新教材高中数学第二章平面解析几何5椭圆及其方程1椭圆的标准方程学案新人教B版选择性必修第一册

PAGEPAGE7椭圆的标准方程课标解读课标要求素养要求1.了解椭圆的实际背景，感受椭圆在刻画现实世界和解决实际问题中的作用.2.经历从具体情境中抽象出椭圆的过程，掌握椭圆的定义，标准方程.1.数学抽象、逻辑推理——能借助实验引入椭圆的概念并推导出椭圆的方程.⒉数学运算——能根据具体的题目条件求解椭圆的标准方程并能够应用.自主学习·必备知识见学用75页教材研习教材原句要点一椭圆的定义如果F1，F2，是平面内的两个定点，a是一个常数，且2a>|F1F2|，则平面内满足①|PF1|+|PF要点二椭圆的标准方程1.焦点在x轴上的椭圆的标准方程：③x2a2+y2b2.焦点在y轴上的椭圆的标准方程：④y2a2+x2b自主思考1.已知F1(-4,0)，F2(4,0)，平面内到答案：提示因为2a=|F1F2|=82.由椭圆的标准方程如何判断椭圆焦点的位置？答案：提示判断椭圆焦点在哪个坐标轴上就要判断椭圆的标准方程中x2项、y名师点睛1.对椭圆定义的三点说明（1）椭圆是在平面内定义的，所以“平面内”这一条件不能忽视.（2）定义中到两定点的距离之和是常数，不能是变量.（3）常数（2a）必须大于两定点间的距离，否则轨迹不是椭圆，这是判断一曲线是不是椭圆的限制条件.2.对椭圆标准方程的三点认识（1）标准方程的几何特征：椭圆的中心在坐标原点，焦点在x轴或y轴上.（2）标准方程的代数特征：方程右边为1，左边是关于xa与yb或ya（3）a，b，c三个量的关系：椭圆的标准方程中，a表示椭圆上的点M到两焦点的距离的和的一半，可借助图形帮助记忆.长为a，b，c（都是正数）的线段恰构成一个直角三角形的三条边，a是斜边长，所以a>b，a>c，且a2互动探究·关键能力见学用76页探究点一椭圆的定义精讲精练例（1）如图所示，A是圆O内一定点，B是圆周上一个动点，AB的垂直平分线CD与OB交于点E，则点E的轨迹是()A.圆B.椭圆C.线段D.射线（2）若动点P(x,y)满足(x-3)2+A.线段B.圆C.椭圆D.直线答案：（1）B（2）A解析：（1）连接EA（图略），∵CD垂直平分AB，∴|EB|=|EA|，设圆的半径为r，则|EO|+|EA|=|EO|+|EB|=r>|OA∣，故点E的轨迹是以O，A为焦点的椭圆，故选B.（2）动点P(x,y)满足(x-3)2+y2可得|PF1|+|P∴动点P的轨迹为线段.解题感悟椭圆的定义具有双向作用，即若|MF1|+|MF2|=2a（2a>|F迁移应用1.点P(-3,0)是圆C：x2+y2-6x-55=0内一定点，动圆M答案：方程x2+y2-6x-55=0化成标准形式为(x-3)2+y2=64，则C(3,0)，半径r=8.因为动圆M与已知圆内切且过P点，所以|MC|+|MP|=r=8，根据椭圆的定义知，圆心M到两定点C探究点二用待定系数法求椭圆的方程精讲精练例（1）已知椭圆的两个焦点坐标分别是(-4,0)(4,0)，并且经过点(3,15（2）若椭圆经过(2,0)和(0,1)两点，求椭圆的标准方程.答案：（1）∵椭圆的焦点在x轴上，∴设它的标准方程为x2a2+∴所求椭圆的标准方程为x2（2）设椭圆的方程为mx∵椭圆过(2,0)和(1,0)两点，∴4m=1,n=1,∴解题感悟求椭圆的标准方程时，要“先定型，再定量”，即要先判断焦点位置，再用待定系数法设出适合题意的椭圆的标准方程，最后由条件确定待定系数即可.（1）当所求椭圆的焦点位置不能确定时，应按焦点在x轴上和焦点在y轴上进行分类讨论，但要注意a>b>0这一条件.（2）当已知椭圆经过两点，求椭圆的标准方程时，把椭圆的方程设成mx迁移应用1.已知椭圆x2a2A.x245C.x227答案：D解析：由题意可得a2-b2=9,2.与椭圆9xA.x24C.x26答案：B解析：9x2+4可知椭圆x24+y2故可设所求椭圆的方程为y2又2b=2，即b=1，c=5，所以a2=探究点三椭圆的定义及方程的应用精讲精练例（1）（多选）（2021山东聊城高二期中）已知P是椭圆x29+y24=1A.△PFB.SC.点P到x轴的距离为2D.P（2）已知F1、F2分别是椭圆x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)A.2-3B.C.2+1D.答案：（1）B;C;D（2）D解析：（1）由椭圆方程知a=3，b=2，所以c=5，|P所以△PF1F在△PF1F所以20=36-2|PF解得|PF故S△P设点P到x轴的距离为d，则S△P所以d=2PF（2）设|PF1|=t∵PQ⊥PF1，由椭圆的定义可得|PF2|=2a-t，|Q∵|PQ|2+|P即4a-3t=3t，解得则△PF1F2与解题感悟（1）在椭圆中，当椭圆上的点不是椭圆与焦点所在轴的交点时，这个点与椭圆的两个焦点可以构成一个三角形，这个三角形就是焦点三角形.这个三角形中一条边长等于焦距，另两条边长之和等于2a.（2）在处理椭圆中的焦点三角形问题时，可结合椭圆的定义|PF迁移应用1.设M为椭圆x225+y29=1上的一个点，FA.3B.3C.2D.33答案：D解析：因为椭圆的方程为x225+y29=1设|MF1|=m，|M由余弦定理得4c2=m2又(m+n)所以mn=12，即|MF所以S△M评价检测·素养提升见学用77页课堂检测1.（2020山东潍坊高二月考）若点M到两定点F1(0,-1)，F2A.椭圆B.直线C.线段D.不存在答案：C2.已知椭圆的焦距是6，且椭圆上的点到两个焦点的距离之和等于10，则椭圆的标准方程是()A.x225C.x225+y答案：D3.已知椭圆x225+y29=1，FA.5B.10C.20D.40答案：C素养演练逻辑推理——利用椭圆的定义求解最值问题1.（2020山东临沂高二期中）点P在椭圆C1:x24+y23=1上，解析：审：已知椭圆的方程，求椭圆上的动点P到圆上的动点Q与定点F距离差的最小值.联：记椭圆C1:x24+y23答案：解：记椭圆C1:x则①|PE|+|PF|=2a=4，所以|PQ|-|PF|=|PQ|+|PE|-4，x2+y2+6x-8y+21=0可化为(x+3)2作出图形如下：由圆的性质