新教材高中数学第一章空间向量与立体几何2空间向量在立体几何中的应用3直线与平面的夹角学案新人教B版选择性必修第一册

PAGEPAGE8直线与平面的夹角课标解读课标要求素养要求1.了解直线与平面的夹角的三种情况，理解斜线和平面所成角的概念.⒉能用向量语言表述直线与平面的夹角.3.能用向量法求线面角.1.数学抽象——能够在具体的几何图形中识别和作出直线与平面的夹角.⒉数学运算——能用向量法求直线与平面的夹角.自主学习·必备知识教材研习教材原句要点一直线与平面的夹角的概念1.直线与平面的夹角的定义如果一条直线与一个平面垂直，则称这条直线与这个平面所成的角为①90∘；如果一条直线与一个平面平行，或直线在平面内，则称这条直线与这个平面所成的角为②0平面的斜线与它在平面内的③射影所成的锐角，称为这条斜线与平面所成的角.直线与平面所成的角也称为它们的夹角.2.直线与平面的夹角的性质如图所示，设AO是平面α的一条斜线段，O为斜足，A'为A在平面α内的射影，而OM是平面α内的一条射线，A'M⊥OM.记∠AOA'=θ1,∠A'OM=θ2平面的斜线与平面所成的角，是斜线和这个平面内所有直线所成角中最小的角.要点二用空间向量求直线与平面的夹角如图（1）（2）所示，可以看出θ=π2-v,特别地，cosθ=自主思考1.一条直线和一个平面所成的角的余弦值可以是负值吗?答案：提示不可以.因为直线和平面所成的角的范围是[0,π2.直线与平面所成的角的性质中的“最小”说明了什么?答案：提示说明了一条直线与一个平面所成的角是唯一确定的.3.向量m,n分别是直线l和平面α的方向向量和法向量，若cos⟨m,答案：提示设l与α所成的角为θ(0∘≤θ≤90∘名师点睛1.直线与平面所成角的作法已知斜线AC和平面α（如图），过A作AB⊥α，交平面α于点B，连接BC，令∠ACB=θ，则锐角θ就是直线AC与平面α所成的角.2.对直线与平面所成角的几点认识（1）设AB在平面α内的射影为A'B'，且直线AB与平面α的夹角为θ，则|A'B'（2）平面α的法向量n与AB所成的锐角θ1的余角θ就是直线AB与平面α互动探究·关键能力探究点一利用定义求直线与平面的夹角精讲精练例如图，平面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PA=AD=a，AB=2a，E是线段PD上的点，F是线段AB上的点，且PEED=答案：过点E作EM//PA交AD于点M.连接FM，如图.∵PA⊥平面ABCD，∴EM⊥平面ABCD.则∠EFM为直线EF与平面ABCD所成的角.∵EM//PA，ΓEED=12，∴EM=23PA=∴AF=22a在Rt△FEM中，tan∴sin解题感悟利用定义法求线面角时，关键是找到斜线的射影，找射影有以下两种方法：①过斜线上的点向平面作垂线，连接垂足与斜足得射影，但要注意垂足的位置；②利用已知垂直关系得出线面垂直，确定射影.迁移应用1.如图所示，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，侧棱长为答案：π解析：如图所示.取AC的中点O,连接BO，C1O，易得BO⊥AC，∵AC∩AA1=A，AC，A∴BO⊥平面ACC故∠BC1O为B易知在Rt△BOC1中，BO=∴sin∴∠BC探究点二公式cosθ=cosθ1·cosθ2的应用精讲精练例若∠APB=∠BPC=∠APC=60∘，则PA与平面A.12B.C.63D.答案：D解析：如图，设A在平面PBC内的射影为O，连接OP，∵∠APB=∠APC，∴点O在∠BPC的平分线上，∴∠OPC=30∘，∠APO为PA与平面∴cos即cos ∴cos解题感悟公式cosθ=cosθ1⋅迁移应用1.如图所示，已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1的底面是边长为a的菱形，O为菱形ABCD的中心，答案：由题意可知，AC为∠BAD的平分线，∴∠BAC=30∘，且AO=3∴直线A1A在平面ABCD上的射影为直线AC，记∠A∴A1A⋅cosθ=32∴A1O⊥探究点三利用空间向量求直线与平面的夹角精讲精练例如图，在四棱锥P-ABCD中，底面为直角梯形，AD∥BC，∠BAD=90∘，PA⊥底面ABCD，且PA=AD=AB=2BC，M，N分别为PC，（1）求BD与平面ADMN所成的角θ；（2）在线段BD上是否存在一点Q，使直线PQ与平面PAD的夹角为30∘？若存在，求出点Q答案：（1）如图所示，以A为原点，AB,AD,AP的方向分别为x轴，y轴，z轴的正方向，建立空间直角坐标系则A(0,0,0),B(2,0,0),D(0,2,0),P(0,0,2),N(1,0,1)，∵BD设平面ADMN的一个法向量为n=(x,y,z)由n⋅AD→=0n⋅AN→=0得y=0,∴sinθ=|cos<BD（2）存在.设在线段BD上存在一点Q(x,y,0)，使直线PQ与平面PAD的夹角为30∘不妨设BQ=λBD，0≤λ≤1，则所以x-2=-2λ,y=2λ,解得x=2-2λ,y=2λ,即点Q的坐标为(2-2λ,2λ,0)，所以又AB=(2,0,0)是平面PAD所以|cos化简可得λ2-3λ+1=0（λ=3-即点Q的坐标为(-1+5故在线段BD上存在一点Q(-1+5,3-5,0)，使直线PQ与平面解题感悟用空间向量求直线与平面所成的角的步骤：迁移应用1.在正方体ABCD-A1B1C答案：30解析：如图所示，连接BC1，交B1C于设正方体的棱长为a.易证BC1⊥∴A1O为A∴∠BA1O为A在Rt△A1BO中，∴sin∠BA即A1B与平面A1评价检测·素养提升课堂检测1.已知向量m,n分别是直线l的方向向量和平面α的法向量，若cos⟨m,A.30∘B.60∘C.120答案：B2.正方体ABCD-A1B1CA.24B.23C.6答案：C3.正四面体ABCD中，棱AB与平面BCD所成角的余弦值为.答案：3素养演练数学运算——直线与平面夹角的最值或范围问题1.（2020湖南师大附中高二月考）如图，已知四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为菱形，∠ABC=60∘，AB=PA=2，PA⊥平面ABCD，E,M分别是BC，PD的中点，点F在棱（1）证明：无论点F在PC上如何移动，都有平面AEF⊥平面PAD；（2）当直线AF与平面PCD所成的角最大时，确定点F的位置.解析：审：本题中的几何体为底面是菱形的四棱锥，以此为载体证明面面垂直，以及求直线与平面夹角的最值.联：（1）连接AC，得出AE⊥AD和PA⊥AE，即可证明AE⊥平面PAD，从而得出平面AEF⊥平面PAD；（2）以A为原点，AE,AD,AP所在直线分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系，利用向量法求解.答案：解：（1）证明：连接AC，∵底面ABCD为菱形，∠ABC=60∘，∵E是BC的中点，∴①AE⊥BC，又AD∥BC，∴AE⊥AD，∵PA⊥平面ABCD，AE⊂平面ABCD，∴PA⊥AE，∵PA∩AD=A，PA、AD平面PAD，∴②AE⊥平面PAD，∵AE⊂平面AEF，∴平面AEF⊥平面PAD.（2）由（1）知，AE,AD,AP两两垂直，故以A为原点，AE,AD,AP所在直线分别为x,y,z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则A(0,0,0),B(3,-1,0),C(3,1,0),D(0,2,0),P(0,0,2),M(0,1,1),E(3,0,0).∴PC设PF=λPC(0≤λ≤1)则AF=AP+设平面PCD