向量线性运算及四心综合归类高考数学一轮复习题型归纳与变式演练（全国通用）（解析版）

专题5・2向量线性运算及四心综合归类

目录

一、热点题型归纳

【题型一】基底就是坐标轴..............................................................1

【题型二】基底拆分：绕三角形..........................................................4

【题型三】基底拆分：待定系数型........................................................6

【题型四】基底拆分：均值不等式求最值型...............................................8

【题型五】基底拆分：求最值型.........................................................10

【题型六】三角换元型..................................................................13

【题型七】等和线型....................................................................17

【题型八】极化恒等式.................................................................20

【题型九】奔驰定理...................................................................22

【题型十】四心与向量1：重心.........................................................24

【题型H-1四心与向量2：外心.......................................................26

【题型十二】四心与向量3：内心.......................................................28

【题型十三】四心与向量4：垂心.......................................................30

【题型十四】向量点落在区域内.........................................................32

【题型十五】向量超难压轴小题.........................................................35

二、真题再现..........................................................................39

三、模拟检测..........................................................................44

【题型一】基底就是坐标轴

【典例分析】

.(2022・广东深圳•高三阶段练习)在AABC中，。为边3c的延长线上一点，且阮=3万,

记AB=a,AC=B,则^5=()

,1—2-

A.—ciH—bB.—a—b

3333

4-1-2-1

C.-a——bD.——Q+一力r

3333

［答案］A

【5析】根据题意，利用的向量的线性运算可得

AD=AB+BD=AB+-BC=AB+-（AC-ABj,即可得解.

【详解】

方法一：基础拆解法：

——►——4—.—4/—►—\1—4—-I一4一

AO=A8+B£>=A8+—8C=A8+—AC—48=——A8+—AC=——a+-b,

33、,3333

故选：A.

方法二：坐标轴法，由题意可得如图，显然再第二象限，所以系数是"，+）且y方向分向

量的模大于1,故选S

【提分秘籍】

基本规律

在平面向量的线性运算中，如图近=x6X+y而，x,y的范围可仿照直角坐标系得出，

0A,丽类比于x,y轴，直角坐标系中有四个象限，类比在（0,翁，丽）中也有四个象限,

如第I象限有,第n象限有,第ni象限有；；,第w象限有，也

可类比得出其中的直线方程，二元一次不等式组表示的平面区域等等.

在平面内，有公共原点且互相垂直的两条数轴构成平面直角坐标系，同样地，在平面内

有公共原点且不垂直的两条数轴构成的坐标系，我们称之为“斜坐标系”.如图，在斜坐标

系中，两条坐标轴的公共原点称为斜坐标系的原点，其坐标记为（o,o）,点尸是斜坐标系

xoy中的任意一点，与直角坐标系相类似，过点p分别作两坐标轴的平行线，与*轴、y

轴交于点M、N,若M、N在X轴、y轴上分别对应实数4、b,则有序数对（a，b）叫做

点P在斜坐标系X。），中的坐标，记为P（a,。）.若点44多）、仇七,）?）是斜坐标系xOy

9Oy=。）中任意两点.

【变式演练】

1.（2022•广东•高三开学考试）在平行四边形A8C7）中，点E、尸分别满足诙=g反\

而=；而，若丽=£,AD=h.则丽=（）

5-3r„11-5r〃13-3y19-5

A.—a——bB.—a——bC.—a——bD.—a——br

124124124124

【答案】A

【分析】结合向量加法法则与减法法则运算求解即可.

【详解】解：基础解法

因为在平行四边形ABCD中，点E、尸分别满足瓦=g配，BF=^FD,

所以而=/_荏=（而+乔）_（而+函，而=；而=；（而一砌=张_£）,

所以际=-（石+：£）=卷［-:尻故选：A

DEC

方法二：坐标轴法.

如图，建立坐标系。则前=力后=而，显然处于第四象限，坐标是（+,-）,分向量的

模都小于1,并且x分向量的模小于1/2,故答案是A

2.（2022.广东.广州市真光中学高三开学考试）如图，在AABC中，BD=2DC,

UUUUUUUL1U1m

AD=mAB+nAC>则一=（）

BD

112

A.—■B.-C.-D.2

233

［答案］A

【1■析】根据平面向量基本定理，平面向量的线性运算即可求解.

【详解】解：

方法一：基础解法

•••在A/WC中，BD=2DC,则通-而=2（/一瓦）.♦.而=g而+又

LlllUUUUUUIU

AD=mAB+nAC，

/.w=-,n=—,,故选：A.

33n2

方法二：坐标轴法

如图，作坐标轴平行线，可得E为三等分点（近C）,F为三等分点（近A）,故m为l/3,n

为2/3,所以答案为A

【题型二】基底拆分：绕三角形

【典例分析】

（2022•全国,高三专题练习）如图，在平行四边形A8C。中，对角线AC与8。交于点。，且

前=2痔则丽=（）

1—.5—>5—-1--5—►1—►

A.-AB——ADB.-AB+-ADC.-AB——ADD.-AB+-AD

66666666

【答案】C

【分析】根据平面向量线性运算法则计算可得;

【详解】

方法一：因为的=2荏，所以通=:而=，/=，（布+而）,

所以丽=而_通=而_，（通+而）=3通而.。故选：C.

6',66

方法二：绕三角形法

丽石+丽=一软+通7港+丽+福=1福—广

【提分秘籍】

基本规律

一部分基础不太好的同学，对于利用基底基础定理求解推导掌握的不是太顺利，可以把

这个简化为“绕三角形”：标记出基底（共起点），然后把要求的向量按照三角形法则来

推导。

«.»三角形法则一共线（拉长或者缩短）T三角形法则T共线（拉长或者缩短）。。。。周

期反复，一直到推导为基底。

【变式演练】

1..（2022•全国•高三专题练习）如图，口488中，AB=a，而=3，点E是4c的三等分

点（EC=gAC）,则诙=（）

12-21-12-2r1r

A.—a——hB.—a——bC.—a+—bD.—a+-b

33333333

【答案】B

【分析】根据向量的加法法则和减法法则进行运算即可.

【详解】!)E^AE-Ab^-AC-Ai5=-(AB+Ai5')-AD^-a——b

3333

故选：B.

__22___

2.(2023•全国•高三专题练习)在平行四边形ABC。中，AE=-AB,CF=-CD,G为EF的

中点，贝IJ方否=()

A.-AD--ABB.-AB--AD

2222

3—•1―-3—►1—•

C.-AD——ABD.-AB——AD

4242

【答案】B

【分析】根据题意和平面向量的线性运算即可得出结果.

［详解］砺=:诙+;而=;停+码+兴觉=娶而+|丽卜:前毛通一^而.

故选：B.

3.在448c中，G为ZMBC的重心，M为4C上一点，且满足祝=3而，则（）

...,11，，■*....1、1»

A.GM=-AB+-ACB.GM=--AB--AC

312312

一，•17■，.一，…1一，17，，》

C.GM=--AB+—ACD.GM=-AB--AC

312312

山东省滨州市2019届高三第二次模拟（5月）考试数学（理）试题

【答案】B

【分析】

根据三角形重心的性质，结合向量的加法和减法即可判断结论。

【详解】由题意，画出几何图形如下图所示：/人根据向量加法运算可

一一，小

得丽=GA+AM

因为G为4ABC的重心,M满足砒=3宿所以而=|xg（荏+而）=：（近+^，俞=

-AC

4

所以前=-0南+工尼）+工前=--AB--AC所以选B

\33/4312

【题型三】基底拆分：待定系数型

【典例分析】

（2022•全国•高三专题练习）在梯形A8CC中，A8//CD且A8=4C£>,点尸在边BC上，若

—.2―­-.

AP^-AB+AAD,则实数4=（

A/B2

D-.

55

【答案】A

【分析】延长AD、CB交于点E,根据三点共线的推论得到而=:通+：而，再根据梯

形上下底的比例关系，即可得到AE=1AO,代入即可得解；

【详解】解：延长A。、CB交于点、E，则8、P、E三点共线，于是可得而=1通说，

—.4—•

因为A3〃8且A8=4C£>,所以AE=-A。，

—.2—■342—4—4

所以AP=-AB+-x—AO=-AB+—A。，故4=一；

553555

E

故选:A

【提分秘籍】

基本规律

平面向量基本定理（平面内三个向量之间关系）:若I、l是同一平面内的两个不共线向量,

则对于这一平面内的任一向量3,有且只有一对实数4、4,使£=41+%

（1）选定基底，则4、%,是唯一的

（2）处理技巧：可“绕三角形”，可待定系数，可建系。

【变式演练】

1.（2022・全国•高三专题练习）如图，在AABC中，AD=WC，E是BD上一点,若

―►11—1一

AE=-AB+-AC,则实数2的值为（）

164

—2+1——►11—1—.

【分析】由而=%比，得AC=WA。，代入=+中，再由以民。三点共

2164

线，列方程可求出实数％的值

【详解】因为通=2反，得AC=—AQ,因为AE=9A8+；AC,所以

2164

—.11—.12+1—.

AE=-AB+---—AD,

1642

因为三点共线，所以11+与1=1,解得；1=4,故选：B

1644

2.（2020.四川.模拟预测（理））在4A5C中，AD=DC,0是线段B£）上一点，若

丽=加而+1而，则实数m的值为（）

【答案】c

【分析】利用平面向量线性运算法则得AP=mAB+tAO,再利用三点共线定理求解即可.

【详解】在△ABC中通=觉，丽="，通+,/=相通+1而，是线段BO上一

63

点，

19

=l,则m=一.故选：C.

33

3.如图，四边形ABCD是平行四边形,E是的中点，点F在线段CD上，且CF=2DF,

AE与8户交于点P,若而=4AE,则4=（）

【答案】A

【分析】设出AP=〃?A6+(l-/〃)AF=/〃A8+(l-/〃)(AQ+OF"),求得

Q=3詈而+（］一心）而，再利用向量相等求解即可

【详解】连接AF，因为B,P,F三点共线，所以

AP=mAB+AF=mAB+（^l-m）^AD+DF^,

因为CF=2DF,所以加=，加=］而，所以Q=^-AB+(l-m)AD.

33

因为E是BC的中点，所以荏=通+,而=福+’而.因为Q=%荏,

22

2m+1勺

------=A

、V3

所以3V2人则I2,解得4.故选:A

【题型四】基底拆分：均值不等式求最值型

【典例分析】

（2023・全国•高三专题练习）如图，在AABC中，£>是线段BC上的一点，且配=4而，过

点。的直线分别交直线A8,AC于点M,N,若丽？=/1而，丽=〃正（2>0,〃>0）,

则4-'的最小值是（）

A

A.2>/3-2B.28+4C.2>/3-4D.273+2

【答案】C

31

【分析】根据平面向量基本定理，以及三点共线，可确定4〃的关系，即+丁=1，可

13

得4一一=2+--4,再利用基本不等式求最值即可.

〃x

1121

【详解】由条件可得而=丽+丽=而+疝1=通+^（/-通）=（而+^^，

•.•府=2通,而=〃由>。,">。,，而=白说+七而，因为MQN三点共线，

311313

—=1,/.-=4--,v2>0,//>0-=4-->0,

424〃//2//2

/.A>—,则4----=4—（4।=H------422>/3—4；

4〃IK%

31

当且仅当九=。即4时取等号，故义一7的最小值是2&-4；故选：C.

【提分秘籍】

基本规律

利用向量基底理论，求出“和定”或者“积定”，再用均值不等式技巧求出最值和范围

【变式演练】

1.（2022•全国•高三专题练习）如图，在AABC中，M,N分别是线段A3,AC上的点，且

21__________

AM=-AB,AN=]AC,£）,E是线段BC上的两个动点，且AO+AE=xAAf+yA/V（x,yeR）,

则的的最小值是（）

%y

34

【答案】B

UUUUIU1UUU1r..

【分析】根据平面向量共线定理可设A0="?A8+/MC，6+及=1，AE=AAB+pAC,

4十〃=1,再结合AO+AE=xAM+yAN得2x+y=6,最后运用基本不等式可求解.

UUI1milUUU_______________

【详解】设AO=〃?A8+〃AC，m+n=\,AE=AAB+JJAC,4+4=l,

则通+通=机而++而+〃/=

(机+/l)A8+(〃+〃)4C=m(m+4)AM+3(〃+〃)A/V=xAM+yAN,-|(/??+A)=x,

2]21

3(〃+〃)=y=>〃z+4=§冗，n+p=-yfm+A+n+jj=2^>—x+—y=2^>2x+y=6.

所以』+2=：(2》+>)[工+2]=；(2+2+工+土]4；(2+2+2/^^]=：,

xy6y)6kx〃6(Vy)3

3

当且仅当x==,y=3时等号成立.

2

所以1+2的的最小值是:.故选：B

xy3

2.（2022•全国•高三专题练习）在AABC中，点F为线段BC上任一点（不含端点），若

_______J2

AF=xAB+2yAC（x>0,y>0）,则1+7的最小值为（）

A.9B.8C.4D.2

【答案】A

【分析】根据向量共线定理得推论得到x+2y=l,再利用基本不等式“1”的妙用求解最小值.

【详解】因为点尸为线段BC上任一点（不含端点），

所以x+2y=l,

12（12\[2y2x._l2y2x_

故一+—=—+—（x+2y）=l+—+—+425+2———=9,

xy{xy）xyNxy

2v2xI

当且仅当上=一，即x=y=-时等号成立，故选：A

x）'3

3.（2022.河南许昌.三模（文））在AABC中，点。在品上，且满足忸。=；忸。，点E为

12

AD上任意一点，若实数x,y满足BE=xBA+yBC,则q+’的最小值为（）

A.2及B.40

C.4+273D.9+4亚

【答案】D

【分析】先根据共线向量定理的推论，三点共线的结论可得，x+4y=l,再根据“1”的代换

即可求出.

【详解】因为|明=；忸。，^^BE=xBA+yBC,^PBE=xBA+4yBD.

由AE,。三点共线可得x+4y=l,且x>0,y>0.

所以，+2=12(x+4y)=9+2曳29+2花=9+40,

*y

2及-I

X-------------

7

当且仅当x=VJy,即,'时取等号.故选：D.

4-V2

y=-------

14

【题型五】基底拆分：求最值型

【典例分析】

.在平行四边形ABC。中，AB=C，AD=2,NA=135。，£E分别是AB,A。上的

点，且亚=X通，通=〃而，（其中4〃e（O,l））,且42+〃=1.若线段历的中点

为M，则当|再q取最小值时，，■的值为（）

A.36B.37C.38D.39

【答案】B

【分析】

利用I旗卜J肃，结合向量线性运算、数量积运算，以及44+4=1,求得当4,4为何

值时।而4取得最小值，进而求得，的值.

【详解】

依题意可知福•而=|丽,而|-051350=-2,MC^AC-AM

而2+2(l——•荏•而+[—IS2①由于

4丸+〃=l,〃=l-4/l,所以①可化为J^■22-/l+l②，根据二次函数的性质可知，/<0,

j=_=_L37u

当C4141时，②取得最小值，此时〃=1-42=—，所以匕=37.故选：B

2,y412

【提分秘籍】

基本规律

1.基底拆分，可得系数和定值（实质是“等和线”）

2.也建系设点三角换元等

【变式演练】

1如图，在AOMN中，4、8分别是。加、呐的中点，若。户=》砺+》0耳（》，yeR）,

且点P落在四边形ABNM内（含边界），则'+二的取值范围是（）

x+y+2

P

M

33]_2

A.11D.

3?33；44,4453

【答案】C

【解析】

分析：利用平面向量的线性运算，得出满足的不等关系，再利用线性规划思想求解.

详解：由题意，当尸在线段A3上时，x+y=l,当P点在线段MN上时，x+y=2,：.

x+y>1

i

x+y<2y+i

当尸在四边形内(含边界)时，(*),又x+y+2£+1>作出

x>0+

y+i

y>0

不等式组(*)表示的可行域，如图,

y+1,0-(-1)1

2—表示可行域内点(x,y)与尸(一1,一1)连线的斜率，由图形知即8==彳，

x+l2c-(;-1二)3

L1<3

,2—(-1).1y+11x+]

kpc=---------=3,即一W-——<3,一W-----«3,4x+1।]4,

0-(-1)3x+13y+1

y+i

故选C.

__3________

2.在AABC中，点。满足当E点在线段上移动时，若通=4通+

则1=(2-”的最小值是()

【答案】C

【解析】

【分析】如图，存在实数机使得荏=加莅(OWmWl),

E通+丽=旗+浮=通+（因一羽4瓶+（痔

.m

X=—

='荏+网衣，所以.4

所以AE=哈福+部

443m

〃F

m

原式1=（4-1）一+）=

~4

2

m=­

当5时,

3.设向量Ok=（x+2,/_&cos2a）,OB=（y,"1+sinacosa）,其中x,y,a为实数,

—•—•x

若04=205,则一的取值范围为（）

y

A.[-6,1]B.[-1,61C.[4,8]D.（fl]

【答案】A

【解析】

试题分析：由次=2漏，得｛'，整理彳

x一。3cos2a=y+2sinacosa

x=2y-2

<2（〃、，由％2-y=2sin|2a+工]得-2Kx之一》<2,又x=2y・2,

x-y=2sin2a+—13）

、v3）

则-244（y-l）2-yW2,卷：；；篇叫，2,而土=苴二22—2

yyy

x

故-6W-W1,即选A.

y

【题型六】三角换元型

【典例分析】

在直角梯形A8C。中，AB±AD,AD/IBC,AB=BC^2AD=2,瓦口分别为BC,

C。的中点，以4为圆心，AD为半径的圆交A3于G,点尸在弧。G上运动（如图）.

若才户=4通+户，其中2,则62+〃的取值范围是（）

c.[72,272]D.[2,2立

【答案】D

【分析】

建立如图所示的坐标系，则A(0,0),B(2,0),D(0,1),C(2,2),E(2,1),F(1,

冗______

1.5),P(cosa,sina)(0<a<—),由^^二入^^+口^^得，(cosa,sina)=X(2,1)+(i

3

(-1,-),X,p用参数a进行表示，利用辅助角公式化简，即可得出结论.

【详解】

解：建立如图所示的坐标系，

则4(0,0),B(2,0),D(0,1),C(2,2),E(2,1),F(1,1.5),

兀

P(cosa,sina)(()<a<—),

2

___3

由A户=入AE+N得，(cosa,sina)=X(2,1)(-I,—)

3

=>cosa=2X-|i,sina=A+—//

、31.1.1

=>X=-cosa+—sina,u=—sina——cosa

8424

31.1.1L71

6k+u=6(—cosa4-—sina)-V—sina——cosa=2(sina+cosa)=2J?sin(ad——)

84244

乃「乃3%]冗y/21

兀

；.2点sin(a+—)6[2,2&],即6入+n的取值范围是[2,272].

故选D.

【提分秘籍】

基本规律

利用向量几何意义等知识转化为圆的概念和方程，再用圆的参数方程进行三角代换，可

达到化繁为简的目标

【变式演练】

1.在矩形ABC。中，AB=3,AO=4,点P是以点C为圆心，2为半径的圆上的动点，设

UUUUllUULUU

=4A。，则4+〃的最小值为（）

78

A.1B.-C.2D.-

63

【答案】B

【分析】

以A为坐标原点，建立平面直角坐标系，写出圆的方程，利用三角换元，结合向量的线性

运算，将问题转化为三角函数的最值求解，即可求得结果.

【详解】

如图，建立平面直角坐标系，故可得C（3,4）,A（0,0）,5（3,0）,D（0,4）,

故点尸在圆C:（x—3）2+（y—4『=4上,

设P(2cos6+3,2sin6+4),AB=(3,0),AD=(0,4),

UUUUUUULUU2cos6+3=34

又=+所以，

2sin9+4=4〃

2157

从而X+〃=—cos6+—sin9+2=—sin(e+°)+22—,

3266

故选：B.

__3

2.若向量B是不共线的两个向量，2£-3万与几。+〃坂共线，当几＞0时，的最

小值为（）

A.4B.2C.D.空

22

【答案】A

【分析】

利用平面向量共线定理求出4,M的关系式，再利用基本不等式：积为定值，和有最小值即

可求解.

【详解】因为2£-36与/^+〃刃共线，由平面向量共线定理可知，万=」!，

33297

所以〃=——A,所以2/1一—=2/1+—,因为；1>0,所以22+*2212/1-*=4,

2〃/12V2

当且仅当2/1=二，即4=1时等号成立.故选：A

A

3,已知放△ABC,AB=3,BC=4,G4=5,P为△ABC外接圆上的一动点，且

丽=七市+)，配，则的最大值是()

【答案】B

【分析】

以AC的中点为原点，以4c为X轴，建立如图所示的平面直角坐标系，设P的坐标为

(|cosa|sin。)，求出点A,B,C的坐标，根据向量的坐标和向量的数乘运算得到

x+y=2sin(6+9)+2，根据正弦函数的图象和性质即可求出答案.

62

【详解】解：以AC的中点为原点，以AC为x轴，建立如图所示的平面直角坐标系，

则△ABC外接圆的方程为W+丁=§)2,设2的坐标为仁cos《sin可，

412

过点8作8。垂直x轴，:sinAuy,AB=3：.BD=ABsinA=y,

39

AD=AB-cosA=一x3=—,

55

597

：.OD=AO-AD=------=—,：.B

251010'5J

__/g12A__(555

/.AB=,AC=(5,0),-cos6>+-,-sin6>

<55y1222

9<12、

'：AP^xAB+yAC—cos^+—，一sin。+y(5,o)=产5y,R

222

.•.*cose+3=2x+5y,-sin^=—x,/.^=-cos^--sin^+-,x=—sin^,

225-2528224

1215134

x+^=—cos^+—sin^+—=—sin(^+^)+—,其中sin/=—,cos°=一

当sin(，+°)=1时，％+y有最大值，最大值为■1+：==,故选

623

【题型七】等和线型

【典例分析】

（2023•全国•高三专题练习）如图，边长为2的等边三角形的外接圆为圆。，P为圆。上任

一点，若丽=+则2x+2y的最大值为（）

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A.-B.2C.-D.1

33

【答案】A

【分析】等和线的问题可以用共线定理，或直接用建系的方法解决.

作BC的平行线与圆相交于点P,与直线AB相交于点E,与直线4C相交于点F,

设汨5=力亚+〃而，则几+〃=1,

APApd

••,BC//EF,；.设空=d=%,则《e[0,为

ABAC3

：.AE=kAB,AF=kAC,AP=A.AE+^iAF=AkAB+ykAC

••x—2k,y~~〃氏

Q

A2x+2y=2(义+〃)％=故选：A.

3

【提分秘籍】

基本规律

等和线原理：0A=/t03+〃OC,(/lwA)。4+〃=1

__._.__r,OF

OF=A,0B+/.IOC,(AG7?)<=>A+//=m,贝！Jm=——

【变式演练】

1.如图，延长正方形A3C。的边CO至点E,使得OE=CD,动点尸从点A出发，沿正方形

AP=4A豆+nAE，则下列判断正确的是（

的边按逆时针方向运动一周后回到点4,若)

A.满足2+"=2的点尸必为BC的中点

B.满足2+〃=1的点尸有且只有一个

C.满足2+"=3的点P有且只有一个

3

D.义+“=5的的点P有且只有一个

【答案】C

【分析】

建立坐标系，讨论PGA3，PGBC.PGCD,PwAD四种情况，出4+〃的范围，再

判断每个选项的正误，即可得出结果.

【详解】

AP=AAB+/zAE=a-/z)AB+//AD=(/l-x/)(l,O)+x/(O,l)=(^-//,//),

动点P从点A出发，沿正方形的边按逆时针方向运动一周回到A点，

当尸eAB时，有—口〃=0,二。这;IW1,+

当尸时，有九一〃=1且则之=〃+1,.•JV/l42,...142+〃<3,

当尸e8时，有—且〃=1，则〃+二1WXW2,.••2VX+〃43,

当尸eAD时，有4一〃=0且OW〃W1,则X=〃，...OWaWl,+

综上，0<丸+〃<3,

选项A,取2=〃=1,满足4+〃=2,此时AP=AB+AE=AD，因此点尸不-一定是BC

的中点，故A错误；

选项B,当点尸取8点或AD的中点时，均满足；1+4=1,此时点尸不唯一，故B错误；

选项C,当点尸取。点时，九一〃=1且〃=1,解得4=2,X+〃为3,故C正确；

3

选项D,当点P取BC的中点或的中点时，均满足4+4=/，此时点尸不唯一，故D

错误；

故选：C.

2.如图，AABC中，AD=DB,AE=EC,CD与BE交于F,设A%=G，A2=5，

f2f21TT1ff11—

AF=-AM=-x-(AB+AC)=-(AB+AC)=-a+-b

332333

1

x=—

3则（x,y）为[g[；故答案选A

又AF-xa+yb«

1

y=一

3

3.如图，在边长为2的正六边形A6CDE/中，动圆Q的半径为1,圆心在线段CD（含端

点）上运动，P是圆Q上及内部的动点，设向量AP=/nAB+aAR（m,〃为实数）,

则加+〃的取值范围是（）

A.(1,2]B.[5,6]C.[2,5]D.[3,5]

【答案】C

【解析】以A为坐标原点，AB所在直线为x轴建立直角坐标系，则

B（2,0）,F（-l,V3）,oe：（x-«）2+（y+V3a-4V3）2=l,（2<a<3）

所以尸（2/〃一〃,6〃），即（2/w-〃一a）~+（6〃+<1

2/w-〃-a=rcos8,G〃+>/^a-4石=rsin^,re[O,l]

a+rcos03（4-。）3rsin。.（八兀）/,人cire门

tn+n=-----