2020-2021数学人教版选择性第一册课时2.4.1圆的标准方程

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精2020-2021学年新教材数学人教A版选择性必修第一册课时分层作业：2.4.1圆的标准方程课时分层作业（十六）(建议用时：40分钟)一、选择题1．以两点A(－3,－1)和B（5，5）为直径端点的圆的标准方程是()A．（x－1）2＋(y－2)2＝10B．（x－1)2＋（y－2）2＝100C．（x－1)2＋（y－2）2＝5D．(x－1）2＋（y－2)2＝25D［圆心坐标为（1，2），半径r＝eq\r（5－12＋5－22)＝5，故所求圆的方程为（x－1)2＋(y－2）2＝25.］2．已知三点A(1,0），B(0，eq\r(3）),C（2,eq\r（3)），则△ABC外接圆的圆心到原点的距离为（)A．eq\f（5，3) B．eq\f(\r（21),3）C．eq\f（2\r（5），3) D．eq\f（4,3)B［在直角坐标系中画出△ABC（如图），利用两点间的距离公式可得|AB｜＝|AC｜＝|BC|＝2(也可以借助图形直接观察得出)，所以△ABC为等边三角形．设BC的中点为D,点E为外心，同时也是重心．所以|AE｜＝eq\f(2,3）｜AD|＝eq\f（2\r（3),3),从而|OE|＝eq\r（｜OA｜2＋|AE|2）＝eq\r（1＋\f（4，3））＝eq\f(\r(21),3)，故选B.］3．方程y＝eq\r（9－x2）表示的曲线是（)A．一条射线 B．一个圆C．两条射线 D．半个圆D［y＝eq\r（9－x2）可化为x2＋y2＝9（y≥0），故表示的曲线为圆x2＋y2＝9位于x轴及其上方的半个圆．]4．圆心在y轴上,半径为1,且过点(1,3）的圆的方程为()A．x2＋(y－3)2＝1 B．x2＋(y＋3)2＝1C．(x－3）2＋y2＝1 D．(x＋3）2＋y2＝1A[设圆心坐标为（0，a），∵圆的半径为1,且过点（1,3)，∴（0－1）2＋（a－3)2＝1，解得a＝3，∴所求圆的方程为x2＋（y－3)2＝1.］5．在圆x2＋y2－4x＋2y＝0内，过点M（1,0)的最短弦的弦长为()A．eq\r(5) B．2eq\r(5)C．eq\r(3) D．2eq\r（3)D［圆x2＋y2－4x＋2y＝0，化简为：(x－2)2＋（y＋1)2＝5，点M(1,0）在圆的内部,记圆心为O点，则最短弦长是过点M和OM垂直的弦,OM＝eq\r（2).根据垂径定理得到弦长为：2eq\r（r2－OM2)＝2eq\r（5－2）＝2eq\r(3).故答案为D。］二、填空题6．与圆（x－2）2＋(y＋3）2＝25同圆心，且过点P（－1,2）的圆的标准方程为________．（x－2）2＋(y＋3）2＝34[设方程为（x－2）2＋（y＋3)2＝r2,把点（－1,2)代入并解得r2＝34，故方程为(x－2）2＋(y＋3）2＝34.]7．已知点P（x,y）在圆x2＋y2＝1上，则eq\r（x－12＋y－12)的最大值为________．1＋eq\r(2）[eq\r(x－12＋y－12)的几何意义是圆上的点P（x,y)到点(1，1)的距离,因此最大值为eq\r（2)＋1。]8．M为圆x2＋y2＝1上的动点,则点M到直线l:3x－4y－10＝0的距离的最大值为________．3［圆x2＋y2＝1的圆心O(0,0）到直线3x－4y－10＝0的距离为d＝eq\f(|0－0－10|,\r（32＋－42))＝2，又圆的半径r＝1，故M点到直线l的最大距离为d＋r＝2＋1＝3。］三、解答题9．求下列圆的标准方程：（1)圆心是(4,0），且过点(2，2)；(2)圆心在y轴上，半径为5，且过点（3，－4）；（3）过点P（2，－1）和直线x－y＝1相切,并且圆心在直线y＝－2x上．［解］（1）r2＝（2－4)2＋（2－0)2＝8，∴圆的标准方程为(x－4)2＋y2＝8.（2)设圆心为C（0,b），则（3－0）2＋(－4－b)2＝52,∴b＝0或b＝－8,∴圆心为（0，0)或(0，－8）,又r＝5，∴圆的标准方程为x2＋y2＝25或x2＋(y＋8）2＝25。(3)∵圆心在y＝－2x上,设圆心为（a，－2a），设圆心到直线x－y－1＝0的距离为r。则r＝eq\f(|a＋2a－1|，\r(2）)， ①又圆过点P(2，－1)，∴r2＝（2－a）2＋（－1＋2a)2, ②由①②得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1（a＝1，,r＝\r（2）））或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1（a＝9，，r＝13\r(2）,)）∴圆的标准方程为（x－1）2＋(y＋2)2＝2或(x－9）2＋(y＋18）2＝338.10．若圆C经过坐标原点，且圆心在直线y＝－2x＋3上运动，求当半径最小时圆的方程．[解]设圆心坐标为(a,－2a＋3),则圆的半径r＝eq\r(a－02＋－2a＋3－02）＝eq\r（5a2－12a＋9）＝eq\r（5\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1(a－\f(6,5）))eq\s\up12(2)＋\f（9,5)）。当a＝eq\f(6，5）时，rmin＝eq\f（3\r(5)，5)。故所求圆的方程为eq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1（x－\f(6,5)）)eq\s\up12(2）＋eq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1（y－\f(3，5）))eq\s\up12（2)＝eq\f(9,5).11．（多选题)下列各点中,不在圆（x－1)2＋(y＋2）2＝25的外部的是（)A．（0,2) B．(3,3)C．(－2，2) D．(4,1)ACD［由(0－1)2＋（2＋2）2＜25，知(0，2）在圆内；由（3－1)2＋（3＋2)2＞25知(3，3)在圆外；由(－2－1）2＋(2＋2)2＝25知（－2，2）在圆上，由(4－1）2＋(1＋2）2＜25知（4，1）在圆内，故选ACD.］12．设P是圆(x－3）2＋(y＋1)2＝4上的动点，Q是直线x＝－3上的动点，则|PQ|的最小值为()A．6 B．4C．3 D．2B［圆的半径r＝2.圆心(3，－1)到直线x＝－3的距离为6,∴|PQ｜的最小值为6－r＝6－2＝4,故选B。］13．（一题两空)已知A，B两点是圆x2＋（y－1)2＝4上的两点，若A，B关于直线x＋ay－3＝0对称，则a＝________;若点A，B关于点（1，2）对称，则直线AB的方程为________．3x＋y－3＝0［圆x2＋(y－1）2＝4的圆心C的坐标为(0,1）,若A,B关于直线x＋ay－3＝0对称,则直线经过圆心(0,1),∴a＝3。又若圆x2＋(y－1)2＝4上存在A，B两点关于点P（1，2）中心对称,则CP⊥AB，P为AB的中点，∵kCP＝eq\f（2－1，1－0）＝1，∴kAB＝－1，∴直线AB的方程为y－2＝－(x－1)，即x＋y－3＝0。]14．圆C：(x－3）2＋(y＋4）2＝1关于直线l：x－3y－5＝0对称的圆的方程是________．（x－1)2＋(y－2)2＝1[由（x－3）2＋(y＋4）2＝1知圆心为C（3，－4）,半径r＝1。设圆C关于直线l:x－3y－5＝0对称的圆C′的标准方程为（x－a)2＋（y－b）2＝r′2，则eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1（\f（b＋4,a－3）＝－3，,\f(a＋3,2）－3×\f（b－4,2)－5＝0，，r′＝1，)）解得eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1(a＝1，，b＝2，,r′＝1，））故所求圆的方程为(x－1)2＋(y－2）2＝1.］15．若动点P在直线a：x－2y－2＝0上，动点Q在直线b：x－2y－6＝0上,记线段PQ的中点为M（x0，y0）,且（x0－2)2＋（y0＋1）2≤5，求xeq\o\al(2，0）＋yeq\o\al（2,0）的取值范围．[解］∵动点P在直线a:x－2y－2＝0上,动点Q在直线b：x－2y－6＝0上，直线a:x－2y－2＝0与直线b:x－2y－6＝0互相平行，∴PQ的中点M在与a,b平行,且到a，b距离相等的直线上．设该直线为l，方程为x－2y＋m＝0。由eq\f（｜m＋2|，\r（5))＝eq\f（|m＋6｜，\r(5)），解得m＝－4，则该直线l的方程为x－2y－4＝0.∵线段PQ的中点为M(x0，y0），且（x0－2）2＋(y0＋1）2≤5,∴点M在圆C：(x－2)2＋(y＋1）2＝5内部或者在圆C上．∴设直线l交圆C于A，B，可得点M在线段AB上运动．∵xeq\o\al（2，0)＋yeq\o\al(2,0）＝｜OM｜2，xeq\o\al(2,0）＋yeq\o\al（2,0）代表的几何意义为线段上的点到原点的距离的平方，∴xeq\o\al(2,0)＋yeq\o\al(2，0）的最小值为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1（\f（|－4|，\r（1＋4）))）eq\s\up12(2)＝eq\f（16，5)，OA为最大值，联立eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1（x－2y－4＝0，,x－22＋y＋12＝5，)）可得A(4，0），B（0，－2）．当M与A重合时,x