考研网校线代强化讲义-章

第一章行列式

线性代数的特点是这些内容联系非常紧密。不但后面的知识用到前面的知识，而且有时前面

的知识也用到后面的一些结论。因此，把它们串在一起学习，同学们会发现线性代数是1

条主线，2种运算，3个工具。即：--条主线是方程组；二种运算是求行列式和求矩阵的初

等行（列）变换：三个工具是行列式，矩阵，向量（组）。

行列式的核心考点是掌握计算行列式的方法，计算行列式的主要方法是降阶法，用按行、

按列展开公式将行列式降阶。但在展开之前往往先用行列式的性质对行列式进行恒等变形，

化简之后再展开。另外，用简单的递推公式求行列式的方法也应掌握。

【大纲内容】行列式的概念和基本性质；行列式按行（列）展开定理。

【大纲要求】了解行列式的概念，掌握行列式的性质。会应用行列式的性质和行列式按

行（列）展开定理计算行列式。

【考点分析】考研试题中关于行列式的题型主要是填空题,纯粹考行列式的题目很少，

但行列式是线性代数中必不可少的工具，它在处理以下问题中都有重:要应用：

1.判定方阵是否可逆以及应用公式M求逆矩阵;

2.判定n个n维向量的线性相关性；

3.计算矩阵的秩；

4.讨论系数矩阵为方阵的线性方程组的解的情况并利用克莱姆法则求方程组的解；

5.求方阵的特征值；

6.判定二次型及实对称矩阵的正定性。

同时，上述内容也可与行列式知识相结合构造新的关于行列式的题型。在复习过程中,

清大家注意及时归纳总结。

相应知识点精讲

一、行列式的定义

1.行列式的形式：％”个数排列成n行、n歹U,组装成一个正方形，两边画两根竖线，即

形如：%1%?I%,称为一个门阶行列式。其中数即称为行列式的元素，横排的一行

元素沏，如,…,如称为行列式的第i行，自上而下计序，共有n行。竖排的一列元素

的,'"2/=\"下称为行列式的第j歹U，自左向右计序，共有n歹（1。自左上角到右下角倾斜的

一列元素，】'与2,…，氏*称为行列式的主对角线，自右上角到左下角倾斜的一列元素

%*，出.1，…,％1称为行列式的次对角线或副对角线。

2.行列式的值：行列式的数学属性是一个数，称为该行列式的值。当一个行列式的元素

给定后，该行列式的值可通过特定的运算，从其元素计算得到。例如：

一阶行列式离」的值规定即为其元素由本身，即。

（1）i|an|=，L

allalla12

（2）二阶行列式的1，即二阶行列式蚂1的？的值等于其主对

角线元素的乘积减去次对角线元素的乘积。我们常常称之为二阶行列式的对角线法则。

13

57

【例1】计算下列行列式的值：J»

［答疑编号：2120noi针对该题提问］

13

=1x7—3x5=7-15=—8

【解】57

3.行列式的定义：

献

=工（一1严

尸I，尸2…后

即：非2个数构成的n阶行列式等于所有取自不同行与不同列元素乘枳的代数和。一共

有刈项，一半带负号，一半带正号。其中小42,为任意一个n级排列，皿必,…％）

为n级排列为，小，…外的逆序数。我们知道n级排列一共有加种。

4.五个特殊行列式的值

下面介绍五个特殊行列式的值。

（1）如果一个行列式中有一行或一列的元素全为0,则此行列式的值为0。

（2）如果一个行列式中有两行（两列）所有对应元素都成比例，则该行列式等于0.特

别地，如果一个行列式中有两行（两列）相同，则该行列式等于0。

a”au…aln

°a11…%*

・・・・・・・・・・・・

00a

（3）形如U1m的行列式称为上三角形行列式，其特点是主对角线下面

的元素全为0。上三角形行列式的值等于其主对角线上所有元素的乘积，即：

00

0

(4)形如的行列式称为F三角形行列式，其特点是主对角线上面

的元素全为0o下三角形行列式的值也等于其主对角线上所有元素的乘积，即:

0o

0

ax2

00

00

00

(5)形如的行列式称为对角形行列式，其特点是主对角线上面和

下面的元素全为0。对角形行列式的值也等于其主对角线上所有元素的乘积，即:

ail00

0a220

=alla22'"am

00

【例2】计算下列行列式的值:

3406

78010

59013

1112014

(1)

［答疑编号:21201102针对该题提问］

4567

01-23

0028

0005

(2)

［答疑编号:21201103针对该题提问］

710820930670

111222333888

710820930670

1234

(3)

［答疑编号:2120no4针对该题提问］

3406

78010

59013

1112014

解：⑴=0

4567

01-23

0028

0005

(2)=40

710820930670

111222333888

710820930670

1234

(3)

二、行列式的性质

性质1.转置性质：行列式的行和列互换，其值不变。

这个性质说明行列式中行和列的地位是相当的，对称的。通常，人们把•个行列式的第

i行元素依次写成第j列d=L2,3,…/）的元素，所得的新的行列式称为原行列式的转置

行列式。如果原行列式记作D,则其转置行列式记作少丁。由性质1知，。

4567

01-23

D==412-5=40

0028

000

例如：设行列式5,则其转置行列式

4000

5100

=4125=40

6-220

7385，显然外匕

性质2.互换性质：行列式的两行（两列）互换，其值变号.也就是说，交换行列式两行

（两列）的所有对应位置上的元素，所得的新的行列式的值等于原行列式的值的相反数。

13

D==1-7-35=7-15=-8

5

例如已知7

57

A==5-3-71=15-7=8

3•D]=

1,显然,-D

性质3.数乘性质：若行列式的某行（某列）有公因子k,则可把公因子k提到行列式外

11%12

•ka-m=k%

a

面。即：以畜1・Axnl以龙2若把上述等式反过来看，即:

电%«11出…%

•••

=

k61%%也为灿2…k

•••

%%%

,也可认为：数k与一个行列式的乘积等于

在该行列式的某一行或某一列中各元素乘以ko

性质4.倍加性质：把行列式某行（某列）的所有元素的k倍，力口到另行（另一列）的

相应元素上去，所得的新的行列式的值等于原行列式的值。

2141

3—121

1232

5062

【例3】计算下列行列式的值:

［答疑编号:21201105针对该题提问］

解：本题可分成三步进行计算。

2141

3—121

1232

5062

第一步：利用性质4可知，将原行列式的第2列的所有元素的-1倍，加

到第四列的相应元素上去，所得的新的行列式的值等于原行列式的值，即

21412141-12140

3—1213—121+13—122

12321232-21230

50625062-05062

2140

3-122

1230

5062

第二步：再将新行列式的第2行的所有元素的-1倍，加到第四行的相应

元素上去，所得的新的行列式的值等于原行列式的值，即

214021402140

3-1223-1223-122

1230=12301230

50625-30+16-22-22140

2140

3-122

1230

第三步：将新行列式2140

的第1行的所有元素的-1倍，加到第四行的相应元

素上去，所得的新的行列式的值等于原行列式的值，即

214021402140

3-1223—1223—122

=0

123012301230

21402-21-14-40-00000

（因为，如果一个行列式中有一行或一列的元素全为0,则此行列式的值为0）

2141

3—121o

1232

综上所述，原行列式5062

性质5.加法性质：如果行列式有某行（列）的所有元素均可写成两个加数的和，即该行

（列）有两个分行（分列），则这个行列式等于两个行列式的利，而这两个行列式分别以这

两个分行（分列）为该行（列），其他行（列）与原行列式相同。

1+2

2+3

3+4

q+@',02+03=|q，Q2,嘲+q’,0：2，的

2201-1

32928

【例4】计算下列行列式的值：一1一"一5。

［答疑编号：21201106针对该题提问］

【解】分析发现，第二列元素均为三位数，但均接近于百位整数。所以利用性质5计算

比较方便。

2201-112200+1-1

32928=3300-88

-1-95-5-1-100+5-5

2200-121-1

33008+3-88

-1-100—5-15-5

2200-1

=33008=0+0=0

—1-100—5

典型例题剖析

【考点一】行列式按行、按列展开公式为:

D=+。2&■**"。辰4=+。2上4心^axkAik(尢=1,2••■M)

a60•••00

0ab00

00df•••00

000•••ab

【例51n阶行列式b00•••0a

［答疑编号:21201107针对该题提问］

解：

按第一列展开可得0=白百1+风1=1+小(-1)""加0=。"+(-1)1+"8"

【考点二】

形如X1的行列式称为范德蒙行列式。范德蒙行列式的特点是:

1YJ炉-1-r

其每列元素Lx"再‘…‘不按石的升塞排列，构成一个等比数列，第二行的元素

为，孙…，、

分别为每列元素的公比，且第一行元素为1.范德蒙行列式的值为

（电-西）"3--电）…（勺一再）（4-X2）-（X„-/_1）

1111

231T

D=

49116

【例6］计算四阶行列式8271一64

［答疑编号：21201108针对该题提问］

解：根据范德蒙行列式得：

1111

231Y

D=

49116

8271-64

=(3-2)(1-2)(1-3)(-4-2)(-4-3)(-4-1)=-420

al

a急

D=右

*。2M*

【例7】计算四阶行列式（其中勺，叼，“3，〃4均不为0）

［答疑编号:2120no9针对该题提问］

解：把第一列提出彳，第二列提出不

第三列提出为，第四列提出

,1曳1

的aA

㈤21M

IM1%,

鼠M

D=

、3

D=2a3a4)

4总号卷）

【考点三】形如''•的行列式称为三对角形（三斜线形）行列式。三对角

形行列式的特点是沿主对角线方向三列元素不为零，其余元素均为零。对于这类三对角形行

列式通常可用递推法。

43000

14300

&=01430

00143

［例8］五阶行列式的值为

［答疑编号：2120nl0针对该题提问］

4300o

1430o

2=0143o=44i+i-Ai

00143

00014

3000

1430

=4£)4+(-1)1+2

0143

0014

.Q=4为-3D3

递推公式R=4J—3D3,移项得

2一&=3(口4一口3)=3x3(D3-D2)

3

=3<D2-D1)

43

D==16-3=13

214

D1=|4|=4

D2f=13-4=9=32

-Z)=33D-D)325

可得：P54(2l=3x3=3

.Q；=4+36=3$+34+奖+13=364

【考点四】形如：,e的行列式称为箭形、爪形或扇形行列式，其特点是行

列式中主对角线上的元素和第行、第一列上的元素不为零，其余元素均为零。对于箭形、

爪形或扇形行列式，可用主对角线上的元素化其为上（下）三角形行列式进行计算。

011...1

12000

4=10300

:000

【例9】计算n阶行列式1°°°”

［答疑编号：21201201针对该题提问］

011—11…1

12000

02000

10300

10300

000

:00•・・0

1000«

1000«

解：第二列乘以加到第一列上得

第三列乘以（一9加到第一列上得:

_1_

11-12~311—1

2

0200002000

=

1030000300

000000

000^1000«

2~3~

02000

00300

00,­.0

最后一列乘以加到第一列上得0000«

【考点五】计算含子块的四分块的分块矩阵的行列式：掌握简化行列式运算的两个重要

公式：设A是m阶方阵，B是n阶方阵，则

AOAc

B=OD

OA_CA

⑵8C=B0=(-1)叫4团

丐00a

o。2如0

0%0

【例10】四阶行列式,00心的值等于（）

（A）口述2a3a4一4她久

（B）2a3a4+可出它也

（c）3遮2一瓦与）（a3a4一13&）

00

a400

0a2出

0电

□=(。口4-g)(a2a3-与加)

正确答案：D

【考点六】若行列式中含有变量X,则该行列式展开后成为关于x的多项式，可考查该

多项式的次数、零点等问题。

【例11】设多项式

an+xa124-xa13+x/+x

々21+X以北+X以23+X+工

p(x)=

以31+无«32+X%3+Xa%+X

以41+XAz+x%+x即+工

则P（X）的次数至多是（）o

(A)I

(B)2

(C)3

(D)4

［答疑编号：21201203针对该题提问］

解：

知+X%+x演+X,4+x

%1+x%+x%+x

%]+x%+x%+x

a33+x

a+x

%1+X刖+x0+x»

%+x

a13+x以M+才

叼1一%a22一%723—%一，4

如一对々32—a12«33一以13%一，4

知一a42~a12々43一々13以44-，4

正确答案：A

【考点七】计算代数余子式线性组合的值:

1.行列式元素的余子式和代数余子式：在行列式即1%■"%*伽22)中,

取元素囹，其中为.表示位于该行列式中第i行、第j列的一个元素，我们去掉“毛所在的第

i行和第j列的所有元素，把剩余的伽一个元素按其原来的位置关系组装成一个新的n-1

阶行列式，记作％并称其为原行列式中元素%.的余子式。因为在该行列式中一共有忽

个元素，每个元素都有一个余子式，所以这个n阶行列式•共有/个余子式.如果在元素“乖

的余子4“之前加上符号，则称其为元素%的代数余子式，记作4幽L将

4=㈠产叫?―两边都乘以(-1产得

(-严4=(-14㊀产M=K-1产=峋,因此,=(一严4。

2.行列式元素的代数余子式的性质和特点：

a.•••a、.•••a、

11yVlx

・・・・・・・・・■••・・・

D=41囹…%

・・・・・・・・・・・・■■■

…&，•…axx5之2)

设行列式K1跖ftfl

（1）4和%的大小无关;

⑵沏4+%4+…+阳4（称为行列式按第i行展开）。

%4++…+与4=z（称为行列式按第j列展开）G，/=L2…％）代数余

子式的这个性质称为行列式的按行按列展开定理或行列式的按行按列展开公式.显然，行列

式可按任何一行展开，也可按任何一列展开。

（3）+•••+%/=04*J）。这表示行列式一行的元素分别与另一行

相应元素的代数余子式的乘积之和为0。

（4）利用行列式按行按列展开公式计算代数余子式的代数和如虹+…+B4*

的方法：替换法。所谓替换法实质上就是将行列式按行按列展开公式反过来使用，我们去掉

代数余子式…，4所在的第i行的所有元素，换成代数余子式4],当2,…，4前面

的系数“‘与，…，4，其余元素不变,

按其原来的位置关系组装成一个新的n阶行列式，即

以11ai2…aij…a]x

・・・•••・・・・・・・・・・・・

瓦4I+242+…+44=员瓦-%-4

••■•■■■■■■■■■■■■■■

%2…%…ajtxO

123

005

【例12】计算行列式014中第一行各元素的余子式峪I“％'/13和代数余子式

O

[答疑编号：21201204针对该题提问]

050500

=-5=0她3==0

Ma11=14M["2=0401

，，

1+2

内1=(-1)1+1%1=-5X12=(-l)M12=043=(T)"3购3=0

1234

2341

3412

［例13］设4阶行列式2222,求41+42+43+44。

［答疑编号：21201205针对"该题提问］

1111

2341

3412

4+&+&+&=2222=0

【例14】已知5阶行列式

^11&123a14勺5

22211

%=肛1432a33N34电527

11122

町1a52&53a54&55,求：41+&+43+44+a5

［答疑编号：21201206针对该题提问］

解：把第四行展开得：31+1幽2+1&3+2&4+2幽5=27

由此可得方程：

(41+&2+&3)+2(，+/)=27①

2幽］+2幽2+2幽3+^44+45=。

2(&］+&2+43)+(44+45)=0②

①和②组成方程组根据消元方可算出：

第①个方程左右两端乘以2倍

2(441+42+43)+4(A44+&5)=54

然后①一②得

3(444+45)=54

.44+&5=18

&］+血2+血3=_9

.4］+AH2+&3+44+^45=9

【例15］设A是三阶可逆矩阵，S'的特征值为1,2,3,求的代数余子式之和:

41+4+4•

［答疑编号：21201207针对该题提问］

解：

•；A为可逆矩阵

.\A\^0

本题用到定理：

设A有特征值为，为则①国=&为…4

②对1+吻+…+―=&+42+…为

》特征值为1,2,3,不的行列式=lx2x3=6

同"T=忸|=1

Ml]

a\\an顷3

A=。21勾2勾3

设a31生2a33

大

伴随矩阵A

AA=|A|E

‘A”A2IA31、

火

A==A12A22A32

<A13A23A33/

A*=|A|A-1=

A*=1A-1

6

设A-'a=4a,*0

a=-JCla=—a

：.66

123

大一,一,一

•••A特征值为666

【考点八】计算抽象矩阵的行列式：主要利用矩阵行列式的性质。

设A为n阶矩阵，则有

(1)

\AB\=\A\\B\,\Ak\=\Af

(2)

|川=国w+/卜⑷叼=,+叫

(3)

kl1

(4)设A为n阶可逆矩阵，则

(5)利用行列式加法运算的性质：

设应为n维列向量，量，则

生闻+|%生闻=|%生色+4|

【例16］设A为3x3矩阵，博把A按列分块为的，，其中4。=123)

是A的第j列，则%-MM，%卜—。

［答疑编号：21201208针对该题提问］

解：根据考点八第五条性质得

|马,342,可|+卜24,342，4|=-3|4，42,a|=-3|川=6

［例17］设n阶矩阵』=(%生,3=(%+弓，电+%，,其中

用，电,…，&为n维列向量。已知行列式同°),求行列式网的值。

［答疑编号：21201209针对该题提问］

解：&=|/+。2，的+的，…,%_1+%，/+/］

根据行列式加法的性质得：

4心+43」“,%-1+%，%+叫+

仪2，戊2+%%-1+%，%+1

=|4|+|/，的产,，出，国|

=a+(-1尸|/,0：2|

叶a+(-l)f

【例18］若A是n阶方阵，且网=T,证明M+E卜°。

［答疑编号:21201210针对该题提问］

解：

|月+£卜卜+月尸］

=,(£+47)卜|力叶£丁+月丁

=—=—忸+4

.2\A+E\={},\A+E\=0

【例19】设A、B均为n阶矩阵，冷2,|却=-3,则"B1|=

［答疑编号:21201211针对该题提问］

VH=2.|5|=-3

.2月*矿1=2"小卜T

22M-1

3

第二章矩阵

矩阵主要是研究解矩阵方程，如

AX=B

X=A~XB

矩阵是线性代数的主要研究对象，有着广泛的应用。学习线性代数的目标之一，就是要

学会利用矩阵这一工具去刻画你所面对的问题，并能利用矩阵的运算和性质去解决问题。矩

阵考试的重点是：矩阵的乘法运算，逆矩阵，伴随矩阵，初等矩阵，矩阵的秩。以计算题为

主，技巧性强。

【大纲内容】矩阵的概念；矩阵的线性运算；矩阵的乘法；方阵的暴；方阵乘积的行列

式；矩阵的转置；逆矩阵的概念和性质；矩阵可逆的充分必要条件；伴随矩阵；矩阵的初等

变换；初等矩阵；矩阵的等价；矩阵的秩；初等变换求矩阵的秩和逆矩阵的方法；分块矩阵

及其运算；掌握矩阵的秩。

【大纲要求】掌握矩阵的概念和矩阵的各种运算，特别是矩阵的乘法、矩阵的转置、逆

矩阵、方阵的行列式等。要掌握它们的运算规律、逆矩阵的性质及矩阵可逆的充分必要条件,

会用各种方法求出矩阵的逆矩阵，矩阵的初等变换是研究矩阵各种性质和应用矩阵解决各种

问题的重要方法，因此必须掌握矩阵的初等变换，会用初等变换解决有关问题。掌握矩阵的

秩。

相应知识点精讲

一、矩阵的定义

1.矩阵的概念：矩阵就是一张长方形的数表。和行列式类似地把数表中横的称为行、竖

的称为列.我们把mxn个数排列成m行、n歹!J,组装成一个长方形，两边画两根弧线，即

形如

（aUaU

aa

以2122…2x

■■■■•■■■■・・・

‘♦ian…

我们称I%1外2…%«人共是一个m行、n列的矩阵.

其中数与称为矩阵的元素，横排的一行元素的‘%，…，%称为矩阵的第i行，自上而

下计序，共有m行。竖排的一列元素，，'生⑺…内咫称为矩阵的第j歹IJ,自左向右计序，共

有n列。

2.矩阵的相等：两个矩阵的行数相等且列数也相等，则称它们是同型矩阵，对于两个

同型矩阵

a

‘%i2…‘％%•••

a•••%%•••%

A=2l以22B=

••••••••••••••••••••••••

・・・1%・・・

Mx».MxM

如果其相同位置上的元素均相等，即％=%（i=l,2,m,j=l,2,n）则称

矩阵A=Bo

3.常见的特殊矩阵：

’00-0、

00—0

A=

■■■•■■■■■■■■

（1）所有元素均全为0的矩阵1000人混称为零矩阵，记做A=O。

（2）仅有一行的矩阵称为•个行矩阵或n维行向量。仅有一列的矩阵

/

/

f可可

■

与与

：：

。

形式

尸的

，…，这

囱也

写成

也常

，

向量

维列

阵或n

列矩

一个

称为

a