2022-2023学年河北省邯郸市邯山区广泰中学八年级（上）期末数学试卷（含解析）

2022-2023学年河北省邯郸市邯山区广泰中学八年级第一学期期末数学试卷一、单选题（每题3分，共48分）1．将0.000027用科学记数法表示应为（）A．2.7×10﹣4 B．2.7×10﹣5 C．0.27×10﹣3 D．27×10﹣62．下列图中所示的四个图案是四届冬季奥林匹克运动会会徽图案上的一部分图形，其中是轴对称图形的是（）A． B． C． D．3．点A（a，4）、点B（3，b）关于x轴对称，则（a+b）2022的值为（）A．0 B．﹣1 C．1 D．720224．下列因式分解正确的是（）A．4x2﹣1＝（4x+1）（4x﹣1） B．x2﹣4x+3＝（x﹣3）（x﹣1） C．x2﹣4x+4＝（x+2）2 D．x2﹣4x﹣5＝x（x﹣4）﹣55．如图，实线内图形的面积可以用来验证下列的某个等式成立，该等式是（）A．a2+2ab+b2＝（a+b）2 B．a2﹣2ab+b2＝（a﹣b）2 C．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b） D．a2+ab＝a（a+b）6．下列分式与分式相等的是（）A． B． C． D．7．如图，红红书上的三角形被墨迹污染了一部分，她根据所学的知识很快就画了一个与书上完全一样的三角形，那么红红画图的依据是（）A．SSS B．SAS C．ASA D．AAS8．下列计算正确的是（）A．b3•b3＝2b3 B．（ab2）3＝a3b6 C．（a3）2•a4＝a9 D．（﹣2a）2＝﹣4a29．点P在∠AOB的角平分线上，点P到OA边的距离等于12，点Q是OB边上的任意一点，下列选项正确的是（）A．PQ＜12 B．PQ＞12 C．PQ≥12 D．PQ≤1210．一个三角形两边长分别为4cm和6cm，第三边长可能为（）A．2cm B．4cm C．10cm D．12cm11．已知x+y＝5，xy＝2，则的值为（）A．2 B． C．3 D．12．寒假期间，几名同学包租一辆车外出旅游，车的租金为200元，出发时又增加了两名同学，结果每个同学比原来少分摊了5元车费，设原来计划租车的人数为x人，则所列方程为（）A．＝5 B．＝5 C．＝5 D．＝513．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，AB＝5．沿过点B的直线折叠这个三角形，使得点C落在AB边上的点E处，折痕为BD，则DE的长为（）A． B． C．3 D．414．若a、b、c为一个三角形的三边，则代数式（a﹣c）2﹣b2的值为（）A．一定为正数 B．一定为负数 C．可能为正数，也可能为负数 D．可能为零15．如图，已知AE是△ABC的角平分线，AD是BC边上的高，若∠ABC＝34°，∠ACB＝64°，则∠DAE的大小是（）A．5° B．13° C．15° D．20°16．如图所示，在平面直角坐标系中，A（0，0），B（2，0），△AP1B是等腰直角三角形且∠P1＝90°，把△AP1B绕点B顺时针旋转180°，得到△BP2C，把△BP2C绕点C顺时针旋转180°，得到△CP3D，依此类推，得到的等腰直角三角形的直角顶点P2020的坐标为（）A．（4039，﹣1） B．（4039，1） C．（2020，﹣1） D．（2020，1）二、填空题（每空3分，共15分）17．计算：＝．18．一个八边形的外角和是°．19．当k＝时，二次三项式x2+kx﹣12分解因式的结果是（x+4）（x﹣3）．20．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝7cm，BC＝3cm，CD为AB边上的高，点E从点B出发，在直线BC上以2cm的速度移动，过点E作BC的垂线交直线CD于点F，当点E运动s时，CF＝AB．三、解答题21．计算：（1）（a+2b）（a﹣2b）﹣（a﹣b）2；（2）﹣2x2x4﹣（﹣3x3）2﹣x9÷x3．22．小红发现，任意一个直角三角形都可以分割成两个等腰三角形．已知：在△ABC中，∠ACB＝90°．求作：直线CD，使得直线CD将△ABC分割成两个等腰三角形．下面是小红设计的尺规作图过程．作法：如图，①作直角边CB的垂直平分线MN，与斜边AB相交于点D；②作直线CD．所以直线CD就是所求作的直线．根据小红设计的尺规作图过程，（1）使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）；（2）完成下面的证明．证明：∵直线MN是线段CB的垂直平分线，点D在直线MN上，∴DC＝DB．（）（填推理的依据）∴∠＝∠．∵∠ACB＝90°，∴∠ACD＝90°﹣∠DCB，∠A＝90°﹣∠．∴∠ACD＝∠A．∴DC＝DA．（）（填推理的依据）∴△DCB和△DCA都是等腰三角形．23．先化简（1+）÷，再从1，2，3三个数中选一个合适的数作为x的值，代入求值．24．某商店老板，第一次用1000元购进了一批口罩，很快销售完；第二次购进口罩时发现，每只口罩的进价比第一次上涨了2.5元，老板用2500元购进了第二批口罩，所购口罩数量是第一次购进口罩数量的2倍，同样很快销售完，两批口罩的售价均为每只15元．（1）第一次购进多少只口罩？（2）商店老板第一次购进的口罩有3%的损耗，第二次购进的口罩有5%的损耗，商店老板销售完这些口罩后是盈利还是亏本？盈利或亏本多少元？25．（1）如图1，已知：在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，直线m经过点A，BD⊥直线m，CE⊥直线m，垂足分别为点D、E．证明：DE＝BD+CE．（2）如图2，将（1）中的条件改为：在△ABC中，AB＝AC，D、A、E三点都在直线m上，并且有∠BDA＝∠AEC＝∠BAC＝α，其中α为任意锐角或钝角．请问结论DE＝BD+CE是否成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由．（3）拓展与应用：如图3，D、E是D、A、E三点所在直线m上的两动点（D、A、E三点互不重合），点F为∠BAC平分线上的一点，且△ABF和△ACF均为等边三角形，连接BD、CE，若∠BDA＝∠AEC＝∠BAC，试判断△DEF的形状．

参考答案一、单选题（每题3分，共48分）1．将0.000027用科学记数法表示应为（）A．2.7×10﹣4 B．2.7×10﹣5 C．0.27×10﹣3 D．27×10﹣6【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值＜1时，n是负整数．解：0.000027＝2.7×10﹣5．故选：B．【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．2．下列图中所示的四个图案是四届冬季奥林匹克运动会会徽图案上的一部分图形，其中是轴对称图形的是（）A． B． C． D．【分析】根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．解：A，C，D选项中的图形都不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形；B选项中的图形能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形；故选：B．【点评】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．3．点A（a，4）、点B（3，b）关于x轴对称，则（a+b）2022的值为（）A．0 B．﹣1 C．1 D．72022【分析】根据点A（a，4）、点B（3，b）关于x轴对称，可得a＝3，b＝﹣4，进一步求解（a+b）2022即可．解：∵点A（a，4）、点B（3，b）关于x轴对称，∴a＝3，b＝﹣4，∴（a+b）2022＝（﹣1）2022＝1，故选：C．【点评】本题考查了关于x轴对称的点的坐标，熟练掌握关于坐标轴对称的点的坐标特征是解题的关键．4．下列因式分解正确的是（）A．4x2﹣1＝（4x+1）（4x﹣1） B．x2﹣4x+3＝（x﹣3）（x﹣1） C．x2﹣4x+4＝（x+2）2 D．x2﹣4x﹣5＝x（x﹣4）﹣5【分析】直接利用公式法和十字相乘法分解因式进而得出答案．解：A、4x2﹣1＝（2x+1）（2x﹣1），故此选项错误，不符合题意；B、x2﹣4x+3＝（x﹣3）（x﹣1），正确，符合题意；C、x2﹣4x+4＝（x﹣2）2，故此选项错误，不符合题意；D、x2﹣4x﹣5＝（x﹣5）（x+1），故此选项错误，不符合题意．故选：B．【点评】此题主要考查了公式法和十字相乘法分解因式，正确运用乘法公式是解题关键．5．如图，实线内图形的面积可以用来验证下列的某个等式成立，该等式是（）A．a2+2ab+b2＝（a+b）2 B．a2﹣2ab+b2＝（a﹣b）2 C．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b） D．a2+ab＝a（a+b）【分析】分别用代数式表示两个图中阴影部分的面积即可．解：左图阴影部分的面积可以看作两个正方形的面积差，即a2﹣b2，右图，拼成长为（a+b），宽为（a﹣b）的长方形，因此面积为（a+b）（a﹣b），由两个图形中阴影部分的面积相等可得，a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b），故选：C．【点评】本题考查平方差公式的几何背景，掌握平方差公式的结构特征是解决问题的关键．6．下列分式与分式相等的是（）A． B． C． D．【分析】根据分式的基本性质解答即可．解：＝＝．故选：B．【点评】本题考查的是分式的基本性质，熟知分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变是解题的关键．7．如图，红红书上的三角形被墨迹污染了一部分，她根据所学的知识很快就画了一个与书上完全一样的三角形，那么红红画图的依据是（）A．SSS B．SAS C．ASA D．AAS【分析】根据图象，三角形有两角和它们的夹边是完整的，所以可以根据“角边角”画出．解：根据题意，三角形的两角和它们的夹边是完整的，所以可以利用“角边角”定理作出完全一样的三角形．故选：C．【点评】本题考查了三角形全等的判定的实际运用，熟练掌握判定定理并灵活运用是解题的关键．8．下列计算正确的是（）A．b3•b3＝2b3 B．（ab2）3＝a3b6 C．（a3）2•a4＝a9 D．（﹣2a）2＝﹣4a2【分析】根据幂的乘方和积的乘方求出每个式子的值，再判断即可．解：A、结果是b6，故本选项不符合题意；B、结果是a3b6，故本选项符合题意；C、结果是a10，故本选项不符合题意；D、结果是4a2，故本选项不符合题意；故选：B．【点评】本题考查了幂的乘方和积的乘方，能正确求出每个式子的值是解此题的关键．9．点P在∠AOB的角平分线上，点P到OA边的距离等于12，点Q是OB边上的任意一点，下列选项正确的是（）A．PQ＜12 B．PQ＞12 C．PQ≥12 D．PQ≤12【分析】根据垂线段最短可得当PQ⊥OB时，PQ的值最小，然后利用角平分线的性质可得PC＝PQ＝12，即可解答．解：如图：当PQ⊥OB时，PQ的值最小，∵OP平分∠AOB，PC⊥OA，PQ⊥OB，∴PC＝PQ＝12，∴PQ的值的范围为：PQ≥12，故选：C．【点评】本题考查了角平分线的性质，垂线段最短，熟练掌握角平分线的性质是解题的关键．10．一个三角形两边长分别为4cm和6cm，第三边长可能为（）A．2cm B．4cm C．10cm D．12cm【分析】根据三角形的三边关系“任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”，求得第三边的取值范围．解：设第三边为acm，根据三角形的三边关系可得：6﹣4＜a＜6+4，即：2＜a＜10，比对选项，只有B选项符合题意．故选：B．【点评】此题主要考查了三角形三边关系，要注意三角形形成的条件：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．11．已知x+y＝5，xy＝2，则的值为（）A．2 B． C．3 D．【分析】先利用完全平方公式和提公因式法进行变形，再代入进行计算即可．解：原式＝，把x+y＝5，xy＝2代入得：原式＝＝．故选：D．【点评】本题主要考查了分式的值．能够正确利用完全平方公式和提公因式法进行变形解题的关键．12．寒假期间，几名同学包租一辆车外出旅游，车的租金为200元，出发时又增加了两名同学，结果每个同学比原来少分摊了5元车费，设原来计划租车的人数为x人，则所列方程为（）A．＝5 B．＝5 C．＝5 D．＝5【分析】原来计划租车的每个同学分担的车费为：元，出发时每名同学分担的车费为：元，根据每个同学比原来少分摊了5元车费即可得到等量关系．解：根据题意得：﹣＝5．故选：A．【点评】本题主要考查了由实际问题抽象出分式方程，解题的关键是首先弄清题意，根据关键描述语，找到合适的等量关系．13．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，AB＝5．沿过点B的直线折叠这个三角形，使得点C落在AB边上的点E处，折痕为BD，则DE的长为（）A． B． C．3 D．4【分析】由折叠得DE＝DC，则AD＝4﹣DC＝4﹣DE，再根据BC•AD＝AB•DE＝S△ABD，得×3（4﹣DE）＝×5DE，即可求得DE＝，得到问题的答案．解：由折叠得DE＝DC，∠BED＝∠C＝90°，∴BC⊥AC，DE⊥AB，∵AC＝4，BC＝3，AB＝5，∴AD＝4﹣DC＝4﹣DE，∵BC•AD＝AB•DE＝S△ABD，∴×3（4﹣DE）＝×5DE，解得DE＝，故选：B．【点评】此题重点考查轴对称的性质、根据面积等式求线段的长度等知识与方法，由轴对称的性质证明DE＝DC是解题的关键．14．若a、b、c为一个三角形的三边，则代数式（a﹣c）2﹣b2的值为（）A．一定为正数 B．一定为负数 C．可能为正数，也可能为负数 D．可能为零【分析】根据在三角形中任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．即可求解．解：首先运用因式分解，得：原式＝（a﹣c+b）（a﹣c﹣b）．再根据三角形的三边关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边．即a﹣c+b＞0，a﹣c﹣b＜0，两数相乘，异号得负，故代数式的值小于0．故选：B．【点评】本题利用了三角形中三边的关系：在三角形中，任意两边之和＞第三边，任意两边之差＜第三边．15．如图，已知AE是△ABC的角平分线，AD是BC边上的高，若∠ABC＝34°，∠ACB＝64°，则∠DAE的大小是（）A．5° B．13° C．15° D．20°【分析】先求出∠BAC的度数，再求出∠BAD的度数和∠BAE的度数，再求出∠DAE的度数．解：∵∠BAC＝180°﹣34°﹣64°＝82°，又∵AE是△ABC的角平分线，∴∠BAE＝41°，∵∠ABC＝34°，AD是BC边上的高．∴∠BAD＝90°﹣34°＝56°，∴∠DAE＝∠BAD﹣∠BAE＝56°﹣41°＝15°．故选：C．【点评】本题考查了三角形内角和定理，角平分线的定义，三角形的高等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．16．如图所示，在平面直角坐标系中，A（0，0），B（2，0），△AP1B是等腰直角三角形且∠P1＝90°，把△AP1B绕点B顺时针旋转180°，得到△BP2C，把△BP2C绕点C顺时针旋转180°，得到△CP3D，依此类推，得到的等腰直角三角形的直角顶点P2020的坐标为（）A．（4039，﹣1） B．（4039，1） C．（2020，﹣1） D．（2020，1）【分析】根据等腰直角三角形的性质可找出点P1的坐标，结合旋转的性质即可找出点P2、P3、P4、P5、…、的坐标，根据坐标的变化即可找出变化规律“P2n+1（4n+1，1），P2n+2（4n+3，﹣1）（n为自然数）”，依此规律即可得出结论．解：∵A（0，0），B（2，0），△AP1B是等腰直角三角形，且∠P1＝90°，∴P1（1，1）．∵把△AP1B绕点B顺时针旋转180°，得到△BP2C1，∴P2（3，﹣1）．同理可得出：P3（5，1），P4（7，﹣1），P5（9，1），…，∴P2n+1（4n+1，1），P2n+2（4n+3，﹣1）（n为自然数）．∵2020＝2×1009+2，4×1009+3＝4039，∴P2020（4039，﹣1）．故选：A．【点评】本题考查了等腰直角三角形的性质、坐标与图形变化中的旋转以及规律型中点的坐标，根据点的变化找出变化规律“P2n+1（4n+1，1），P2n+2（4n+3，﹣1）（n为自然数）”是解题的关键．二、填空题（每空3分，共15分）17．计算：＝8．【分析】利用算术平方根，负整数指数幂计算．解：＝4+4＝8，故答案为：8．【点评】本题考查了实数的运算，解题的关键是掌握算术平方根，负整数指数幂．18．一个八边形的外角和是360°．【分析】根据任何凸多边形的外角和都是360度，解答即可．解：八边形的外角和是360度．故答案为：360．【点评】本题考查了多边形的内角与外角的知识，多边形的外角和是360度，不随着边数的变化而变化．19．当k＝1时，二次三项式x2+kx﹣12分解因式的结果是（x+4）（x﹣3）．【分析】根据十字相乘法进行因式分解即可确定k的值．解：∵x2+kx﹣12分解因式的结果是（x+4）（x﹣3），∴x2+kx﹣12＝（x+4）（x﹣3）x2+x﹣12，∴k＝1，故答案为：1．【点评】本题考查十字相乘法分解因式，掌握十字相乘法是正确解答的前提．20．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝7cm，BC＝3cm，CD为AB边上的高，点E从点B出发，在直线BC上以2cm的速度移动，过点E作BC的垂线交直线CD于点F，当点E运动2或5s时，CF＝AB．【分析】先证明△CEF≌△ACB（AAS），得出CE＝AC＝7cm，①当点E在射线BC上移动时，BE＝CE+BC＝＝10cm，即可求出E移动了5s；②当点E在射线CB上移动时，CE′＝AC﹣BC＝4cm，即可求出E移动了2s．解：∵∠ACB＝90°，∴∠A+∠CBD＝90°，∵CD为AB边上的高，∴∠CDB＝90°，∴∠BCD+∠CBD＝90°，∴∠A＝∠BCD，∵∠BCD＝∠ECF，∴∠ECF＝∠A，∵过点E作BC的垂线交直线CD于点F，∴∠CEF＝90°＝∠ACB，在△CEF和△ACB中，，∴△CEF≌△ACB（AAS），∴CE＝AC＝7cm，①如图，当点E在射线BC上移动时，BE＝CE+BC＝7+3＝10（cm），∵点E从点B出发，在直线BC上以2cm的速度移动，∴E移动了：＝5（s）；②当点E在射线CB上移动时，CE′＝AC﹣BC＝7﹣3＝4（cm），∵点E从点B出发，在直线BC上以2cm的速度移动，∴E移动了：＝2（s）；综上所述，当点E在射线CB上移动5s或2s时，CF＝AB；故答案为：2或5．【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，熟练正确全等三角形的判定和性质是解题的关键．三、解答题21．计算：（1）（a+2b）（a﹣2b）﹣（a﹣b）2；（2）﹣2x2x4﹣（﹣3x3）2﹣x9÷x3．【分析】（1）先计算平方差公式与完全平方公式，再计算整式的加减即可得；（2）先计算积的乘方与幂的乘方、同底数幂的乘除法，再合并同类项即可得．解：（1）原式＝a2﹣4b2﹣（a2﹣2ab+b2）＝a2﹣4b2﹣a2+2ab﹣b2＝﹣5b2+2ab；（2）原式＝﹣2x6﹣9x6﹣x6＝﹣12x6．【点评】本题考查了乘法公式、积的乘方与幂的乘方、同底数幂的乘除法，掌握整式的运算法则和公式是关键．22．小红发现，任意一个直角三角形都可以分割成两个等腰三角形．已知：在△ABC中，∠ACB＝90°．求作：直线CD，使得直线CD将△ABC分割成两个等腰三角形．下面是小红设计的尺规作图过程．作法：如图，①作直角边CB的垂直平分线MN，与斜边AB相交于点D；②作直线CD．所以直线CD就是所求作的直线．根据小红设计的尺规作图过程，（1）使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）；（2）完成下面的证明．证明：∵直线MN是线段CB的垂直平分线，点D在直线MN上，∴DC＝DB．（垂直平分线上的点到线段两个端点距离相等）（填推理的依据）∴∠DCB＝∠DBC．∵∠ACB＝90°，∴∠ACD＝90°﹣∠DCB，∠A＝90°﹣∠DBC．∴∠ACD＝∠A．∴DC＝DA．（等角对等边）（填推理的依据）∴△DCB和△DCA都是等腰三角形．【分析】（1）根据题意即可作图；（2）根据线段垂直平分线的性质，等腰三角形的判定与性质即可完成证明．解：（1）补全的图形如下：（2）证明：∵直线MN是线段CB的垂直平分线，点D在直线MN上，∴DC＝DB．（垂直平分线上的点到线段两个端点距离相等）∴∠DCB＝∠DBC．∵∠ACB＝90°，∴∠ACD＝90°﹣∠DCB，∠A＝90°﹣∠DBC．∴∠ACD＝∠A．∴DC＝DA．（等角对等边）（填推理的依据）∴△DCB和△DCA都是等腰三角形．故答案为：垂直平分线上的点到线段两个端点距离相等；DCB，DBC；DBC；等角对等边．【点评】本题考查了作图﹣应用与设计作图，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的判定与性质，解决本题的关键是掌握线段垂直平分线的性质，等腰三角形的判定与性质．23．先化简（1+）÷，再从1，2，3三个数中选一个合适的数作为x的值，代入求值．【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的加法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，把x＝3代入计算即可求出值．解：原式＝•＝•＝x﹣2，当x＝3时，原式＝3﹣2＝1．【点评】此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．24．某商店老板，第一次用1000元购进了一批口罩，很快销售完；第二次购进口罩时发现，每只口罩的进价比第一次上涨了2.5元，老板用2500元购进了第二批口罩，所购口罩数量是第一次购进口罩数量的2倍，同样很快销售完，两批口罩的售价均为每只15元．（1）第一次购进多少只口罩？（2）商店老板第一次购进的口罩有3%的损耗，第二次购进的口罩有5%的损耗，商店老板销售完这些口罩后是盈利还是亏本？盈利或亏本多少元？【分析】（1）设第一次购进x只口罩，则第二次购进2x只口罩，再根据每只口罩的进价比第一次上涨了2.5元建立方程，解方程即可得；（2）先分别求出第一次和第二次销售口罩的数量，再根据利润等于销售总收入减去总成本即可得．解：（1）设第一次购进x只口罩，则第二次购进2x只口罩，由题意得：，解得：x＝100，经检验，x＝100是所列分式方程的解，且符合题意，答：第一次购进100只口罩；（2）解：第一次销售口罩的数量为100×（1﹣3%）＝97（只），第二次销售口罩的数量为2×100×（1﹣5%）＝190（只），则（97+190）×15﹣1000﹣2500＝805（元），答：商店老板销售完这些口罩后是盈利，盈利805元．【点评】本题考查了分式方程的应用、找准等量关系，正确建立方程是解题关键．25．（1）如图1，已知：在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，直线m经过点A，BD⊥直线m，CE⊥直线m，垂足分别为点D、E．证明：DE＝BD+CE．（2）如图2，将（1）中的条件改为：在△ABC中，AB＝AC，D、A