新教材高中数学第三章函数的概念与性质第四章指数函数与对数函数单元测试含解析新人教A版必修第一册

PAGEPAGE11第三章函数的概念与性质第四章指数函数与对数函数(全卷满分150分,考试用时120分钟)一、单项选择题(本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.(2021北京一零一中学高一上期末)已知函数f(x)=lg(4-x)的定义域为M,函数g(x)=x-4的定义域为N,则M∩N= (A.MB.NC.{4}D.⌀2.(2021四川眉山高一上期末)已知函数f(x)=log3(-x),xA.-1B.1C.0D.23.(2021重庆缙云教育联盟高一上期末)函数f(x)=log12(-x2-2x+3)的单调递减区间为 (A.(-∞,-1]B.(-3,-1]C.[-1,1)D.[-1,+∞)4.(2021江苏扬州高一上期末)若方程x3-12x=0的解在区间[k,k+1](k∈Z)内,则k的值是 (A.-1B.0C.1D.25.(2021天津六校高一上期末)设a=log0.50.6,b=log0.61.2,c=1.20.6,则a,b,c的大小关系为 ()A.a<b<cB.b<a<cC.b<c<aD.c<b<a6.(2021广东广雅中学高一上期末)基本再生数R0与世代间隔T是新冠肺炎的流行病学基本参数.基本再生数指一个感染者传染的平均人数,世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间.在新冠肺炎疫情初始阶段,可以用指数模型:I(t)=ert描述累计感染病例数I(t)随时间t(单位:天)的变化规律,指数增长率r与R0,T近似满足R0=1+rT.有学者基于已有数据估计出R0=3.28,T=6.据此,在新冠肺炎疫情初始阶段,累计感染病例数增加1倍需要的时间约为(ln2≈0.69) ()A.1.2天B.1.8天C.2.5天D.3.5天7.(2021安徽师大附中高一上期末)已知函数f(x)=2x-1,x>0,-x2-2x,x≤0,A.0B.1C.2D.38.(2021湖北第五届高考测评高一上期末)若定义在R上的函数y=f(x-1)的图象关于图象上的点(1,0)对称,f(x)对任意的实数x都有f(x+4)=-f(x),且f(3)=0,则函数y=f(x)在区间[0,2019]上的零点最少有 ()A.2020个B.1768个C.1515个D.1514个二、多项选择题(本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,有选错的得0分,部分选对的得3分)9.(2021山东泰安高一上期末)函数f(x)=2x+a2x(a∈R)的图象可能为 (10.(2021山东菏泽高一上期末)某同学在研究函数f(x)=x1-|x|时,给出下面几个结论,A.f(x)的图象关于点(0,0)对称B.若x1≠x2,则f(x1)≠f(x2)C.函数g(x)=f(x)+x有三个零点D.f(x)的值域为R11.(2021山东烟台高一上期末)已知函数f(x)=logax+loga(a-x)(a>0,且a≠1),则 ()A.f(x)的定义域为(0,a)B.f(x)的最大值为2-2loga2C.若f(x)在(0,2)上单调递增,则1<a≤4D.f(x)的图象关于直线x=a212.(2021山东济宁高一上期末)已知实数x1,x2(x1<x2)为函数f(x)=12x-|log2(x-1)|的两个零点,则下列结论正确的是 (A.(x1-2)(x2-2)∈(-∞,0)B.(x1-1)(x2-1)∈(0,1)C.(x1-1)(x2-1)=1D.(x1-1)(x2-1)∈(1,+∞)三、填空题(本题共4小题,每小题5分,共20分)13.(2021湖南永州高一上期末)已知幂函数y=f(x)的图象过点(2,2),则f(4)=.

14.(2021江苏南京高一上期末)已知函数f(x)=2x+1,x<1,x2+ax,15.(2021天津耀华中学高一上期末)已知a,b∈R,且a-3b+6=0,则2a+18b的最小值为16.(2021吉林高一上期末)已知函数f(x)=|x|,x≤m,x2-2mx+4m,x>m,其中m>0.若f(x)在区间(0,+∞)上单调递增,则m的取值范围是;四、解答题(本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17.(10分)(2021河北唐山高一上期末)计算下列各式的值:(1)1412+3(2)2log32-log336+log25×log54.18.(12分)(2021福建厦门高一上期末)已知函数f(x)=x2+bx+c,且g(x)=f(x)+2x为偶函数,从条件①、条件②、条件③中选择一个作为已知条件,求f(x)的解析式.条件①:函数f(x)在区间[-2,2]上的最大值为5;条件②:函数f(x)≤0的解集为{1};条件③:方程f(x)=0有两根x1,x2,且x12+x19.(12分)(2021海南高一上期末)已知二次函数f(x)=x2+(3t+1)x+3t-1.(1)若f(x)是偶函数,求t的值;(2)若函数f(x)在区间(-2,-1)和(0,1)上各有一个零点,求t的取值范围.20.(12分)(2021黑龙江大庆实验中学高一上期末)设函数f(x)=a-22(1)用定义证明f(x)为增函数;(2)若f(x)为奇函数,求实数a的值,并求出f(x)的值域.21.(12分)(2021江苏苏州高一上期末)经多次试验得到某种型号的汽车每小时耗油量Q(单位:L)、百公里耗油量W(单位:L)与速度v(单位:km/h)(40≤v≤120)的部分数据关系如下表:v406090100120Q5.268.3251015.6W139.25为描述Q与v的关系,现有以下三种模型供选择:Q(v)=0.5v+a,Q(v)=av+b,Q(v)=av3+bv2+cv.(1)请填写表格空白处的数据,选出你认为最符合实际的函数模型,并求出相应的函数解析式;(2)已知某高速公路共有三条车道,分别是外侧车道、中间车道和内侧车道,车速范围分别是[60,90),[90,110),[110,120](单位:km/h),问:该型号汽车应在哪条车道以什么速度行驶时W最小?22.(12分)(2021广东广州越秀高一上期末)已知函数f(x)=logax(a>0,且a≠1).(1)若0<x1<x2,试比较fx1+x22与(2)若a>1,且A(t,f(t)),B(t+2,f(t+2)),C(t+4,f(t+4))(t≥2)三点在函数y=f(x)的图象上,记△ABC的面积为S,求S=g(t)的表达式,并求g(t)的值域.

答案全解全析1.D根据题意得,M={x|x<4},N={x|x≥4},∴M∩N=⌀.故选D.2.B∵f(x)=log3(-x),x<0,f(3.B由-x2-2x+3>0,解得-3<x<1,∴函数f(x)=log12(-x2-2x+3)令t=-x2-2x+3,则g(t)=log12t由复合函数的单调性可知,f(x)的单调递减区间为t=-x2-2x+3在(-3,1)上的单调递增区间.t=-x2-2x+3=-(x+1)2+4,其图象开口向下,对称轴为直线x=-1,∴t=-x2-2x+3在(-3,1)上的单调递增区间为(-3,-1].故选B.4.B设f(x)=x3-12x,则f(0)=0-1=-1<0,f(1)=1-12由函数零点存在定理知,f(x)在区间(0,1)内一定有零点,即方程x3-12x=0在区间(0,1)上有解,所以k的值是0,故选5.B0<a=log0.50.6<log0.50.5=1,b=log0.61.2<0,c=1.20.6>1,所以a,b,c的大小关系为b<a<c.故选B.6.B把R0=3.28,T=6代入R0=1+rT,可得r=0.38,∴I(t)=e0.38t,设初始阶段累计感染病例数增加1倍需要t天,则I(t)=2I(0),即e0.38t=2,两边取自然对数得0.38t=ln2,解得t=ln20.38≈1.8.7.D画出函数f(x)=2x-1,函数g(x)=f(x)-m的零点个数即函数f(x)的图象与直线y=m,m∈(0,1)的交点个数,所以函数g(x)有3个零点.故选D.8.C因为函数y=f(x-1)的图象关于图象上的点(1,0)对称,所以y=f(x)的图象关于点(0,0)对称,故f(x)为奇函数.又f(x+4)=-f(x),所以f(x+8)=f[(x+4)+4]=-f(x+4)=f(x).因为f(0)=0,f(3)=0,f(-3)=-f(3)=0,所以f(-3+4)=-f(-3)=0,即f(1)=0,f(4)=-f(0)=0,f(5)=f(1+4)=-f(1)=0,f(7)=f(3+4)=-f(3)=0,f(8)=f(0)=0,故在[0,8)上,0,1,3,4,5,7为函数f(x)的零点,又2019=252×8+3,f(2016)=f(0)=0,f(2017)=f(1)=0,f(2019)=f(3)=0,故函数在区间[0,2019]上的零点最少有252×6+3=1515个,故选C.9.ABD当a=0时,f(x)=2x,A中图象满足;当a=1时,f(x)=2x+12x,f(0)=2,且f(-x)=f(x),定义域为R,关于原点对称,所以函数f(x)是偶函数,其图象关于y轴对称,B当a=-1时,f(x)=2x-12x,f(0)=0,且f(-x)=-f(x),定义域为R,关于原点对称,所以函数f(x)是奇函数,其图象关于原点对称,DC中图象过点(0,1),此时a=0,故C中图象不满足.故选ABD.10.ACD画出函数f(x)=x1-|x|对于A:根据函数的图象可知,函数的图象关于原点对称,故A正确;对于B:根据函数的图象知,存在x1≠x2,f(x1)=f(x2),故B错误;对于C:令g(x)=0,画出函数y=-x的图象(图略),易知函数y=f(x)的图象与y=-x的图象有三个交点,故函数g(x)=f(x)+x有三个零点,故C正确;对于D:根据函数的图象知函数的值域为R,故D正确.故选ACD.11.AD对于选项A,令x>0且a-x>0,解得0<x<a,故函数f(x)的定义域为(0,a),故选项A正确;对于选项B,f(x)=logax+loga(a-x)=loga[(a-x)x]=loga(-x2+ax),因为y=-x2+ax的图象开口向下,故y有最大值,但若0<a<1,函数y=logax单调递减,此时f(x)无最大值,故选项B错误;对于选项C,若f(x)在(0,2)上单调递增,则①当0<a<1时,则y=-x2+ax在(0,2)上单调递减,故a2≤0,解得a≤0,不符合题意②当a>1时,则y=-x2+ax在(0,2)上单调递增,故a2≥2,解得a≥4,故选项C错误对于选项D,f(x)=logax+loga(a-x),f(a-x)=loga(a-x)+logax=f(x),所以f(x)的图象关于直线x=a2对称,故选项D正确.故选AD12.AB令f(x)=0,则12x=|log2(x-1)|,在同一直角坐标系中作出函数y=12x与y=|log2(x-1)|由图可得1<x1<2<x2,所以(x1-2)(x2-2)∈(-∞,0),故A正确;由于log2[(x1-1)(x2-1)]=log2(x1-1)+log2(x2-1)=-12x1所以0<(x1-1)(x2-1)<1,故B正确,C、D错误.故选AB.13.答案2解析设幂函数y=f(x)=xα,α∈R,∵其图象过点(2,2),∴2α=2,解得α=12,∴f(x)=x12,∴f(4)=14.答案4解析由f(x)=2x+1,x<1,x2+ax,x≥1得解得a=4,故答案为4.15.答案1解析由a-3b+6=0,可得3b=a+6,则2a+18b=2a+12a+6=2a+12当且仅当2a=12a+6,即a=-3时取等号.因此2a+116.答案(0,3];(3,+∞)解析当m>0时,函数f(x)=|x|,要使f(x)在区间(0,+∞)上单调递增,则m≤4m-m2,解得0≤m≤3,又m>0,∴0<m≤3,则m的取值范围是(0,3];要使关于x的方程f(x)=b有三个不同的实根,则4m-m2<m,即m2>3m,解得m>3,则m的取值范围是(3,+∞).17.解析(1)原式=12+2-3=-12. (5(2)原式=log34-log336+log24 (7分)=log319+2=-2+2=0. (10分18.解析函数f(x)=x2+bx+c,则g(x)=f(x)+2x=x2+(b+2)x+c, (2分)因为g(x)为偶函数,所以g(-x)=g(x),即(-x)2-(b+2)x+c=x2+(b+2)x+c,可得b=-2, (4分)所以f(x)=x2-2x+c,其图象开口向上,对称轴为直线x=1. (6分)若选条件①,函数f(x)在区间[-2,2]上的最大值为5,则f(-2)=4+4+c=5,解得c=-3, (10分)所以f(x)的解析式为f(x)=x2-2x-3. (12分)若选条件②,函数f(x)≤0的解集为{1},则f(1)=0,即1-2+c=0,解得c=1, (10分)所以f(x)的解析式为f(x)=x2-2x+1. (12分)若选条件③,方程f(x)=0有两根x1,x2,且x12+则由根与系数的关系可得x1+x2=2,x1x2=c, (8分)又(x1+x2)2=x12+x22+2x1x2所以4=10+2c,解得c=-3,所以f(x)的解析式为f(x)=x2-2x-3. (12分)19.解析(1)∵f(x)是偶函数,∴f(-x)=f(x),∴(-x)2-(3t+1)x+3t-1=x2+(3t+1)x+3t-1, (3分)即2(3t+1)x=0对x∈R恒成立,∴t=-13. (6分(2)函数f(x)在区间(-2,-1)和(0,1)上各有一个零点,所以f(-2)即4-2(3t+1)+3故t的取值范围为-16,120.解析(1)证明:由题意知,x∈R,任取x1,x2∈R,且x1<x2,则f(x1)-f(x2)=2(2x1∵x1<x2,∴2x1-2x2<0,又(2x1∴f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)<f(x2),∴函数f(x)是增函数. (6分)(2)由题意可知,f(x)+f(-x)=2a-22x+1-22∴a=12x+1+12故f(x)=1-22∵2x+1>1,∴0<22∴-2<-22x+1<0,∴-1<f故f(x)的值域是(-1,1). (12分)21.解析(1)填表如下:v406090100120Q5.268.3251015.6W13109.251013由题意可得符合的函数模型需满足在40≤v≤120时有意义,且在[40,120]上为增