及其分类体积力(bodyforce),物体的自重、惯性力等是体积力。表面力(surfaceforce),作用于物体表面上的力，又可分为分布力和集中力。分布力是连续作用于物体表面一定区域内的力，如作用于船体上的水压力等；集中力是作用于一点的力，如火车轮对钢轨的压力等。

按外力作用的方式分类：静载荷(staticloads)，载荷缓慢地由零增加到某一定值后，不再随时间变化，保持不变或变动很不显著，称为静载荷。动载荷(dynamicloads),

载荷随时间而变化。动载荷可分为构件具有较大加速度、受交变载荷和冲击载荷三种情况。按外力的性质分类：外力是外部物体对构件的作用力，包括外加载荷(loads)和约束反力(constrainreaction)

。

外力：二、内力的概念1.内力由外力等作用（变形）引起杆件内部相邻两部分之间相互作用力的改变量，称为附加内力，简称为内力。2.内力的特点：(1)连续分布力系;(2)随外力的变化而变化,与外力组成平衡力系;(3)通常所说的内力，是指横截面上该分布内力系的简化结果。

F1F2F3F4F1F2假想截面分布内力F3F4三、截面法：如图所示杆件为分析m-m截面上的内力，假想地将杆件沿m-m截面截开。mmmm根据均匀连续性假设，截面上的内力是连续分布的，组成一分布内力系，通常所说的内力，是指该分布内力系的简化结果（合力或合力偶）。mm截面法：将杆件假想地截开以显示内力，并由平衡方程确定内力的方法。分析图示梁m-m截面上的内力：假想地沿m-m截面将梁截开，由于梁整体是平衡的，其任一局部也处于平衡。若取截面以左的梁段为研究对象，则左段梁在外力FAx、FAy和截面上的内力作用下平衡。（C为m-m截面的形心）截面上必然有一个与力FAx等值、反向的轴向内力FN，称为轴力；截面上必然有一个与力FAy等值、反向的切向内力FS，称为剪力；截面上必然有一个作用面在轴线所在平面内的内力偶M，称为弯矩。由左段梁的平衡方程m-m截面上的三个内力分量可由平衡方程求出，即

讨论：

（1）若取右段梁为研究对象,同样可求出m-m截面上的轴力、剪力和弯矩，但与取左段梁求得的FN、FS、M分别等值、反向，即为作用与反作用的关系；（2）若将截面左、右两部分之间互相视为固定端约束，则截面上的内力分量相当于固定端的约束力，只不过这种约束是内约束。其中，轴力FN约束截面两侧的轴向相对线位移，剪力FS约束截面两侧的切向相对线位移，弯矩M约束截面两侧的相对转动。截面法是计算内力的基本方法，可归纳为四个字：（1）截：欲求某一截面的内力，沿该截面将构件假想地截成两部分。（2）取：取其中任意部分为研究对象，而弃去另一部分。（3）代：用作用于截面上的内力，代替弃去部分对留下部分的作用力。（4）平：建立留下部分的平衡条件，确定未知的内力。（1）截面不能取在集中力或集中力偶的作用面上；（2）未知的（待求的）内力均设为正方向。注意：思考：如图所示钻床，在力F的作用下，根据截面法分析确定m-m截面上的内力。承载能力分析研究杆件的强度、刚度和稳定性时，研究对象为变形体。因此，适用于刚体的概念、原理和方法，如静力等效、力线平移等，对变形体不适用。注意：FF′F′F力的可传性对变形体适用吗？FACB思考：请判断下列简化在什么情形下是正确的，什么情形下是不正确的？ACBFFACBACBFM§3-2拉压杆的内力与内力图一、轴向拉伸与压缩的概念轴向拉伸与压缩的工程实例

轴向拉伸与压缩的工程实例工程桁架轴向拉伸与压缩的工程实例点击动画点击动画轴向拉伸与压缩的工程实例轴向拉压的概念：（2）变形特点：杆沿轴线方向伸长或缩短。F2F1F2F2（1）受力特点：外力或外力的合力作用线与杆轴线重合（轴向外力）。以轴向拉伸或压缩为主要变形的杆件，称为拉压杆或轴向承载杆。ABCF轴向拉伸轴向压缩思考题：在下图所示各杆件中哪些是属于轴向拉伸或压缩？(a)(c)(d)(b)二、拉压杆的轴力与轴力图1.拉压杆的内力——轴力FNFFNFNF如图所示拉杆，确定任一截面m-m的内力。轴力的大小由平衡方程求解，若取左段为研究对象，由观看动画FFmm根据平衡条件，其任一截面上分布内力系的合力也必与杆的轴线重合，这种与杆件轴线重合的内力称为轴力，用FN表示。2.轴力的正负号规定：压缩—压力，其轴力为负值。方向指向所在截面。拉伸—拉力，其轴力为正值。方向背离所在截面。FNFFFN（＋）FNFFFN（－）F3.轴力图

用平行于杆件轴线的x轴表示横截面的位置，垂直于x轴的坐标FN表示横截面上轴力的大小，在x—FN坐标系中按选定的比例画出轴力沿轴线方向变化的图形，称为轴力图。+FNxFF轴力图的意义:①直观反映轴力随截面位置变化的规律；②当杆件受到两个以上的轴向外力时，在以外力为分界面的不同杆段上，其轴力也不相同。③轴力图可确定出最大轴力的数值及其所在位置，即确定危险截面位置，为强度计算提供依据。例3-1

已知F1=10kN,F2=20kN,F3=35kN,F4=25kN.试画出图示杆件的轴力图。

解(1)计算杆件各段的轴力。AB段BC段CD段(2)绘制轴力图。11FN1F12233FN3F4FN2F1F2F1F3F2F4ABCD练习：

图示杆的A、B、C、D点分别作用着大小为FA=5F、FB=8F、FC=4F、FD=F

的力，方向如图，试求各段轴力，并画出杆的轴力图。FN1ABCDFAFBFCFDO解：求OA段内力FN1，设截面如图所示。ABCDFAFBFCFDFN2FN3DFDFN4ABCDFAFBFCFDO求CD段内力：

求BC段内力：求AB段内力：BCDFBFCFDCDFCFDFN2=–3F，FN3=5F，FN4=F轴力图如下图示FNx2F3F5FFABCDFAFBFCFDOFN3=5F，FN4=FFN2=–3F，拉压杆任一截面的轴力，等于该截面一侧（左侧或右侧）杆上所有外力的代数和。其中，背离截面的外力产生正的轴力，指向截面的外力产生负的轴力。由截面一侧的外力直接计算截面内力的方法，称为简捷法(直接法)。4.计算轴力的规律：例3-3

试画出图示杆件的轴力图。解

(1)分段并计算各段的轴力以外力作用的截面为分界点，将杆件分为AB、BC、CD三段，设截面1-1、2-2、3-3分别为AB、BC、CD段上的任一截面。（2）画轴力图，如图所示。由简捷法可得对于拉压杆，在集中力作用的截面上，其轴力图发生突变，突变值等于该集中力的大小。如上例中，B截面左侧的截面属于AB段，其轴力为4kN；B截面右侧的截面，属于BC段，其轴力为-3kN。在B截面处轴力图有突变，从4kN突变到-3kN，其突变量正好等于B截面处的外力7kN,而在B截面上轴力是不确定的。讨论：作轴力图的步骤：求支座约束力(若取自由端部分半个杆件可不求)分段(集中力作用点为分界点)截面法或简捷法计算各段的轴力作轴力图(标注出各段轴力的大小和正负号)练习：

直杆受外力作用如图，求此杆各段的轴力，并作轴力图。解：（1）分段并计算各段的轴力112233BC段CD段（2）绘制轴力图。AB段思考题：作用于杆件上的外力（载荷）沿其作用线移动时，其轴力图有否改变？支座约束力有否改变？练习：由一高度为H的正方形截面石柱，顶部作用有轴心压力FP。已知材料的容重为g，作柱的轴力图。HnnFPFP解：柱的各截面轴力大小是变化的。计算任意截面n-n上的轴力FN（x）时，将柱从该处假想地截开，取上段作为研究对象。由平衡条件：得：根据轴力方程再绘制出轴力图。§3-3平面弯曲梁的内力与内力图一、弯曲变形的概念弯曲变形的工程实例火车轮轴1、2弯曲变形的工程实例弯曲变形的工程实例楼房的横梁阳台的挑梁弯曲变形的工程实例弯曲变形的工程实例弯曲变形的工程实例图3-10(c)弯曲变形的工程实例弯曲变形的概念受力特点——杆件受到垂直于轴线的外力(横向外力)或作用面在轴线所在平面内的外力偶作用.变形特点——杆轴线由直线变为一条平面的曲线。以弯曲变形为主的杆件---梁。纵向对称面梁的横截面点击动画纵向对称面F1F2q1.平面弯曲的概念梁有纵向对称面，且外力均作用在纵向对称面内，变形后梁的轴线仍在该平面内，称为平面弯曲。M梁变形后的轴线固定铰支座(pinsupport)滚动铰支座(rollersupport)固定端支座（fixedsupport)FA梁的支座种类支座约束力FAxFAyMAAFAyFAxAAAAAA2.单跨静定梁的基本形式1.悬臂梁：2.简支梁：3.外伸梁：（l称为梁的跨长）静定梁:由平衡方程可求出全部约束力和内力的梁。lqMlqlFlF静定梁模型简支梁F悬臂梁静定梁模型外伸梁静定梁模型：二、梁的内力（截面法）如图所示简支梁，已知F、a、l。

求距A端x处截面上内力。FＡyFAxFBFAB①求外力（支座约束力）FAx=0

以后可省略不求。FalABABFFAyFAxFBmmx②求内力（截面法）FSMMFS梁的内力：FAyACFBFC若取m-m

截面右段的梁为研究对象：沿m-m截面将梁截成两段，取左段梁为研究对象：C为m-m截面的形心。ABFFAyFAxFBmmxFSMMFS（1）弯矩M

作用面在纵向对称面内的内力偶矩，称为弯矩，用M表示。AFAyCFBFC（2）剪力FS

与截面相切的内力，称为剪力，用FS表示。1.梁的内力—剪力和弯矩：2.剪力和弯矩的正负号规定：剪力的正负号规定正的剪力FSFS负的剪力FSFSFSFSFSFS左上右下为正

或顺时针为正左下右上为负

或逆时针为负上凹下凸（使梁下侧的纵向纤维受拉）弯矩为正。或左顺右逆弯矩为正。弯矩的正负号正的弯矩MM表示方法引起的变形上凹下凸MM弯矩的正负号负的弯矩MMMM表示方法引起的变形上凸下凹上凸下凹（使梁上侧的纵向纤维受拉）弯矩为正。或左逆右顺弯矩为正。例3-4

外伸梁受载荷如图所示。图中截面1-1和截面2-2均无限接近于截面A，截面3-3和截面4-4均无限接近于截面D。试计算各指定截面的内力。解（1）求梁的支座约束力校核：

3.截面法求梁指定截面的剪力和弯矩FB为负，说明其实际方向向下。（2）计算各截面的内力1-1截面的内力：用截面1-1截取左段梁为研究对象，列平衡方程求得2-2截面的内力：

用截面2-2截取左段梁为研究对象，列平衡方程求得3-3截面的内力：

用截面3-3截取右段梁为研究对象，列平衡方程求得4-4截面的内力：

用截面4-4截取右段梁为研究对象，列平衡方程求得讨论：

（1）比较截面1-1和截面2-2的内力：

可见，在集中力作用处左右两侧无限接近的截面上，弯矩相等，而剪力发生突变，突变值等于集中力的大小。因此，在集中力作用的截面上，不能含糊地说该截面上的剪力是多大，而应该说“在集中力作用处左侧截面和右侧截面上的剪力各为多大。”讨论：

（2）比较截面3-3和截面4-4的内力

可见，在集中力偶作用处左右两侧无限接近的截面上，剪力相等，而弯矩发生突变，突变值等于集中力偶矩的大小。同样，在集中力偶作用处，也不能含糊地说该截面的弯矩是多大，而应说“在集中力偶作用处左侧截面和右侧截面的弯矩各为多大。”若分别在截面A和D左右两侧截取微段梁为分离体，由于梁整体是平衡的，其任一局部也平衡，由微段梁的平衡方程，也可得到集中力、集中力偶作用处剪力、弯矩的突变规律。讨论：例3-5

悬臂梁如图所示,求1-1截面和2-2截面上的剪力和弯矩。解(1)求1-1截面上的内力求得的FS1

、M1

均为负值,说明内力实际方向与假设方向相反。(2)求2-2截面上的内力求得的FS2、M2均为负值,说明内力实际方向与假设方向相反。FFF练习：

外伸梁如图，试求1-1、2-2截面上的剪力和弯矩。解(1)求支座约束力校核：(2)求1-1截面上的内力：取左段梁研究

（3）求2-2截面上的内力：取右段梁研究练习：求A截面右侧和B截面左、右侧的剪力和弯矩。解(1)求支座约束力ABC

A右截面

B左截面

B右截面ABABC

FA为负号表明方向与所设相反。

Ａ右截面：(2)计算各截面剪力和弯矩B左截面：B右截面：求约束力截取研究对象受力图，内力按正向假设。列平衡方程求解内力，负号表示与假设反向内力右截面正向左截面正向微段变形（正）内力的符号规定yx左上右下，FＳ为正左顺右逆，M为正xFSMMFS顺时针错动FS向下凸M截面法求梁指定截面内力的步骤：解(1)求支座约束力(2)1-1截面左段右侧截面：练习：求梁1-1、2-2截面处的内力。2--2截面右段左侧截面：FA4.计算梁指定截面剪力和弯矩的简捷方法截面法是计算梁剪力和弯矩的基本方法，将平衡方程和项后可得到计算梁剪力和弯矩的简捷方法：（1）梁内任一横截面上的剪力等于该截面一侧（左侧或右侧）所有横向外力的代数和。其中，截面以左向上的外力或截面以右向下的外力，在该截面上产生正的剪力，即“左上右下，剪力为正”；反之，则产生负的剪力。（2）梁内任一横截面的弯矩，等于截面一侧（左侧或右侧）所有外力（包括外力偶）对该截面形心力矩的代数和。其中，截面以左对截面形心顺时针的力矩或截面以右对截面形心逆时针的力矩，在该截面上产生正的弯矩，即“左顺右逆，弯矩为正”；反之，则产生负的弯矩。例3-6

用简捷法计算图示梁各指定截面的内力。取梁整体为研究对象校核：

可见，支座约束力计算无误。解(1)计算梁的支座约束力(2)计算各指定截面的内力对于梁1-1截面和2-2截面分别是A支座左侧和右侧的相邻截面，3-3截面和4-4截面分别为C点左、右两侧相邻的截面。根据简捷法，由截面以左梁段上的外力，可分别计算出各截面上的剪力和弯矩：

思考:（1）试根据截面以右梁段上的外力，写出各截面上的内力；（2）试根据集中力、集中力偶作用处剪力、弯矩的突变规律，由截面1-1和截面3-3的内力分别写出截面2-2和4-4的内力。三、由内力方程作梁的内力图

一般情况下，梁横截面上的剪力、弯矩随截面位置而变化。若以梁的轴线为x轴，坐标x表示横截面的位置，则剪力和弯矩可表示为x的函数，即

这种内力随截面位置变化的函数关系式，分别称为梁的剪力方程和弯矩方程。梁的内力随截面位置变化的图线，称为梁的内力图，包括剪力图和弯矩图。由内力图可以确定梁的最大剪力和最大弯矩及其所在截面（危险截面）的位置，以便进行梁的强度计算。1.梁的内力方程和内力图2.由梁的内力方程作内力图注意：(1)标注图名，纵坐标的正负；(2)分界点为：集中力作用点、集中力偶作用点、分布力的起点、终点；(3)控制截面指分界点和极值点所在的截面。剪力方程弯矩方程lqAB(-)(+)由内力方程（剪力和弯矩方程）作内力图，是作梁内力图的基本方法。由剪力和弯矩方程作内力图的步骤一般为：求约束力→分段列剪力和弯矩方程→求控制截面的剪力和弯矩→逐段作图。例3-7图示简支梁受集中荷载F作用。试作梁的剪力图和弯矩图。解

(1)求支座约束力(2)分段列梁的内力方程BlAF

abCFBFAAC段：CB段：xBlAF

abCFBFA（3）作剪力图和弯矩图

AC段梁的剪力图是一条在x轴上方的水平直线，CB段梁的剪力图是一条在x轴下方的水平直线。

AC段和CB段的弯矩方程可知，两段梁的弯矩图均斜直线。每段分别计算出两端截面的M值后可画出M图，列表计算如下：x0axalM0Fab/lMFab/l0在集中力作用处，剪力图发生突变，突变的方向是从左到右和集中力的指向一致，其突变值等于集中力的大小，弯矩图出现“尖点”，即M图在此处的斜率发生改变。

BlAF

abCFBFA在集中力偶作用的截面上，弯矩图发生突变，突变值等于集中力偶的大小。例3-8

在图示简支梁AB的C点处作用一集中力偶M，作该梁的剪力图和弯矩图。abClABM解（1）求支座约束力（2）建立剪力方程和弯矩方程FAFBFSM(3)作内力图AC段、CB段的FS图在全梁上为一水平直线。

AC、CB段的M图均为斜直线。

x0axalM0—Ma/lMMb/l0例3-9

图示简支梁受集度为q的满布荷载作用。试作梁的剪力图和弯矩图。解：（１）求支座约束力（２）列剪力方程和弯矩方程（３）作剪力图和弯矩图FS图是斜直线，计算梁两端处的FS值：M图是一条二次抛物线，作此抛物线，需确定几个坐标点，列表计算如下：x0l/4l/23l/4lM03ql2/32ql2/83ql2/320FS

FSM说明：

当梁受均布荷载作用弯矩图为二次抛物线时，由两端点和极值点的弯矩值即可作出抛物线。qlABx0l/2lM0ql2/80弯矩图为二次抛物线，求出两端点与极值点的弯矩值梁受均布载荷作用时，剪力图为斜直线，其斜率等于均布载荷集度q；弯矩图为二次抛物线，其中剪力为零的截面上，弯矩取极值,弯矩图凹向与均布载荷的指向相同。将以上三点用下凹的光滑曲线相连即得抛物线。FAFB1.弯矩M(x)、剪力Q(x)与分布载荷集度q(x)的微分关系如图悬臂梁受集度为q的均布载荷作用，q以向上为正。取A点为坐标原点，x轴以向右为正，距A端为x的任一截面的剪力和弯矩分别为梁上任一横截面上的剪力对x的一阶导数等于作用在该截面处的分布载荷集度。剪力图上某点切线的斜率等于相应截面处的分布载荷集度。梁上任一横截面上的弯矩对x的一阶导数等于该截面上的剪力。弯矩图上某点切线的斜率等于相应截面上的剪力。梁上任一横截面上的弯矩对x的二阶导数等于该截面处的分布载荷集度。这一微分关系的几何意义是，由分布载荷集度的正负可以确定弯矩图的凹凸方向。四、由内力图的规律作梁的内力图(1)无分布载荷作用的梁段（q=0

）M图为斜直线，其斜率等于剪力。，FS图为水平线2.剪力图、弯矩图的规律梁的内力是由外力产生的，因此梁的剪力图、弯矩图与梁所受的外力之间存在一定的规律。现根据微分关系将外力与剪力图、弯矩图之间的规律分析如下：M图(2)均布载荷作用的梁段（q=常数）FS

图为斜直线，其斜率等于载荷集度q。M图为二次抛物线，抛物线凹向与均布载荷的指向相同。在的截面上，M取极值。雨伞FS

图M图(3)在集中力作用的截面上，剪力发生突变，突变值等于集中力的大小，自左向右突变的方向与集中力的指向相同，弯矩图出现尖点。Ｍ图出现尖点ＦS

图突变Ｍ图出现尖点ＦS

图突变(4)在集中力偶作用的截面上，剪力图无变化，弯矩图发生突变，突变值等于集中力偶矩的大小。当集中力偶为顺时针时，自左向右弯矩图向上突变；反之，则向下突变。Ｍ图突变ＦS

图不变Ｍ图突变ＦS

图不变

q

q=0q=const.>0q=const.<0FS图

FS>0

FS<0

FS>0

FS<0

FS>0

FS<0

M图

M图集中力(偶)

FS图

无变化剪力图、弯矩图的规律无变化突变突变转折基本步骤：1.求梁的支座约束力（悬臂梁可不求）；2.分段：（端点、集中力、集中力偶作用点及分布载荷的分布长度起、止点为分界点。）3.利用内力图的规律判断各段梁剪力图和弯矩图的形状；4.求控制截面的剪力和弯矩；5.画内力图。3.由内力图的规律作梁的内力图控制截面:

端点、分界点（外力变化点）和驻点（极值点）所在的截面。CA段：q向下，例3-10外伸梁，受力如图，试画剪力图和弯矩图。解（1）求支座约束力2015xFS／

kNx15515（２）作剪力图和弯矩图10A点：ＦA＝35kＮ（），发生突变，CADBAB段：无分布载荷Ｂ点：ＦＢ＝15kN（），发生突变CA段：q向下AD段：无载荷，M／kN·mD点：MD左＝5kＮ.m，发生突变（）。DB段：例3-11

简支梁如图所示，已知:试画出梁的剪力图、弯矩图。解（1）求支座约束力

校核：(2)分段:根据梁上作用的外力情况，全梁分AC、CD、DB三段。（3）画剪力图和弯矩图BFAC、CD段：无载荷作用，其剪力图均为水平线．DB段：有向下的均布载荷，其剪力图为下斜直线AC、CD段：均无载荷作用，其M图均为斜直线

DB段：有向下的均布载荷，M图为下凹的二次抛物线，在FS=0的E截面上弯矩取极值，由剪力图可求出计算控制截面的M值

由内力图的规律作梁内力图的步骤：

求梁的支座约束力（悬臂梁可不求）分段分界点：端点、集中力、集中力偶作用面，分布载荷作用的起、止点。由内力图的规律判断各段梁剪力图、弯矩图的形状。求控制截面的剪力值和弯矩值逐段画出剪力图和弯矩图。控制截面：端点、分界点和极值点所在的截面。习题课例1：作梁的剪力图和弯矩图。解（１）求支座约束力（2）分段：将梁分为AC

、CB两段。（3）画剪力图AC段上无载荷，其剪力图为水平线。CB段上有向下的均布载荷，其剪力图为下斜平线。求控制截面的剪力：画出梁的剪力图如图所示。（+）（-）（3）画弯矩图AC段上无载荷，其弯矩图为斜直线，CB段上有向下的均布载荷，其弯矩图为下凹的二次抛物线。在剪力为零的Ｄ截面上弯矩取极值（+）（+）（-）画出梁的弯矩图如图所示。例2：一外伸梁如图所示，已知q=4kN/m，F=16kN，l=4m，试画出梁的剪力图、弯矩图。解（1）求支座约束力

（2）根据梁上的外力情况，将梁分为AB、BC、CD三段。（3）画剪力图和弯矩图AB段：q向下，FS图

BC段：无载荷，FS图

CD段：无载荷，FS图

AB段:上有向下的均布载荷，其弯矩图为下凹的二次抛物线BC段:无载荷作用，其弯矩图均为斜直线CD段:无载荷作用，其弯矩图均为斜直线解(1)求支座约束力(2)分段：将梁分为AC、CD、DB三段。例3画出梁的内力图。1kN/m2kN（3）作剪力图AC段上无载荷，剪力图为水平线。CD段上无载荷，剪力图为水平线。DB段上有向下的均布载荷，剪力图为下斜直线。求控制截面的剪力：画出梁的剪力图如图所示。(4)作弯矩图1kN/m2kNAC段上无载荷，弯矩图为上斜直线。CD段上无载荷，弯矩图为水平线。DB段上有向下的均布载荷，弯矩图为下凹的二次抛物线。求控制截面的弯矩：画出梁的弯矩图如图所示。CADBFA例4：外伸梁，受力如图，试画剪力图和弯矩图。解：（1）求支座约束力2015M／kNmxFS／

kNx15515FB（２）作剪力图和弯矩图10CA段：q向下，A点：ＦA＝35kＮ（），发生跳跃，AB段：无载荷Ｂ点：ＦＢ＝15kN（），发生突变CA段：q向下AD段：无载荷，2.作剪力图、弯矩图D点：MD＝20kＮ.m，发生跳跃（）。DB段：练习：如图所示简支梁，在中点受集中力和集中力偶作用。试作梁的剪力图和弯矩图。解（1）求梁的支座约束力（2）分段：根据梁上作用的外力情况，梁分为AC、CB两段。（3）作梁的FS图

AC段和CB段内无分布载荷作用，所以FS图为水平线，在C处作用有向下的集中力，故剪力图在该处有向下的突变，突变的大小为2F。控制截面的剪力值分别为

作出梁的剪力图如图b所示。(4)作梁的M图AC段和CB段内无分布载荷作用，M图为斜直线。在C处有顺时针转向的集中力偶作用，故弯矩图在此处向上的突变，突变的大小为Fl。控制截面的弯矩值分别为作出梁的弯矩图如图c所示。解：（1）求支座约束力FS/kNoxM/kNmxo45练习：作图示外伸梁的剪力图和弯矩图。（2）画FS、M图20530602015CADBE2m30kNq=10kN.mM=60kN.mFAFB§3-4受扭圆轴的内力与内力图一、扭转（Torsion)变形的概念扭转（Torsion)变形的工程实例攻丝丝锥

桥式起重机的传动轴

扭转变形的工程实例扭转变形的工程实例传动轴汽车中的转向轴传动轴扭转变形的工程实例扭转变形的工程实例汽车传动轴扭转变形的工程实例CA6140主轴箱变速过程扭转变形的工程实例自行车的中轴扭转变形的工程实例圆轴扭转（Torsion)变形的概念受力特点：变形特点：工程中以扭转变形为主的构件称为轴。杆件各横截面将绕轴线发生相对转动，相对扭转角。杆件受到作用面与轴线垂直的外力偶作用。点击动画1、2、3、4变形前变形后扭转角扭转（Torsion)变形二、外力偶矩的计算

在工程实际中，作用于轴上的外力偶矩一般并不直接给出，而是根据轴的转速和轴传递的功率来确定，其计算公式为式中:M为外力偶矩，单位为N·m；P为功率，单位是kW；n为转速，单位为r/min。

例如：富康AX轿车额定功率65kW，在4500转时平稳（P与n无关）输出扭矩（对车轴