2022-2023学年安徽省滁州市天长实验中学九年级（上）期末数学试卷（含解析）

2022-2023学年安徽省滁州市天长实验中学九年级第一学期期末数学试卷一、选择题（共10小题，共40分）1．下列商标是轴对称图形的是（）A． B． C． D．2．平面直角坐标系中，将抛物线y＝﹣x2先向右平移1个单位，再向上平移2个单位，得到的抛物线的解析式是（）A．y＝（x+1）2+2 B．y＝（x﹣1）2+2 C．y＝﹣（x﹣1）2+2 D．y＝﹣（x﹣1）2﹣23．若＝，则的值为（）A． B． C． D．4．在Rt△ABC中，若各边长都扩大为原来的2倍，则锐角A的正切值（）A．扩大为原来的3倍 B．缩小为原来的 C．不变 D．以上都不对5．如图，把一张矩形纸片沿着它的长边对折（EF为折痕），得到两个全等的小矩形．若小矩形的长与宽的比恰好等于原来矩形的长与宽的比，则小矩形的长与宽的比是（）A．2：1 B．3：2 C． D．6．如图，在▱ABCD中，AB＝6，AD＝9，∠BAD的平分线交BC于点E，交DC的延长线于点F，BG⊥AE，垂足为G，BG＝，则△CEF的周长为（）A．8 B．9.5 C．10 D．11.57．如图所示，A，B，C，D是圆上的点，∠1＝68°，∠A＝40°．则∠D的度数为（）A．30° B．40° C．28° D．56°8．在△ABC中，若，则△ABC是（）A．等腰三角形 B．等腰直角三角形 C．直角三角形 D．一般锐角三角形9．如图是二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象的一部分，有下列4个结论：①abc＞0；②b2﹣4ac＞0；③关于x的方程ax2+bx+c＝0的两个根是x1＝﹣2，x2＝3；④关于x的不等式ax2+bx+c＞0的解集是x＞﹣2．其中正确的结论有（）个．A．1 B．2 C．3 D．410．如图，⊙O半径为，正方形ABCD内接于⊙O，点E在上运动，连接BE，作AF⊥BE，垂足为F，连接CF．则CF长的最小值为（）A．﹣1 B．1 C．﹣1 D．二、填空题（共4小题，共20.0分）11．小丽和小强在阳光下行走，小丽身高1.75米，她的影长2.5米，小强比小丽高7cm，此刻小强的影长是米．12．如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为点E，连接OC，若OC＝5，AE＝2，则CD等于．13．人们把这个数叫做黄金分割数，著名数学家华罗庚优选法中的0.618法就应用了黄金分割数．设a＝，b＝，得ab＝1，记S1＝，S2＝，…，S10＝，则S1+S2+…+S10＝．14．如图，点E是矩形ABCD中CD边上一点，△BCE沿BE折叠得到对应的△BFE，且点C的对应点F落在AD上．若tan∠DFE＝，BC＝3，则CE＝．三、解答题（共9小题，共90.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）15．计算2sin260°+tan60°•cos30°﹣cos45°．16．如图，平面直角坐标系内，小正方形网格的边长为1个单位长度，△ABC的三个顶点的坐标分别为A（﹣1，3），B（﹣4，0），C（0，0）．（1）将△ABC向上平移1个单位长度，再向右平移5个单位长度后得到的△A1B1C1，画出△A1B1C1，并直接写出点A1的坐标；（2）△ABC绕原点O逆时针方向旋转90°得到△A2B2O，按要求作出图形；（3）如果△A2B2O，通过旋转可以得到△A1B1C1，请直接写出旋转中心P的坐标．17．已知，如图，△ABC中，CD平分∠ACB，DE∥BC，AD：DB＝7：5，AC＝24，求DE的长．18．如图，AB为⊙O的直径，C是⊙O上一点，D在AB的延长线上，∠BCD＝∠A．（1）求证：CD是⊙O切线；（2）若BD＝2，，求⊙O的半径长．19．某体育看台侧面的示意图如图所示，观众区AC的坡度i为1：2，顶端C离水平地面AB的高度为10m，从顶棚的D处看E处的仰角α＝18°30′，竖直的立杆上C、D两点间的距离为4m，E处到观众区底端A处的水平距离AF为3m．求：（1）观众区的水平宽度AB；（2）顶棚的E处离地面的高度EF．（sin18°30′≈0.32，tanl8°30′≈0.33，结果精确到0.1m）20．已知一次函数y1＝3x﹣2k的图象与反比例函数的图象相交，其中一个交点的纵坐标为6．（1）求两个函数的解析式；（2）若已知另一点的横坐标为﹣2，结合图象求出y1＜y2时x的取值范围．21．某商品的进价是每件40元，当售价每件60元时，当天可售出300件．进行不同程度的涨价后，发现每涨价1元，当天销售量减少10件．设商品售价每件涨价x元（x为正整数）时，当天售出商品的利润为y元．（1）求y与x之间的函数关系式；（2）如何定价，才能使商品当天的销售利润达到6250元？22．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，BD为直径，AE是⊙O切线，且AE⊥CD的延长线于点E．（1）求证：DA平分∠BDE；（2）若AE＝4，CD＝6，求⊙O的半径和AD的长．23．（16分）在直角坐标系中，O为坐标原点，点A的坐标为（2，2），点C是线段OA上的一个动点（不运动至O，A两点），过点C作CD⊥x轴，垂足为D，以CD为边在右侧作正方形CDEF．连接AF并延长交x轴的正半轴于点B，连接OF，设OD＝t．（1）求tan∠FOB的值；（2）用含t的代数式表示△OAB的面积S；（3）是否存在点B，使以B，E，F为顶点的三角形与△OFE相似？若存在，请求出所有满足要求的B点的坐标；若不存在，请说明理由．

参考答案一、选择题（共10小题，共40.0分.）1．下列商标是轴对称图形的是（）A． B． C． D．【分析】根据轴对称图形的概念求解．如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．解：A、不是轴对称图形，不符合题意；B、不是轴对称图形，不符合题意；C、不是轴对称图形，不符合题意；D、是轴对称图形，对称轴有两条，符合题意；故选：D．2．平面直角坐标系中，将抛物线y＝﹣x2先向右平移1个单位，再向上平移2个单位，得到的抛物线的解析式是（）A．y＝（x+1）2+2 B．y＝（x﹣1）2+2 C．y＝﹣（x﹣1）2+2 D．y＝﹣（x﹣1）2﹣2【分析】根据“上加下减，左加右减”的原则进行解答即可．解：由“左加右减”的原则可知，将抛物线y＝﹣x2先向右平移1个单位所得抛物线的解析式为：y＝﹣（x﹣1）2．由“上加下减”的原则可知，将抛物线y＝﹣（x﹣1）2向上平移2个单位所得抛物线的解析式为：y＝﹣（x﹣1）2+2；故选：C．3．若＝，则的值为（）A． B． C． D．【分析】利用设k法进行计算即可解答．解：∵＝，∴设a＝3k，b＝5k，∴＝＝＝，故选：A．4．在Rt△ABC中，若各边长都扩大为原来的2倍，则锐角A的正切值（）A．扩大为原来的3倍 B．缩小为原来的 C．不变 D．以上都不对【分析】根据三边成比例的两个三角形相似判断即可．解：在Rt△ABC中，各边长都扩大为原来的2倍，∴扩大后形成的三角形与原三角形相似，∴∠A的大小没有改变，∴锐角A的正切比值不变，故选：C．5．如图，把一张矩形纸片沿着它的长边对折（EF为折痕），得到两个全等的小矩形．若小矩形的长与宽的比恰好等于原来矩形的长与宽的比，则小矩形的长与宽的比是（）A．2：1 B．3：2 C． D．【分析】根据折叠的性质可得：AE＝AD，再根据题意可得：矩形ABFE与矩形ADCB相似，然后利用相似多边形的性质，进行计算即可解答．解：由折叠得：AE＝AD，由题意得：矩形ABFE与矩形ADCB相似，∴＝，∴AD•AE＝AB2，∴AD2＝AB2，∴＝2，∴AD：AB＝：1，故选：D．6．如图，在▱ABCD中，AB＝6，AD＝9，∠BAD的平分线交BC于点E，交DC的延长线于点F，BG⊥AE，垂足为G，BG＝，则△CEF的周长为（）A．8 B．9.5 C．10 D．11.5【分析】本题意在综合考查平行四边形、相似三角形、和勾股定理等知识的掌握程度和灵活运用能力，同时也体现了对数学中的数形结合思想的考查．在▱ABCD中，AB＝CD＝6，AD＝BC＝9，∠BAD的平分线交BC于点E，可得△ADF是等腰三角形，AD＝DF＝9；△ABE是等腰三角形，AB＝BE＝6，所以CF＝3；在△ABG中，BG⊥AE，AB＝6，BG＝，可得AG＝2，又△ADF是等腰三角形，BG⊥AE，所以AE＝2AG＝4，所以△ABE的周长等于16，又由▱ABCD可得△CEF∽△BEA，相似比为1：2，所以△CEF的周长为8，因此选A．解：∵在▱ABCD中，AB＝CD＝6，AD＝BC＝9，∠BAD的平分线交BC于点E，∴AB∥DC，∠BAF＝∠DAF，∴∠BAF＝∠F，∴∠DAF＝∠F，∴AD＝FD，∴△ADF是等腰三角形，同理△ABE是等腰三角形，AD＝DF＝9；∵AB＝BE＝6，∴CF＝3；∴在△ABG中，BG⊥AE，AB＝6，BG＝，可得：AG＝2，又BG⊥AE，∴AE＝2AG＝4，∴△ABE的周长等于16，又∵▱ABCD∴△CEF∽△BEA，相似比为1：2，∴△CEF的周长为8．故选：A．7．如图所示，A，B，C，D是圆上的点，∠1＝68°，∠A＝40°．则∠D的度数为（）A．30° B．40° C．28° D．56°【分析】根据三角形的外角性质求出∠B，根据圆周角定理解答．解：∠B＝∠1﹣∠A＝68°﹣40°＝28°，由圆周角定理得，∠D＝∠B＝28°，故选：C．8．在△ABC中，若，则△ABC是（）A．等腰三角形 B．等腰直角三角形 C．直角三角形 D．一般锐角三角形【分析】利用非负数的性质求出∠A，∠B可得结论．解：∵，又∵|tanA﹣1|≥0，（2cosB﹣）2≥0，∴tanA＝1，cosB＝，∴∠A＝∠B＝45°，∴△ABC是等腰直角三角形．故选：B．9．如图是二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象的一部分，有下列4个结论：①abc＞0；②b2﹣4ac＞0；③关于x的方程ax2+bx+c＝0的两个根是x1＝﹣2，x2＝3；④关于x的不等式ax2+bx+c＞0的解集是x＞﹣2．其中正确的结论有（）个．A．1 B．2 C．3 D．4【分析】根据抛物线开口方向，对称轴的位置以及与y轴的交点可对①减小判断；利用抛物线与x轴的交点个数可对②进行判断；根据二次函数的性质可对③进行判断；利用图象则可对④进行判断．解：∵抛物线开口向下，交y轴的正半轴，∴a＜0，c＞0，∵﹣＝，∴b＝﹣a＞0，∴abc＜0，所以①错误；∵抛物线与x轴有2个交点，∴Δ＝b2﹣4ac＞0，所以②正确；∵抛物线y＝ax2+bx+c经过点（﹣2，0），而抛物线的对称轴为直线x＝，∴点（﹣2，0）关于直线x＝的对称点（3，0）在抛物线上，∴关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0的两根是x1＝﹣2，x2＝3，所以③正确．由图象可知当﹣2＜x＜3时，y＞0，∴不等式ax2+bx+c＞0的解集是﹣2＜x＜3，所以④错误；故选：B．10．如图，⊙O半径为，正方形ABCD内接于⊙O，点E在上运动，连接BE，作AF⊥BE，垂足为F，连接CF．则CF长的最小值为（）A．﹣1 B．1 C．﹣1 D．【分析】取AB的中点K，以AB为直径作⊙K，想办法求出FK，CK，根据CF≥CK﹣FK即可解决问题．解：如图，取AB的中点K，以AB为直径作⊙K，∵AF⊥BE，∴∠AFB＝90°，∵AK＝BK，∴KF＝AK＝BK，∵正方形ABCD的外接圆的半径为，∴AB＝BC＝＝2，∴KF＝AK＝KB＝1，∵∠CBK＝90°，∴CK＝＝＝，∵CF≥CK﹣KF，∴CF≥﹣1，∴CF的最小值为﹣1．故选：A．二、填空题（共4小题，共20.0分）11．小丽和小强在阳光下行走，小丽身高1.75米，她的影长2.5米，小强比小丽高7cm，此刻小强的影长是2.6米．【分析】直接利用同一时刻阳光下，物体的高度与影长成正比例，进而计算得出答案．解：∵小丽身高1.75米，小强比小丽高7cm，∴小强的身高为1.82cm，设小强的影长为x米，∵小丽身高1.75米，她的影长2.5米，∴＝，解得：x＝2.6．故答案为：2.6．12．如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为点E，连接OC，若OC＝5，AE＝2，则CD等于8．【分析】由垂径定理得到CD＝2CE，再求出OE的长，然后由勾股定理可求出CE的长，即可求解．解：∵AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB，∴CD＝2CE，∵OC＝5，AE＝2，∴OA＝5，∴OE＝OA﹣AE＝5﹣2＝3，∴CE＝＝＝4，∴CD＝2CE＝8．故答案为：8．13．人们把这个数叫做黄金分割数，著名数学家华罗庚优选法中的0.618法就应用了黄金分割数．设a＝，b＝，得ab＝1，记S1＝，S2＝，…，S10＝，则S1+S2+…+S10＝10．【分析】利用分式的加减法则分别可求S1＝1，S2＝1，S10＝1，即可求解．解：∵S1＝＝＝1，S2＝＝＝1，…，S10＝＝＝1，∴S1+S2+…+S10＝1+1+…+1＝10，故答案为10．14．如图，点E是矩形ABCD中CD边上一点，△BCE沿BE折叠得到对应的△BFE，且点C的对应点F落在AD上．若tan∠DFE＝，BC＝3，则CE＝2．【分析】由四边形ABCD是矩形，可得∠A＝∠C＝∠D＝90°，AD＝BC＝3，又由折叠的性质，可得：∠BFE＝∠C＝90°，BF＝BC＝3，CE＝EF，然后由同角的余角相等，可求得∠ABF＝∠DFE，然后由tan∠DFE＝，BC＝3，利用三角函数的性质，即可求得答案．解：∵四边形ABCD是矩形，∴∠A＝∠C＝∠D＝90°，AD＝BC＝3，∴∠ABF+∠AFB＝90°，由折叠的性质，可得：∠BFE＝∠C＝90°，BF＝BC＝3，CE＝EF，∴∠AFB+∠DFE＝90°，∴∠ABF＝∠DFE，∵tan∠DFE＝，∴sin∠ABF＝，cos∠ABF＝，∴在Rt△ABF中，AF＝BF•sin∠ABF＝3×＝，AB＝BF•cos∠ABF＝3×＝，∴DF＝AD﹣AF＝3﹣＝，∴CE＝EF＝＝×＝2．故答案为：2．三、解答题（共9小题，共90.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）15．计算2sin260°+tan60°•cos30°﹣cos45°．【分析】把各特殊角的三角函数值代入进行计算即可．解：原式＝2×（）2+×﹣×＝2×+﹣1＝﹣1＝3﹣1＝2．16．如图，平面直角坐标系内，小正方形网格的边长为1个单位长度，△ABC的三个顶点的坐标分别为A（﹣1，3），B（﹣4，0），C（0，0）．（1）将△ABC向上平移1个单位长度，再向右平移5个单位长度后得到的△A1B1C1，画出△A1B1C1，并直接写出点A1的坐标；（2）△ABC绕原点O逆时针方向旋转90°得到△A2B2O，按要求作出图形；（3）如果△A2B2O，通过旋转可以得到△A1B1C1，请直接写出旋转中心P的坐标．【分析】（1）根据平移的性质作图，即可得出答案．（2）根据旋转的性质作图即可．（3）连接A1A2，B1B2，利用网格分别作A1A2，B1B2的垂直平分线，两线交于点P，则点P即为△A2B2O与△A1B1C1的旋转中心，即可得出答案．解：（1）如图，△A1B1C1即为所求．点A1的坐标为（4，4）．（2）如图，△A2B2O即为所求．（3）如图，连接A1A2，B1B2，作A1A2与B1B2的垂直平分线，相交于点P，则点P即为△A2B2O与△A1B1C1的旋转中心，∴旋转中心P的坐标为（3，﹣2）．17．已知，如图，△ABC中，CD平分∠ACB，DE∥BC，AD：DB＝7：5，AC＝24，求DE的长．【分析】根据相似三角形的性质求出AE，EC，然后判断ED＝EC，即可得出答案．解：∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴，又∵AC＝24，∴AE＝14，EC＝10，∵CD平分∠ACB交AB于D，∴∠ACD＝∠DCB，又∵DE∥BC，∴∠EDC＝∠DCB，∴∠ACD＝∠EDC，∴DE＝EC＝10．18．如图，AB为⊙O的直径，C是⊙O上一点，D在AB的延长线上，∠BCD＝∠A．（1）求证：CD是⊙O切线；（2）若BD＝2，，求⊙O的半径长．【分析】（1）连接OC，根据圆周角定理求出∠ACB＝90°，求出∠ACB＝∠ACO+∠BCO＝∠DCB+∠BCO＝∠OCD＝90°，根据切线判定推出即可；（2）在Rt△OCD中，根据勾股定理得出方程，求出方程的解即可．【解答】（1）证明：连接OC，∵AB是⊙O直径，∴∠ACB＝90°，即∠ACO+∠BCO＝90°，∵OA＝OC，∴∠A＝∠ACO，∵∠DCB＝∠A，∴∠DCB＝∠ACO，∴∠DCB+∠BCO＝90°，∴∠OCD＝90°，即OC⊥DC，∵OC为半径，∴CD是⊙O的切线；（2）解：∵OB＝OC，BD＝2，设OC＝x，则DO＝3，∵∠OCD＝90°，∴在Rt△OCD中，由勾股定理得：x2+＝（x+2）2，解得：x＝4，⊙O的半径是4．19．某体育看台侧面的示意图如图所示，观众区AC的坡度i为1：2，顶端C离水平地面AB的高度为10m，从顶棚的D处看E处的仰角α＝18°30′，竖直的立杆上C、D两点间的距离为4m，E处到观众区底端A处的水平距离AF为3m．求：（1）观众区的水平宽度AB；（2）顶棚的E处离地面的高度EF．（sin18°30′≈0.32，tanl8°30′≈0.33，结果精确到0.1m）【分析】（1）根据坡度的概念计算；（2）作CM⊥EF于M，DN⊥EF于N，根据正切的定义求出EN，结合图形计算即可．解：（1）∵观众区AC的坡度i为1：2，顶端C离水平地面AB的高度为10m，∴AB＝2BC＝20（m），答：观众区的水平宽度AB为20m；（2）作CM⊥EF于M，DN⊥EF于N，则四边形MFBC、MCDN为矩形，∴MF＝BC＝10，MN＝CD＝4，DN＝MC＝BF＝23（m），在Rt△END中，tan∠EDN＝，则EN＝DN•tan∠EDN≈7.59（m），∴EF＝EN+MN+MF＝7.59+4+10≈21.6（m），答：顶棚的E处离地面的高度EF约为21.6m．20．已知一次函数y1＝3x﹣2k的图象与反比例函数的图象相交，其中一个交点的纵坐标为6．（1）求两个函数的解析式；（2）若已知另一点的横坐标为﹣2，结合图象求出y1＜y2时x的取值范围．【分析】（1）把（x6）代入两函数解析式得出方程组，求出方程组的解即可．（2）根据图象和A、B的横坐标即可得出答案．解：（1）设纵坐标式6的点的横坐标是x，把（x，6）代入一次函数和反比例函数的解析式得：，解得：x＝﹣，k＝﹣5，∴一次函数的解析式是：y1＝3x+10，反比例函数的解析式是：y2＝﹣．（2）∵A的横坐标是﹣2，B的横坐标是﹣，∴y1＜y2时x的取值范围x＜﹣2或．21．某商品的进价是每件40元，当售价每件60元时，当天可售出300件．进行不同程度的涨价后，发现每涨价1元，当天销售量减少10件．设商品售价每件涨价x元（x为正整数）时，当天售出商品的利润为y元．（1）求y与x之间的函数关系式；（2）如何定价，才能使商品当天的销售利润达到6250元？【分析】（1）根据总利润＝每件利润×销售量，即可列出函数关系式；（2）令y＝6250，解关于x的方程即可得答案．解：（1）根据题意得：y＝（60+x﹣40）（300﹣10x）＝﹣10x2+100x+6000．∴y与x之间的函数关系式为y＝﹣10x2+100x+6000．（2）令y＝6250，则﹣10x2+100x+6000＝6250，解得x1＝x2＝5，此时60+x＝60+565（元），∴当售价为65元时，当天的利润达到6250元．22．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，BD为直径，AE是⊙O切线，且AE⊥CD的延长线于点E．（1）求证：DA平分∠BDE；（2）若AE＝4，CD＝6，求⊙O的半径和AD的长．【分析】（1）连接OA，根据切线的性质可得∠OAE＝90°，再利用角平分线和等腰三角形的性质可证OA∥DE，然后利用平行线的性质求出∠E＝90°，即可解答；（2）过点O作OF⊥CD，垂足为F，根据垂径定理可得DF＝FC＝DC＝3，再利用（1）的结论可得四边形AEFO是矩形，从而可得EF＝OA，AE＝OF＝4，然后在Rt△OFD中，利用勾股定理求出OF的长，进而可得DE＝2，最后在Rt△AED中，利用勾股定理求出AD的长，即可解答．【解答】（1）证明：连接OA，∵AE是⊙O切线，∴∠OAE＝90°，