2022-2023学年湖北省黄冈市浠水县石头中学八年级（上）期中数学试卷（含解析）

2022-2023学年湖北省黄冈市浠水县石头中学八年级第一学期期中数学试卷一、单选题（每题3分，共24分）1．下列每组数分别表示三根木棒的长，将它们首尾连接后，能摆成三角形的一组是（）A．4，2，2 B．3，6，2 C．2，2，1 D．1，2，32．如图，点O是△ABC内一点，∠A＝70°，∠ABO＝30°，∠ACO＝10°，则∠BOC的度数为（）A．80° B．100° C．110° D．120°3．如果△ABC≌△EFD，∠B＝50°，则∠F的度数是（）A．95° B．55° C．50° D．35°4．如图，已知，三角形DBE全等于三角形ABC，∠EBC＝40°，若AB⊥DE，则∠A的度数（）A．35° B．40° C．45° D．50°5．若等腰三角形的两边长分别为3cm和8cm，则它的周长为（）A．14cm B．14cm或19cm C．19cm D．以上都不对6．如图，在Rt△ABC中，∠B＝30°，点D、E分别在边AC、AB上，AD＝2CD，P是边BC上一动点，P、D不与C重合，当AD＝13时，求PD+PE的最小值（）A．24 B．25 C．26 D．7．如图，已知在△ABC中，BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，且OM∥AB，ON∥AC，若CB＝6，则△OMN的周长是（）A．3 B．6 C．9 D．128．如图，已知△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，AC的垂直平分线N交AB于D，AC于M．以下结论：①∠BCD＝72°；②射线CD是∠ACB的角平分线；③△BCD的周长＝AC+BC；④△ADM≌△BCD．正确的有（）A．① B．② C．③ D．④二、填空题（每题3分，共24分）9．在△ABC中，若∠A＝43°，∠B＝47°，则这个三角形是．10．如图，点BECF在一条直线上，∠A＝∠D，AB＝DE，AC＝DF，BF＝10，EC＝3，则CF＝．11．如图，D是AB上一点，DF交AC于点E，DE＝FE，FC∥AB，AB＝5，BD＝1，则CF＝．12．如图，若△ABE和△ADC分别是由△ABC沿AB、AC边翻折180°得到的，若∠BAC＝150°，则∠1的度数为．13．如图，在△ABC中，DE是AC的垂直平分线，AE＝4cm，△ABD的周长为14cm，则△ABC的周长为cm．14．如图，△ABC中，AB＝AC＝4，AD⊥BC于点D，点E、F分别在AD、AB上运动．若△ABC的面积为6，则BE+EF的最小值为．15．如图，点F，C在线段BE上，若△ABC≌△DEF，BE＝16，BF＝4，则FC的长度是．16．如图，已知正方形ABCD中，边长为8cm，点E在AB边上，BE＝5cm．如果点P在线段BC上以2cm/秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CD上以acm/秒的速度由C点向D点运动，设运动的时间为t秒，若以E、B、P为顶点的三角形和以P、C、Q为顶点的三角形全等，则a＝．三、解答题（共72分）17．如图，在△ABC中，AD是△ABC的高线，AE是△ABC的角平分线，已知∠BAC＝100°，∠C＝30°，求∠DAE的大小．18．如图所示，已知AD，AE分别是△ABC的高和中线，AB＝6cm，AC＝8cm，BC＝10cm，∠CAB＝90°．试求：（1）AD的长；（2）△ABE的面积；（3）△ACE和△ABE的周长的差．19．已知：如图，AC平分∠BAD，CE⊥AB于E，CF⊥AD于F，且∠ADC+∠B＝180°．（1）若AB＝12，AD＝8，则AF＝．（2）若△ABC的面积是24，△ADC的面积是16，则△BEC的面积等于．20．如图，在△ABC中，∠A＝60°，角平分线BD，CE交于点O．（1）求∠BOC的度数；（2）点F在BC上，BF＝BE，试说明：△COD≌△COF．21．如图，点E在CD上，BC与AE交于点F，AB＝CB，BE＝BD，∠1＝∠2．（1）求证：AE＝CD；（2）若∠1＝63°，求∠3的度数．22．如图，在△ABC中，边AB的垂直平分线EF分别交边BC，AB于点E，F，过点A作AD⊥BC于点D，且D为线段CE的中点．（1）求证：BE＝AC；（2）若∠B＝35°，求∠C的度数．23．如图，CD平分∠ACB，DE⊥CA，DF⊥CB．求证：（1）△CDE≌△CDF；（2）CD垂直平分EF．24．如图，在长方形ABCD中，AB＝4，BC＝5，延长BC到点E，使得CE＝CD，连结DE．若动点P从点B出发，以每秒2个单位的速度沿着BC﹣CD﹣DA向终点A运动，设点P的运动时间为t秒．（1）CE＝；当点P在BC上时，BP＝（用含有t的代数式表示）；（2）在整个运动过程中，点P运动了秒；（3）当t＝秒时，△ABP和△DCE全等；（4）在整个运动过程中，求△ABP的面积．

参考答案一、单选题（每题3分，共24分）1．下列每组数分别表示三根木棒的长，将它们首尾连接后，能摆成三角形的一组是（）A．4，2，2 B．3，6，2 C．2，2，1 D．1，2，3【分析】根据三角形的三边关系：三角形两边之和大于第三边，计算两个较小的边的和，看看是否大于第三边即可．解：A、2+2＝4，不能组成三角形，故A选项不符合题意；B、3+2＜6，不能组成三角形，故B选项不符合题意；C、2﹣1＜2＜2+1，能组成三角形，故C选项符合题意；D、1+2＝3，不能组成三角形，故D选项不符合题意．故选：C．【点评】本题考查了三角形三边关系，在运用三角形三边关系判定三条线段能否构成三角形时并不一定要列出三个不等式，只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可判定这三条线段能构成一个三角形．2．如图，点O是△ABC内一点，∠A＝70°，∠ABO＝30°，∠ACO＝10°，则∠BOC的度数为（）A．80° B．100° C．110° D．120°【分析】连接AO并延长交BC于点E，利用三角形的外角性质可得出∠BOE＝∠BAO+∠ABO，∠COE＝∠CAO+∠ACO，结合∠BOC＝∠BOE+∠COE可得出∠BOC＝∠BAO+∠ABO+∠CAO+∠ACO，再结合∠BAC＝∠BAO+∠CAO＝70°，∠ABO＝30°，∠ACO＝10°，即可求出∠BOC的度数．解：连接AO并延长交BC于点E，如图所示：∵∠BOE＝∠BAO+∠ABO，∠COE＝∠CAO+∠ACO，∴∠BOC＝∠BOE+∠COE＝∠BAO+∠ABO+∠CAO+∠ACO．又∵∠BAC＝∠BAO+∠CAO＝70°，∠ABO＝30°，∠ACO＝10°，∴∠BOC＝∠BAC+∠ABO+∠ACO＝70°+30°+10°＝110°．故选：C．【点评】本题考查了三角形的外角性质，牢记“三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和”是解题的关键．3．如果△ABC≌△EFD，∠B＝50°，则∠F的度数是（）A．95° B．55° C．50° D．35°【分析】直接根据全等三角形的性质求解．解：∵△ABC≌△EFD，∴∠F＝∠B＝50°．故选：C．【点评】本题考查了全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等；全等三角形的对应角相等．4．如图，已知，三角形DBE全等于三角形ABC，∠EBC＝40°，若AB⊥DE，则∠A的度数（）A．35° B．40° C．45° D．50°【分析】根据全等三角形的性质和三角形的内角和定理，即可得到结论．解：∵三角形DBE全等于三角形ABC，∴∠ABC＝∠DBE，∴∠DBF＝∠CBE＝40°，∵AB⊥DE，∴∠DFB＝90°，∴∠D＝90°﹣40°＝50°，∵三角形DBE全等于三角形ABC，∴∠A＝∠D＝50°，故选：D．【点评】本题考查了全等三角形的性质，三角形的内角和定理，熟练掌握全等三角形的性质是解题的关键．5．若等腰三角形的两边长分别为3cm和8cm，则它的周长为（）A．14cm B．14cm或19cm C．19cm D．以上都不对【分析】题中没有指出哪个底哪个是腰，故应该分情况进行分析，注意应用三角形三边关系进行验证能否组成三角形．解：当3cm是腰时，3+3＜8，不符合三角形三边关系，故舍去；当8cm是腰时，符合三角形三边关系，周长＝8+8+3＝19（cm）．故它的周长为19cm．故选：C．【点评】此题主要考查等腰三角形的性质及三角形三边关系的运用；已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解题的关键．6．如图，在Rt△ABC中，∠B＝30°，点D、E分别在边AC、AB上，AD＝2CD，P是边BC上一动点，P、D不与C重合，当AD＝13时，求PD+PE的最小值（）A．24 B．25 C．26 D．【分析】作D关于BC的对称点D'，作D'E⊥AB于点E，则PD+PE＝D'E，D'E⊥AB时，D'E最小，即求得D'E＝AE＝13．解：作D关于BC的对称点D'，作D'E⊥AB于点E，则PD＝PD'，DC＝D'C，∴PD+PE＝PD+PD'＝D'E，∴当D'E⊥AB时，D'E最小，∵AD＝13，AD＝2CD，DC＝D'C，∴CD＝D'C＝6.5，AD'＝13+6.5+6.5＝26，∵∠B＝30°，∴AE＝AD'＝＝13，∴D'E＝AE＝13．故选：D．【点评】本题考查了轴对称﹣最短路线问题，直角三角形的性质，正确地作出图形是解题的关键．7．如图，已知在△ABC中，BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，且OM∥AB，ON∥AC，若CB＝6，则△OMN的周长是（）A．3 B．6 C．9 D．12【分析】由BO为∠ABC的平分线，得到一对角相等，再由OM与AB平行，根据两直线平行内错角相等得到一对角相等，等量代换得到∠MBO＝∠MOB，再由等角对等边得到OM＝BM，同理ON＝CN，然后利用三边之和表示出三角形OMN的周长，等量代换得到其周长等于BC的长，由BC的长即可求出三角形OMN的周长．解：∵BO平分∠ABC，∴∠ABO＝∠DBO，又OM∥AB，∴∠ABO＝∠MOB，∴∠MBO＝∠MOB，∴OM＝BM，同理ON＝CM，∵BC＝6，则△OMN的周长c＝OM+MN+ON＝BM+MN+NC＝BC＝6．故选：B．【点评】此题考查了等腰三角形的判定与性质，以及平行线的性质，利用了等量代换的思想，熟练掌握性质是解本题的关键．8．如图，已知△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，AC的垂直平分线N交AB于D，AC于M．以下结论：①∠BCD＝72°；②射线CD是∠ACB的角平分线；③△BCD的周长＝AC+BC；④△ADM≌△BCD．正确的有（）A．① B．② C．③ D．④【分析】根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理由AB＝AC，∠A＝36°可得到∠B＝∠ACB＝72°，再根据线段垂直平分线的性质得到DA＝DC，根据等腰三角形的性质有∠ACD＝∠A＝36°，可计算出∠BCD＝72°﹣36°＝36°，可对①进行判断；根据三角形的角平分线的定义可对②进行判断；根据DA＝DC和三角形周长的定义可得到△BCD的周长C△BCD＝DB+DC+BC＝DB+DA+BC＝AB+BC，则可对③进行判断；由于△ADM为直角三角形，而△BCD为顶角为36°的等腰三角形，可对④进行判断．解：∵AB＝AC，∠A＝36°，∴∠B＝∠ACB＝72°，∵AC的垂直平分线MN交AB于D，∴DA＝DC，∴∠ACD＝∠A＝36°，∴∠BCD＝72°﹣36°＝36°，∴∠BDC＝180°﹣∠B﹣∠BCD＝72°，所以①错误；∵∠BCD＝36°，∠ACD＝36°，∴CD平分∠ACB，∴线段CD为∠ACB的角平分线，所以②错误；∵DA＝DC，∴△BCD的周长C△BCD＝DB+DC+BC＝DB+DA+BC＝AB+BC，所以③正确；∵△ADM为直角三角形，而△BCD为顶角为36°的等腰三角形，∴△ADM不等全等于△BCD，所以④错误．故选：C．【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质：有两组边对应相等，且它们所夹的角也相等，那么这两个三角形全等；全等三角形的对应边相等．也考查了线段垂直平分线的性质以及等腰三角形的判定与性质．二、填空题（每题3分，共24分）9．在△ABC中，若∠A＝43°，∠B＝47°，则这个三角形是直角三角形．【分析】根据三角形内角和定理求解即可．解：∵∠A＝43°，∠B＝47°，∠A+∠B+∠C＝180°，∴∠C＝90°，∴△ABC是直角三角形，故答案为：直角三角形．【点评】此题考查了三角形内角和定理，熟记三角形内角和定理是解题的关键．10．如图，点BECF在一条直线上，∠A＝∠D，AB＝DE，AC＝DF，BF＝10，EC＝3，则CF＝3.5．【分析】由AB＝DE，∠A＝∠D，AC＝DF，根据全等三角形的判定定理“SAS”证明△ABC≌△DEF，得BC＝EF，即可推导出CF＝BE，则2BE+3＝10，所以BE＝3.5．解：在△ABC和△DEF中，，∴△ABC≌△DEF（SAS），∴BC＝EF，∴BE+CE＝CF+CE，∴CF＝BE，∵BF＝10，EC＝3，∴BE+CF+3＝10，∴2BE+3＝10，∴BE＝3.5，故答案为：3.5．【点评】此题重点考查全等三角形的判定与性质，正确地找到全等三角形的对应边和对应角并且证明△ABC≌△DEF是解题的关键．11．如图，D是AB上一点，DF交AC于点E，DE＝FE，FC∥AB，AB＝5，BD＝1，则CF＝4．【分析】由FC∥AB证明∠F＝∠ADE，即可根据全等三角形的判定定理“ASA”证明△CFE≌△ADE，则CF＝AD＝AB﹣BD＝4，于是得到问题的答案．解：∵FC∥AB，∴∠F＝∠ADE，在△CFE和△ADE中，，∴△CFE≌△ADE（ASA），∵AB＝5，BD＝1，∴AD＝AB﹣BD＝4，∴CF＝AD＝4，故答案为：4．【点评】此题重点考查平行线的性质、对顶角相等、全等三角形的判定与性质等知识，正确地找到全等三角形的对应边和对应角并且证明△CFE≌△ADE是解题的关键．12．如图，若△ABE和△ADC分别是由△ABC沿AB、AC边翻折180°得到的，若∠BAC＝150°，则∠1的度数为60°．【分析】先根据三角形内角和与翻折变换的特点求得∠EBC+∠DCB＝60°，再根据三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和得∠1＝60°．解：∵∠BAC＝150°，∴∠ABC+∠ACB＝30°，∵∠EBA＝∠ABC，∠DCA＝∠ACB，∴∠EBA+∠ABC+∠DCA+∠ACB＝2（∠ABC+∠ACB）＝60°，即∠EBC+∠DCB＝60，∴∠1＝60°．故答案为：60°．【点评】此题主要考查了折叠的性质和三角形内角和定理的综合运用，巧妙运用三角形的外角的性质“三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和”是解决问题的关键．13．如图，在△ABC中，DE是AC的垂直平分线，AE＝4cm，△ABD的周长为14cm，则△ABC的周长为22cm．【分析】根据线段的垂直平分线的性质得到DA＝DC，AE＝EC＝4cm，由AB+BD+AD＝14cm，得到AB+BD+DC＝14cm，所以有AB+BC+AC＝14cm+8cm＝22cm，从而得到结论．解：∵DE是AC的垂直平分线，∴DA＝DC，AE＝EC＝4cm，而△ABD的周长为14cm，即AB+BD+AD＝14cm，∴AB+BD+DC＝14cm，∴AB+BC+AC＝14cm+8cm＝22cm，即△ABC的周长为22cm．故答案为：22．【点评】本题考查了线段的垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等．也考查了三角形周长的定义．14．如图，△ABC中，AB＝AC＝4，AD⊥BC于点D，点E、F分别在AD、AB上运动．若△ABC的面积为6，则BE+EF的最小值为3．【分析】F关于AD的对称点M，连接BM，过B作BN⊥AC于N，根据三角形面积公式求出BN，根据对称性质求出BE+EF≥BM，根据垂线段最短得出BE+EF≥3，即可得出答案．解：作F关于AD的对称点M，连接BM，过B作BN⊥AC于N，∵AB＝AC＝4，△ABC的面积为6，∴BN＝2×6÷4＝3，∵F关于AD的对称点M，∴EF＝EM，∴BE+EF＝BE+EM≥BM，当B、E、M三点依次在同一直线上时，BE+EF＝BE+EM＝BM，根据垂线段最短得出：BM≥BN，即BE+EF≥3，即BE+EF的最小值是3，故答案为：3．【点评】本题主要考了等腰三角形的性质，勾股定理，轴对称﹣最短路线问题等知识点的理解和掌握，能求出BE+EF＝BM的长是解此题的关键．题目具有一定的代表性，是一道比较好的题目．15．如图，点F，C在线段BE上，若△ABC≌△DEF，BE＝16，BF＝4，则FC的长度是8．【分析】直接利用全等三角形的性质得出BC＝EF，进而得出BF＝CE，结合已知即可得出答案．解：∵△ABC≌△DEF，∴BC＝EF，∵点F，C在线段BE上，∴BF＝BC﹣FC，CE＝FE﹣FC，∴BF＝CE，∵BF＝4，∴CE＝4，又∵BE＝16，∴FC＝BE﹣CE﹣BF＝16﹣4﹣4＝8．故答案为：8．【点评】此题主要考查了全等三角形的性质，正确得出对应边相等是解题关键．16．如图，已知正方形ABCD中，边长为8cm，点E在AB边上，BE＝5cm．如果点P在线段BC上以2cm/秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CD上以acm/秒的速度由C点向D点运动，设运动的时间为t秒，若以E、B、P为顶点的三角形和以P、C、Q为顶点的三角形全等，则a＝2或2.5．【分析】分△BPE≌△CPQ和△BPE≌△CQP两种情况，利用全等三角形得出线段相等，建立方程进行解答．解：正方形ABCD中，边长为8cm，BE＝5cm．根据题意可知：BP＝2tcm，CQ＝atcm，∴PC＝BC﹣BP＝（8﹣2t）cm，当△BPE≌△CPQ时，BP＝PC，BE＝CQ，即2t＝8﹣2t，at＝5，解得t＝2，a＝2.5，当△BPE≌△CQP时，BP＝CQ，BE＝PC，即2t＝at，8﹣2t＝5，解得t＝1.5，a＝2．故答案为：2或2.5．【点评】本题考查的是正方形的性质和全等三角形的判定和性质，正确运用数形结合思想和分类讨论思想是解题的关键．三、解答题（共72分）17．如图，在△ABC中，AD是△ABC的高线，AE是△ABC的角平分线，已知∠BAC＝100°，∠C＝30°，求∠DAE的大小．【分析】先根据三角形内角和定理，计算出∠B，再利用角平分线的定义，得到∠BAE＝∠BAC，由AD是△ABC的高，得到∠BAD＝90°﹣∠B，然后根据∠DAE＝∠BAE﹣∠BAD求解．解：∵∠BAC＝100°，∠C＝30°，∴∠B＝180°﹣∠BAC﹣∠C＝50°，∵AE是△ABC的角平分线，∴∠BAE＝∠CAE＝∠BAC＝50°，∵AD是△ABC的高，∴∠ADB＝90°，∴∠BAD＝90°﹣∠B＝90°﹣50°＝40°，∴∠DAE＝∠BAE﹣∠BAD＝50°﹣40°＝10°．【点评】本题主要考查了三角形高线、角平分线以及三角形内角和定理的运用，解题时注意：三角形内角和是180°．本题也可以根据∠DAE＝∠CAD﹣∠CAE求解．18．如图所示，已知AD，AE分别是△ABC的高和中线，AB＝6cm，AC＝8cm，BC＝10cm，∠CAB＝90°．试求：（1）AD的长；（2）△ABE的面积；（3）△ACE和△ABE的周长的差．【分析】（1）利用“面积法”来求线段AD的长度；（2）△AEC与△ABE是等底同高的两个三角形，它们的面积相等；（3）由于AE是中线，那么BE＝CE，于是△ACE的周长﹣△ABE的周长＝AC+AE+CE﹣（AB+BE+AE），化简可得△ACE的周长﹣△ABE的周长＝AC﹣AB，易求其值．解：∵∠BAC＝90°，AD是边BC上的高，∴AB•AC＝BC•AD，∴AD＝＝＝4.8（cm），即AD的长度为4.8cm；（2）方法一：如图，∵△ABC是直角三角形，∠BAC＝90°，AB＝6cm，AC＝8cm，∴S△ABC＝AB•AC＝×6×8＝24（cm2）．又∵AE是边BC的中线，∴BE＝EC，∴BE•AD＝EC•AD，即S△ABE＝S△AEC，∴S△ABE＝S△ABC＝12（cm2）．∴△ABE的面积是12cm2．方法二：因为BE＝BC＝5，由（1）知AD＝4.8，所以S△ABE＝BE•AD＝×5×4.8＝12（cm2）．∴△ABE的面积是12cm2．（3）∵AE为BC边上的中线，∴BE＝CE，∴△ACE的周长﹣△ABE的周长＝AC+AE+CE﹣（AB+BE+AE）＝AC﹣AB＝8﹣6＝2（cm），即△ACE和△ABE的周长的差是2cm．【点评】本题考查了中线的定义、三角形周长的计算．解题的关键是利用三角形面积的两个表达式相等，求出AD．19．已知：如图，AC平分∠BAD，CE⊥AB于E，CF⊥AD于F，且∠ADC+∠B＝180°．（1）若AB＝12，AD＝8，则AF＝10．（2）若△ABC的面积是24，△ADC的面积是16，则△BEC的面积等于4．【分析】（1）利用角平分线的性质可得CE＝CF，∠F＝∠CEB＝90°，根据等角的补角相等得∠B＝∠CDF，利用AAS证出两三角形全等，求出DF＝BE，证Rt△AFC≌Rt△AEC，推出AF＝AE，由BE＝DF可得AB﹣AE＝AF﹣AD＝AB﹣AF，即可得AB+AD＝2AF；（2）利用全等三角形的面积相等，设△BEC的面积为x，列出方程可得结果．解：（1）∵AC平分∠BAD，CE⊥AB于E，CF⊥AD于F，∴CE＝CF，∠CEB＝∠F＝90°，∵∠ADC+∠B＝180°，∠ADC+∠CDF＝180°，∴∠B＝∠CDF，在△BCE与△DCF中，，∴△BCE≌△DCF（AAS），∴DF＝BE，在Rt△ACE与Rt△ACF中，，∴Rt△ACE≌Rt△ACF（HL），∴AF＝AE，∴AB﹣AE＝AF﹣AD＝AB﹣AF，∴AB+AD＝2AF，∵AB＝12，AD＝8，∴AF＝10，故答案为：10；（2）∵△BCE≌△DCF，∴S△BCE＝S△DCF，设△BEC的面积为x，∵△ABC的面积是24，△ADC的面积是16，∴24﹣x＝16+x，解得：x＝4，故答案为：4．【点评】考查了角平分线性质，全等三角形的判定和性质的应用，三角形的面积，本题中利用全等三角形的判定和性质是解题的关键．20．如图，在△ABC中，∠A＝60°，角平分线BD，CE交于点O．（1）求∠BOC的度数；（2）点F在BC上，BF＝BE，试说明：△COD≌△COF．【分析】（1）利用角平分线的定义以及三角形内角和定理计算即可；（2）只要证明∠BOF＝∠BOE＝60°，可得∠COD＝∠COF＝60°即可证明．解：（1）∵BD和CE分别平分∠ABC和∠ACB，∴∠OBC＝∠ABC，∠OCB＝∠ACB，∵∠A＝60°，∴∠OBC+∠OCB＝（∠ABC+∠ACB）＝×（180°﹣60°）＝60°，∴∠BOC＝180°﹣60°＝120°；（2）∵BD平分∠ABC，CE平分∠ACB，∴∠EBO＝∠FBO，∠OCD＝∠OCF，在△OBE和△OBF中，，∴△OBE≌△OBF（SAS），∴∠BOE＝∠BOF，∵∠BOC＝120°，∴∠BOE＝60°，∴∠BOF＝∠COF＝∠COD＝60°，在△COD和△COF中，，∴△COD≌△COF（ASA）．【点评】本题考查全等三角形的判定和性质、角平分线的定义等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形全等的条件，属于中考常考题型．21．如图，点E在CD上，BC与AE交于点F，AB＝CB，BE＝BD，∠1＝∠2．（1）求证：AE＝CD；（2）若∠1＝63°，求∠3的度数．【分析】（1）利用SAS证明△ABE≌△CBD即可，根据全等三角形的性质即可得解；（2）根据等腰三角形的性质可得∠BED＝∠D＝61.5°，然后根据△ABE≌△CBD，可得∠AEB＝∠D＝58.5°，进而根据平角定义即可解决问题．【解答】（1）证明：∵∠1＝∠2．∴∠1+∠CBE＝∠2+∠CBE，∴∠ABE＝∠CBD，在△ABE和△CBD中，，∴△ABE≌△CBD（SAS），∴AE＝CD；（2）解：∵∠1＝∠2＝63°，BE＝BD，∴∠BED＝∠D＝×（180°﹣∠2）＝58.5°，∵△ABE≌△CBD，∴∠AEB＝∠D＝58.5°，∴∠3＝180°﹣2×58.5°＝63°．【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，解决本题的关键是得到△ABE≌△CBD．22．如图，在△ABC中，边AB的垂直平分线EF分别交边BC，AB于点E，F，过点A作AD⊥BC于点D，且D为线段CE的中点．（1）求证：BE＝AC；（2）若∠B＝35°，求∠C的度数．【分析】（1）连接AE，由题意可判定AD垂直平分CE，由线段垂直平分线的性质可得AC＝AE＝BE，即可证明结论；（2）由等腰三角形的性质可求∠BAE＝35°，由直角三角形的性质可得∠BAD的度数，即可求得∠EAD，∠CAD的度数，进而可求解．【解答】（1）证明：连接AE，∵AD⊥BC于点D，且D为线段CE的中点，∴AD垂直平分CE，∴AC＝AE，∵EF垂直平分AB，∴AE＝BE，∴BE＝AC；（2）解：∵AE＝BE，∠B＝35°，∴∠BAE＝∠B＝35°，∵AD⊥BC，∴∠ADB＝90°，∴∠BAD＝90°﹣35°＝55°，∴∠EAD＝55°﹣35°＝20°，∵AC＝AE，∴∠AED＝∠C＝90°﹣20°＝70°．【点评】本题主要考查线段的垂直平分线，等腰三角形的性质与判定，直角三角形的性质，灵活运用垂直平分线的性质是解题的关键．23．如图，C