初中数学不等式总结

【解】设，则，，【解】令，，则柯西或者旁切圆过(1.2)的直线与坐标轴围城的直角三角周长的最值数海拾贝每日一题106旁切圆是最简单的方法了法2【解】令，则【解】令，则当且仅当，即时取等号，即或时，取得最大值。【解】令，则当且仅当，即时取等号，即或时，取得最大值。（广东阳江曾广荣）x=ab<=1/4,t=4+(x+1)^2(x-2)<=4【题】若，求的最大值。【解】由，【解】设，则【解法1】，设，，代入得，【解法2】，，由得，【解法3】，，三条线平行【解】【思路】（1）猜想时取等号，此时；（2）注意到的分母，于是配凑，此时，满足均值不等式的取等条件。（此法若用待定系数法来配凑系数，不好算。）【解】当且仅时，取得最小值。【】【】【解】设，则故选D.【解】设，则在内有两个不同的零点，，则故至少有一个小于1，即至少有一个小于1，故选D.【解法1】，设，，，，，，，，，，【解法2】，，由，得，，，【解法3】，，【解法4】，，[√(a²-1)+√(b²-4)]²=a²+b²-5+2√(a²b²-4a²-b²+4)≤a²+b²-5+2√(a²b²-4ab+4)=(a+b)²-9(a+b)²/[√(a²-1)+√(b²-4)]≥(a+b)²/√[(a+b)²-9]=(t²+9)/t≥6【等号当且仅当a=√2，b=2√2时取得】【解法1】设，由【解法2】令，设，则，令x=u+v2y=u-v换元【题】设为非零实数，且，证明：【解析】(磨光变换即可，办法蛮多，不妨设x>=y>=z,记u=(x+y)/2>=z,知usqr>=1/3,u>=1时知LHS>=5/2,u<1时z=(1-xy)/x+y>=(1-usqr)/2u>0,显然f(x,y,z)>f(x*,y+z,o)=5/2)为使所证式有意义，三数中至多有一个为0；据对称性，不妨设

，则

；

、当

时，条件式成为

，

，

，而

，

只要证，

，即

，也即

，此为显然；取等号当且仅当

．

、再证，对所有满足

的非负实数

，皆有

．显然，三数

中至多有一个为0，据对称性，

仍设

，则

，令

，

为锐角，以

为内角，构造

，则

，于是

，且由

知，

；于是

，即

是一个非钝角三角形．

下面采用调整法，对于任一个以

为最大角的非钝角三角形

，固定最大角

，将

调整为以

为顶角的等腰

，其中

，且设

，记

，据

知，

．今证明，．即

……①．

即要证

……②

先证

……③，即证

，

即

，此即

，也即

，即

，此为显然．

由于在

中，

，则

；而在

中，

，因此②式成为

……④，

只要证，

……⑤，即证

，注意③式以及

，只要证

，即

，也即

…⑥

由于最大角

满足：

，而

，则

，所以

，故⑥成立，因此⑤得证，由③及⑤得④成立，从而①成立，即

，因此本题得证．

【点评】主要是考查了不等式的证明，方法比较多，一般是分析法和作差法构造函数法，属于难题。【证明】，【证法1】当且仅当时等号成立。【证法2】同理，当且仅当时等号成立。设非负实数，，满足，求证：证明：先证左边的不等式.∵，∴再证右边的不等式.不妨设，注意到条件，得，所以，综上，.（1+d）^2方法1：权方和不等式：方法2：大柯西不等式：，则方法3：利用导数：，，，例2：已知，且，则的最大值为（）例3：已知，且，则的最小值为（）【解】(x+8y)(x+8y)(1/x²+1/y²)≥(1+4)³=125赫尔德不等式（广义柯西）【题】已知是非负实数，求证：【证明】【题】已知，求证：【证明】赫尔德不等式1+z=(x²+y²)/(1-z)

∴S=(x²+y²)/[xy(1-z)]+1/z

≥2/(1-z)+1/z

≥(√2+1)²/[(1-z)+z]

【柯西不等式变形】

=3+2√2

等号当且仅当z=√2-1，x=y=√(2√2-2)时成立【题】已知正数满足，则的最小值。【法1】（权方和不等式）【法2】（柯西不等式）【解】当且仅当时，`【解】由柯西不等式得由【解】由柯西不等式得（切线放缩）【解】设，则，，【解】令，，则柯西或者旁切圆过(1.2)的直线与坐标轴围城的直角三角周长的最值数海拾贝每日一题106旁切圆是最简单的方法了法2【解】令，则【解】令，则当且仅当，即时取等号，即或时，取得最大值。【解】令，则当且仅当，即时取等号，即或时，取得最大值。（广东阳江曾广荣）x=ab<=1/4,t=4+(x+1)^2(x-2)<=4【题】若，求的最大值。【解】由，【解】设，则【解法1】，设，，代入得，【解法2】，，由得，【解法3】，，三条线平行【解】【思路】（1）猜想时取等号，此时；（2）注意到的分母，于是配凑，此时，满足均值不等式的取等条件。（此法若用待定系数法来配凑系数，不好算。）【解】当且仅时，取得最小值。【】【】【解】设，则故选D.【解】设，则在内有两个不同的零点，，则故至少有一个小于1，即至少有一个小于1，故选D.【解法1】，设，，，，，，，，，，【解法2】，，由，得，，，【解法3】，，【解法4】，，[√(a²-1)+√(b²-4)]²=a²+b²-5+2√(a²b²-4a²-b²+4)≤a²+b²-5+2√(a²b²-4ab+4)=