专题15 导数的应用（解析版）-2021年高考冲刺之二轮专题精讲精析

专题15导数应用一、单选题1．定义在上的函数满足，，则不等式的解集为（）A． B． C． D．【答案】B【分析】构造函数，用导数法易得在上是增函数，然后将不等式转化为，利用单调性求解.【详解】设，则，∴在上是增函数，不等式可化为.即，∴，解得.故选：B2．已知、满足，则与的大小关系为（）A． B．C． D．不能确定【答案】C【分析】构造函数，利用导数分析出函数在区间上单调性，可比较出与的大小关系，再利用对数函数的单调性可得出与的大小关系，进而可得出与的大小关系.【详解】令，其中，则，当时，.所以，函数在区间上单调递增，，，即，即，即，可得，所以，.故选：C.【点睛】思路点睛：解答比较函数值大小问题，常见的思路有两个：（1）判断各个数值所在的区间；（2）利用函数的单调性直接解答.数值比较多的比较大小问题也也可以利用两种方法的综合应用.3．已知函数，（为常数，且），若在处取得极值，且，而在上恒成立，则的取值范围是（）A． B．C． D．【答案】B【分析】由函数的导数得出函数的单调性，又由已知可得或，进而求得答案．【详解】，令，可得，因为在处取得极值，所以∴函数在上单调递增，在上单调递减.∵，∴函数在区间上是单调函数.∴或∴，∴的取值范围是.故选：B4．已知定义域为的函数的导函数为，且，若，则函数的零点个数为（）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】采用构造函数法，同乘得，变形得，即，由此可得表达式，将求出具体解析式，再结合导数研究增减性，画出大致图象，即可求解.【详解】依题意，，故，则，即，故，令，则，解得，故，故；令，则，当时，，当，，故，故当时，，当时，；作出函数的大致图象如图所示；观察可知，与有2个交点，即函数有2个零点，故选：B．【点睛】方法点睛：本题考查构造函数法求解函数解析式，利用导数研究函数增减性，常用以下方法：（1）利用含导数方程还原原表达式需要结合导数四则运算特征，如本题中同乘移项后就得到除法对应导数公式；（2）利用导数研究函数增减性,如遇导数不能判断正负的情况下，往往需要再次求导，通过二阶导数判断一阶导数的正负，再通过一阶导数的正负判断原函数的增减.5．定义在R上的函数，当时，不等式在时恒成立，则实数的取值范围是（）A． B． C． D．【答案】B【分析】先利用导数判断单调递增，从而可得单调递增，因此恒成立等价于，即，得，进而可求得的取值范围【详解】由于，因此单调递增，从而单调递减，因此单调递增，注意到恒成立等价于，即，即恒成立，所以实数的取值范围是，故选：B.【点睛】关键点点睛：此题考查由函数的单调性解不等式，考查数学的转化思想，解题的关键是判断出函数的单调性，从而得恒成立等价于，可得，从而可得实数的取值范围，属于中档题6．已知奇函数在上单调递减，且，则“”是“”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件.【答案】B【分析】根据奇函数的定义和单调性可确定和的符号，由奇偶性定义可知为偶函数，利用导数可确定单调性；根据，利用单调性可求得的解集，根据推出关系可确定结论.【详解】为上的奇函数，，又单调递减，当时，；当时，，且，令，则，为偶函数，当时，；当时，；，当时，，，在上单调递增，由偶函数对称性知：在上单调递减；，由得：，，“”是“”的必要不充分条件.故选：B.【点睛】结论点睛：本题考查充分条件与必要条件的判断，一般可根据如下规则判断：（1）若是的必要不充分条件，则对应集合是对应集合的真子集；（2）若是的充分不必要条件，则对应集合是对应集合的真子集；（3）若是的充分必要条件，则对应集合与对应集合相等；（4）若是的既不充分又不必要条件，则对应的集合与对应集合互不包含．7．函数的最大值为（）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据周期性只需考虑函数最值，结合得时函数取得最大值，利用导函数分析单调性，结合隐零点求解最值.【详解】由题，只需考虑函数最值即可，，所以当即时函数取得最大值，，考虑函数，，所以必存在唯一零点，，且递减，递增，记，由正弦函数单调性可得：函数递增，函数递减，所以函数，解得，所以.故选：A【点睛】此题考查求函数的最值，关键在于准确分析函数的周期性和单调性，结合导函数解决隐零点问题求解最值，属于难题.8．已知函数有两个零点，则实数的取值范围是（）A． B． C． D．【答案】B【分析】函数有两个零点，即方程有两个根，设，求出，研究出函数的单调性，由的图象与有两个交点，得出参数的范围，即得结果.【详解】函数有两个零点，由题意得方程有两个根，设，则与有两个不同的交点，又，设，则所以在上单调递减，又当，所以在上单调递增，当，所以在上单调递减，又，，当时，，则，即在上单调递减，但恒正.作出函数的大致图象如下：要使的图象与有两个交点，所以实数的取值范围是.故选：B.【点睛】方法点睛：已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法：（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解.9．定义在上的函数有不等式恒成立，其中为函数的导函数，则（）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据已知条件可以得到，在(0,+∞)上的单调性，从而分别得到,进而得到结论.【详解】解：，即，因为定义在上，，令则，，则函数在上单调递增.由得，即，；同理令，，则函数在上单调递减.由得，，即.综上，.故选：B.【点睛】本题考查导数的运算，利用导数研究函数的单调性和单调性在比较大小中的应用，涉及根据已知导函数满足的关系构造可判定导数正负的函数，是难题.，从中间是减号，联想到除法的求导法则，从系数2，联想到要有的导数产生，综合需要两边同乘以，得到，进而得到得到函数，同样道理得到的单调性，这是解决本题的关键和难点.10．已知函数的两个极值分别为和，若和分别在区间与内，则的取值范围为（）A． B．C． D．【答案】A【分析】由极值点的所在区间即可知的导函数的零点区间，应用根的分布可得，结合目标式的几何意义，即可求其范围.【详解】函数的两个极值分别为和，∴的两个根为，，∵，别在区间与内，所以化为：.画出可行域如图（阴影部分），设，点是可行域内部的点，则表示直线的斜率，由图象可得，或，由得；由得，所以，，因此或，即的取值范围为故选：A.【点睛】关键点点睛：求解本题的关键在于，根据函数的极值点，求出所满足的等量关系，再由分式型目标函数的取值情况，利用数形结合的方法，即可求解.11．定义在R上的函数的导函数为，若，，则不等式的解集为（）A． B． C． D．【答案】D【分析】令，对函数求导判断出单调性，利用的单调性解出不等式即可．【详解】令，则，所以在R上单调递增．因为，所以不等式，可变形得，即，所以，解得．故选：D12．已知定义在上的函数满足，其中是函数的导函数，若，则实数的取值范围为（）A． B． C． D．【答案】D【分析】构造函数，根据导数可判断函数单调递减，由，结合函数定义域可解得.【详解】令，，则，因为，所以，所以函数在上单调递减．因为，，所以，即，所以且，解得，所以实数的取值范围为．故选D．【点睛】易错点点睛，本题的容易忽略定义域，切记解函数抽象不等式要优先考虑定义域.二、填空题13．已知在单调递减，则的取值范围为______．【答案】【分析】由函数在给定区间的单调性，得到在恒成立，进而可得的取值范围.【详解】在单调递减，在恒成立，又是开口向上的二次函数，为使在恒成立，只需，即，则.故答案为：.【点睛】思路点睛：利用已知函数在给定区间上的单调性求参数时，通常需要对函数求导，根据函数在给定区间的单调性，得到导函数在给定区间的符号（正负），由此列出不等式求解即可.14．若x＝2是f(x)＝ax3-3x的一个极值点，则a＝________.【答案】【分析】由=0解得，再验证即可得解.【详解】因为，所以，因为x＝2是f(x)＝ax3-3x的一个极值点，所以，故，经验证当时，是的一个极值点.所以.故答案为：【点睛】关键点点睛：根据可导函数在极值点处的导数值为0求解是解题关键.15．已知函数在的值域为，则实数的取值范围为________.【答案】【分析】由函数知存在极大、小值，而的值域为，则必包含极值点，列不等式组求的取值范围.【详解】由解析式知：，∴、上，即单调递增；上，即单调递减；∴有极大值，极小值，由题意知：，即有：，解得，故答案为：【点睛】易错点睛：定义域为开区间的函数值域为闭区间，一般开区间包含极值点的横坐标，但求参数范围时，注意开区间的端点值不能超过极值.16．对于函数有下列命题：①在该函数图象上一点（﹣2，f（﹣2））处的切线的斜率为；②函数f(x)的最小值为；③该函数图象与x轴有4个交点；④函数f(x)在（﹣∞，﹣1]上为减函数，在（0，1]上也为减函数.其中正确命题的序号是_____.【答案】①②④【分析】求出导数代入-2可得判断①；利用函数的单调性求出极值可判断②④；分别求函数等于零的根可判断③.【详解】x≤0时，f(x)＝2xex，f′(x)＝2（1+x）ex，故f′（﹣2）＝，①正确；且f(x)在（﹣∞，﹣1）上单调递减，在（﹣1，0）上单调递增，故x≤0时，f(x)有最小值f（﹣1）＝，x＞0时，f(x)＝在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增，故x＞0时，f(x)有最小值f（1）＝故f(x)有最小值，②④正确；令得，令得，故该函数图象与x轴有3个交点，③错误；故答案为：①②④【点睛】本题考查导数的几何意义，考查利用导数判断函数的单调性、求函数的最值一定注意定义域.三、解答题17．已知函数.（1）求函数的单调区间.（2）证明：.【答案】（1）在上单调递减，在上单调递增；（2）证明见解析.【分析】（1）求得的函数，根据导数的符号，即可求得函数的单调区间；（2）要证，即要证，分别求得函数的最小值和的最大值，即可求解.【详解】（1）由题意，函数，其定义域为，可得，令，解得；令，解得.所以在上单调递减，在上单调递增.（2）要证，即要证，即证明.令，则.由，解得；由，解得.所以在上单调递减，在上单调递增，.令，则，由，解得；由，解得.所以在上单调递增，在上单调递减，，所以，且等号不同时取得，即成立，所以.【点睛】利用导数证明不等式问题：（1）直接构造法：证明不等式转化为证明，进而构造辅助函数；（2）适当放缩构造法：一是根据已知条件适当放缩；二是利用常见放缩结论；（3）构造“形似”函数，稍作变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数.18．已知函数．（1）当时，求函数的极值；（2）当时，证明：在上存在唯一零点．【答案】（1）极小值0，无极大值；（2）证明见解析.【分析】（1）当时，求导判断单调性即可求出极值；（2）通过构造出一个新函数,讨论新函数的零点以证明原函数零点的唯一性.【详解】（1）当时，，的定义域为，由得，由得，且，∴在上单调递增，在，上单调递减．∴当时，取得极小值，无极大值．（2）证明：当时，．令，则在上的零点即在上的零点，令，则．当时，则，∴在区间上单调递增．又，，∴存在使得，∴当时，，单调递减；当时，，单调递增．又因为，，∴在上存在一个零点，在上没有零点，∴在上存在唯一零点，即在上存在唯一零点．【点睛】函数极值点无法求出时，采用隐零点解决.19．已知函数，．（1）当时，讨论函数的单调性：（2）当时，函数满足：对任意，都有恒成立，求实数的取值范围．【答案】（1）函数在上单调递增，在上单调递减；（2）.【分析】（1）先对函数求导，令求出，根据导数的方法，即可得到函数单调性；（2）先由，得到，由分离参数法方法，将原不等式化为，构造函数，利用导数的方法求出其最大值，即可得出结果.【详解】（1）由题意，∵，，，令，得，所以时，，单调递增，时，，单调递减，所以函数在上单调递增，在上单调递减.（2）当时，由对恒成立，得，设，则，设，则时，，所以在上单调递增，且，，所以函数在上有唯一的零点当时，，，单调递增;当时，，，单调递减，所以时，所以，，，即因为是增函数，所以，，即的取值范围为.【点睛】思路点睛：导数的方法研究由不等式恒成立（或能成立）求参数时，一般可对不等式变形，分离参数，根据分离参数后的结果，构造函数，由导数的方法求出函数的最值，进而可求出结果；有时也可根据不等式，直接构成函数，根据导数的方法，利用分类讨论求函数的最值，即可得出结果.20．已知函数．（1）求函数的单调区间；（2）当时，，记函数在上的最大值为，证明：．【答案】（1）答案见解析；（2）证明见解析.【分析】（1）求导后，对的类型、开口、判别式进行分类讨论可得结果；（2）化简，利用导数求出，从而可得.【详解】（1）由函数的定义域是，则．当时，，此时在区间上，；在区间上，，故函数的单调递减区间为，单调递增区间为．当且时，即时，对任意恒成立，即对任意恒成立，且不恒为0．故函数的单调递减区间为；当且时，即时，方程的两根依次为，，此时在区间，上，；在区间上，，故函数的单调递减区间为，，单调递增区间为；当时，方程的两根依次为，，此时在区间上，；在区间上，，故函数的单调递减区间为，单调递增区间为；（2）证明：当时，，则．当时，，令，则，所以在上单调递增．因为，，所以存在使得，即，即．故当时，，此时；当时，，此时．即在上单调递增，在上单调递减，则．令，，则，所以在上单调递增，则，，所以．故．【点睛】关键点点睛：第（2）问构造函数求导，利用导数求解是解题关键.21．已知函数，，.（1）求的极值；（2）若对任意的，当时，恒成立，求实数的最大值；（3）若函数恰有两个不相等的零点，求实数的取值范围.【答案】（1）极小值为，无极大值；（2）最大值为；（3）.【分析】（1）求出，讨论其符号后可得其极值.（2）结合（1）的结果可知题设的不等式等价于为上的增函数，利用导数可求实数的最大值.（3）先讨论的单调性，结合零点存在定理可求实数的取值范围.【详解】（1），令，得.当或时，；当时，，故为的极小值点，无极大值点，∵，∴的极小值为，无极大值.（2）由（1）可得在为增函数，∵，故等价于，即设，则在为增函数.∴在恒成立.∴恒成立.设，∵在上恒成立∴为增函数，∴在上的最小值为.∴，∴的最大值为.（3）①当时，当和时，，单调递增，当时，，单调递减，所以的极大值为，所以函数至多有一个零点，不合题意，舍.②当时，，在上单调递增，此时至多一个零点，不合题意，舍.③当时，当和时，，单调递增，当时，，单