突破2023年高考数学题型之2022年数学高考真题(全国通用)专题04 平面向量问题(解析版)

专题04平面向量问题

【高考真题】

1.（2022•全国乙理）已知向量8满足同=1,向=小，|。-2加=3,则a仍=（）

A.-2B.-1C.1D.2

1.答案C解析\'\a-2b\2^\a\2-4a-b+4\b\2,又：|a|=l,\b\=y[3,\a-2b\=3,：.ab=l.故选C.

2.(2022•全国乙文)已知向量a=(2,1),/>=(-2,4),贝加一"=()

A.2B.3C.4D.5

2.答案D解析因为。一》=（4,-3）,,所以|a—加=5.故选D.

3.（2022•全国甲理）设向量a,b的夹角的余弦值为/且|a|=l,|回=3,则（2a+》）Z>=.

3.答案11解析设a,b的夹角为6,因为。与。的夹角的余弦值为W，即cos6=；,又|a|=l,|。|=3,

所以。力=|即b|cos6=l,所以（2°+））力=20。+|力|2=11.故答案为11.

4.（2022•全国甲文）己知向量〃=（加，3）,力=（1,加+1）,若则m=

333

4.答案一］解析由题意知m+3（m+1）=0,解得〃?=一『故答案为一

5.（2022•新高考I）在△A8C中，点。在边A8上，BD=2DA.记己=机，CD=n,则游=（）

A.3m—2nB.-2m+3?iC.3m+2nD.2m+3n

5.答案B解析因为点r>在边AB上，BD=2DA,所以丽=2法，即&一史=2（之一3）,

所以屈=3而-2以=3〃-2相=一2m+3儿故选B.

-►2-41-A-A-►-A

爪子定理如图1,CD^CA+^CB,所以CB=3CD—2cA=3"—2/n=—2/n+3”.故选B.

-n.没答案.

6.(2022•新高考H)已知向量a=(3,4),Z>—(1,0),c—a+tb,若<a,c>~<b,c>,则f=()

A.-6B.-5C.5D.6

6.答案C解析c=(3+r,4),cos<a,c>=cos<b,c>,即解得，=5,故选C.

D|C|KI

7.(2022•北京)在△ABC中，AC=3,8c=4,ZC=90°,P为△ABC所在平面内的动点，且PC=1,

则万.两的取值范围是（）

A.[—5,3]B.[-3,5]C.[—6,4]D.[-4,6]

7.答案D解析依题意如图建立平面直角坐标系，则C(0,0),43,0),5(0,4),

因为PC=1,所以尸在以。为圆心，1为半径的圆上运动，设尸(cos仇

sin。)，夕£[0,2兀]，所以=(3—cos。，-sin。)，P3=(—cos夕4—sin。)，所以B4・P3=(—cos9)(3—cos。)

3

+(4—sin0)(-sin^)=cos20—3cos0—4sin^+sin20=1—3cos0—4sin0=1—5sin(0+q)),其中sin(p=g,cos(p

4_>—

=5,因为一lWsin(6»+(p)Wl,所以一4Wl-5sin(8+(p)W6,即RVP3£[-4,6],故选D.

极化恒等式法设A8的中点为M,连接CM,则|加|=|,即点M在如图所示的圆瓠上，则豕期

=|两一物两2-£|CMT)2一争=-4.荷.丽=|丽J硒2=|丽|2一亨W(|CW|+1)2-苧

1.平面向量基本定理

如果6，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a,有且只有一对实数

九，22，使0=九0|+几202.若ei，e2不共线,我们把3,02｝叫做表示这一平面内所有向量的一个基底.

2.向量a与b的夹角

已知两个非零向量a,b,0是平面上的任意一点，作'=a,OB=b,则乙4。3=。(0・。或兀)叫做向

TT

量a与b的夹角.当9=0时，a与1同向;当。=兀时，a与b反向.如果a与6的夹角是我们说a与

b垂直，记作a，b.3.平面向量的数量积

(1)若a,b为非零向量，夹角为仇则。山=㈤向cos0.

(2)设a=(x”>i),6=(X2，)2)，则44=©囚+丫1丫2.

4.两个非零向量平行、垂直的充要条件

若。=(用，yi),b=g，")，则

(1)。〃)aa=#0)<=>xiV2X2Vi=0.

(2)a_L=0=同“2+川)2=°・

5.利用数量积求长度

（1）若a=（x,y）,则⑷=7/+/

（2）若AQ],yD，B（X2，丫2），则|A8|——>+。2—yi>.

6.利用数量积求夹角

a・bxim+yi”

设。，力为非零向量，若（，）及），6为a与b的夹角，则0—

Q=xi»,b=3,cos团臼d肥+行同3+强

【常用结论】

1.“爪”子定理

形式1：在"BC中，。是BC上的点，如果质f,四尸〃，则病=品正十熹两,其中很

AB,公知二可求一.特别地，若。为线段8c的中点，则劝祀+砌.

形式1形式2形式2：在AABC中，。是BC

上的点，且前=入求，则戏>=流+（1—入）成，其中戏），AB,公知二可求一.特别地，若。为线段8C

的中点，则动=；（企+屈）.

形式1与形式2中元与初的系数的记忆可总结为：对面的女孩看过来（歌名，原唱任贤齐）

2.极化恒等式三角形模式

如图，在AABC中，设。为BC的中点，则屈•祀=|AOF-|BD|2.三角形模式是平面向量极化恒等式

的终极模式，几乎所有的问题都是用它解决.BC

记忆：向量的数量积等于第三边的中线长与第三边长的一半的平方差.

【同类问题】

题型一向量的线性运算

1.（2015•全国I）设。为△ABC所在平面内一点，BC^3CD,则（）

A.AD——jAB+^ACB.AD=^AB—^AC

C.AD=^AB+^ACD.AD=^AB—^AC

1.答案A解析AD=AC+CD=AC+^BC=AC+^AC-AB)=^AC-^AB=-^AB+^AC,故选A.

2.(2014•全国I)设。，E,F分别为"BC的三边8C,CA,AB的中点，则m+&?=()

A.ADB.5ADC.BCD.^BC

2.答案A解析EB+FC=^(Ah+CB)+^(AC+BC)=^AB+AC)=Ab,故选A.

3.(2018・全国I)在AABC中，AQ为BC边上的中线，E为A。的中点，则防=()

1313

--屈

A-十-

44D.44

3.答案A解析是4D的中点，.,.或=-3在，；♦或=或+辐=一;助+屈，又知。是BC的

中点，.，.#=；（初+竟），因此筋=—"（屈+公）+显君一拓t.

4.在平行四边形A8CD中，E,尸分别是8C,CD的中点，OE交AF于//,记显，求分别为a,b,则油

B.|a+$C.一|。+$r2

D.ya

4.答案B解析如图，过点尸作BC的平行线交。E于G,则G是。E的中点，且群=；爱=:就,

...办=演，易知xAHDs^FHG,从而苏=；科，，初=渺，#=初+#,=6+%,...m=*8+ga）

24

=5a+5h,故选B.5.(多选)在△4BC中，D,E,尸分别是边BC,CA,AB的中点，AD,BE,CF交于

点G,则()

A.#=的一标B.星=一演+减C.Ab+Bk=FtD.GA+G^+Gt=0

5.答案CD解析如图，因为点。，E,尸分别是边8C,CA,A8的中点，所以济=；费=一：比,

故A不正确；旗=比+仍=尻?+权说'+：（■+或）=此一;就一；B=—1油+；比，故B不正

确；是=祀一#=劝+皮+成=⑰+3觉+成=助+助+成=弱+彷+就+成=力+就，故c

o277171

正确；由题意知，点G为AABC的重心，所以W&+就+且=干彷+»就+其%=守5（牯+祀）+守5（成

2i

+宿+『爹（费+/）=0,即GA+访+Gt=0,故D正确.故选CD.

A

6.如图，在AOAB中，P为线段A3上的一点，Op^xOX+yOh,且那=

2133

-C-----

B.Xy-3X4y4D.X-4

1

6.答案A解析由题意知碍宓+崩，又加=2后，所以"赤^或1=宓+,(而一应=:游+

]2]

彳仍r，所以%=~,/=".

7.(2013•江苏)设力，E分别是AABC的边AB,BC上的点，A£)=；AB,BE=^BC.若方方=%脑+苞％3,

及为实数)，则九+义2的值为.

1]2]2191

.答案另解析由题意，得初=加+前油波霜+'(祀一修)=—彳祀，则九=一.

7乙乙。=5乙+QD=5vJJK^+VZ

21

22=],即2]+A2=E.

8.如图，在AABC中，不方=|公，前=%6,若#=海+〃&，则2+〃的值为()

8484

--C--

A.9B.93D.3

8.答案A解析#=劝+办=辐+；反6=A^+g(At>一屈)=]劝+/<?祀=]荏+制&,因为

+〃祀,所以2=*"=',则2+"=|+；=5♦

9.已知在RtAABC中，NBAC=90。，AB=1,AC=2,。是△ABC内一点，且ND4B=60。，设劝=痴&+

屈u，蚱R),则)=()

A.B.当C.3D.2小

9.答案A解析如图，以A为原点，48所在直线为x轴，AC所在直线为y轴建立平面直角坐标系,

则B点的坐标为(1,0),C点的坐标为(0,2),因为/£>A8=60。，所以设D点的坐标为(布,小⑼(〃#0).Ab

=(〃?，小，〃)=源力+/zAt?=〃l,0)+/z(0,2)=(7,2〃)，贝(I%=加，且〃=坐〃?，所以

(2017・江苏)如图，在同一个平面内，向量不，OB,历的模分别为1,1,也,

且tana=7,加与洸的夹角为45。.若历=加不+〃加(如〃£R),则〃?+〃=

.答案3解析以。为坐标原点，04所在直线为x轴建立平面直角坐标系，则41,

0),由tan1=

7,a£(0,另，得sina=71

丽。“而,设C(xc,yc),B(XB,)»),则xc=|OC|cosa=-\/2x^j^=5,

yc=|洸|sin1=啦><^^=,,即出,》又加+45。)=赤xj—金岩T，sin(a+45°)=1,

则初=Lcos(a+45°)=—,,ya=|O^|sin(a+45o)=^,即目(一5,7),由历=〃苏+〃加，可得

57

解得所以"7+"=1+]=3.

题型二平面向量的平行与垂直

11.已知向量。=(1,2),b=(2,-2),c=(l,z).若。〃(2。+6),则7=.II.答案|解析

由题意得2a+Z»=(4,2),因为c=(l,2),c//(2a+b),所以41-2=0,解得力=1

12.(2018・全国HI)己知向量a=(l,2),b=Q,-2),c=(l,X).若c〃(2@+b),则2=.

12.答案:解析2“+。=(4,2),因为c=(l,z),且。〃(2。+6),所以1x2=41，即丈=]

13.已知向量。=(2,4),6=(—1,1),c=(2,3),若a+M与c共线，则实数2=()

22人33

A.§B.一5C.§D.一§

13.答案B解析解法一：。+乃=(2—九4+Q,c=(2,3),因为。+劝与c共线，所以必定存在唯

,___:|"C，

「一丁’解得《‘C

{4+43",,__2

2

解法二：a+劝=(2—z,4+z),c=(2,3),由a+劝与。共线可知3(2—z)=2(4+A),得幺=一亍

IT!

14.已知向量。=（2,3）,b=（—l,2）,若，77。+力与。-3b共线，则1=.

14.答案一g解析由击#所以。与办不共线，又a—3）=（2,3）—3（—1,2）=（5,—3）^0.那么

当〃妆+4与。-3b共线时，有牛=上£即得；=一：.

1—3n3

15.已知。为坐标原点，点A（6,3）,若点尸在直线OA上，且|5>|=；|萩|,P是02的中点，则点8的坐

标为.

15.答案（4,2）或（一⑵-6）解析：点P在直线0A上，.•.舁〃祝，又：|办|=；|两，土摄t

设点尸（，”，〃），则办=（，〃，"），用=（6—，"，3—n）.①若办=：或，则（"］，〃）=:（6—，"，3—n）,

解得•"(2,I),是08的中点，.♦.8（4,2）.②若源=一］可，贝

71=1,

/?/=—6,

解得，・・・P(—6,-3),TP是08的中点，・・・

w=-3,

-6）.综上所述，点4的坐标为（4,2）或（一12,-6）.

（2020・全国H）已知单位向量a,力的夹角为60。，则在下列向量中，与》垂直的是（

A.a+2bB.2a~\~bC.a—2bD.2a-b

16.答案D解析由题意得⑷=|臼=1,设a,。的夹角为6=60。，故0Z»=|a||b|cos对A项，（a

+2&）-Z>=a-Z>+2*2=1+2=|^0；对B项，（2a+b）-b=2a-b+h2=2X^+1=2^0；对C项，（a—2b）力

、13、1

=。）-2/=1—2=-］#0；对D项，（2。一万）仍=2。5一〃2=2X/—1=0.

17.（2021•全国乙）已知向量〃=（1,3）,5=（3,4）,若（a—劝）J_"则；1=.

3

17.答案§解析方法一。一劝=（1一3九3一4）），;5一劝）_Lb,・・・（a-M）b=0,即（1—32,3—42）・（3,4）

3

=0,/.3-9A+12-16A=0,解得7=不

方法二由（。一劝）_1_力可知，（a—劝）6=0,艮；a・b-zZ>2—0»从而2=丁=~③之+标-=55=5，

18.（2020・全国H）已知单位向量m〃的夹角为45。，履一〃与。垂直，则％=.

18.答案斗解析由题意知｛ka—6）•a=0,即ka'—b•a=0.因为a,力为单位向量，且夹角为45°,

所以AX「-ixiX乎=0,解得力=乎.

19.（2018•北京）设向量a=（l,0）,1=（一1,〃?）.若则〃?=.

19.答案—1解析由题意得，ma—b=(m+I,-⑼，根据向量垂直的充要条件可得1x(〃7+l)+0x(一

m)=0,所以"?=—1.

20.(2017•全国I)已知向量a=(—1,2),b=(m,1).若向量。十力与。垂直，则m=.

20.答案7解析因为〃=3),〃+〃与4垂直，所以(〃7-l)X(-l)+3X2=O,解得加=7.

题型三面向量数量积

21.(2012•浙江)在△ABC中，〃是8c的中点，AM=3,BC=10,则显•祀=.

21.答案一16解析因为M是BC的中点，由极化恒等式得：砧-At=|AM|2-58cl2=9一1x|00=一

f22.如图，AAOB为直角三角形，04=1,OB=2,C为斜边AB的中点，P为

线段OC的中点，则成•成

=()

力22.答案B解析取AO中点。，连接P。，APOP=l^Pd=PQ2-*BAQ2=~^

1

16'

23.如图所示，AB是圆。的直径，P是AB上的点，M,N是直径AB上关于点O对称的两点，且AB=6,

MN=4,则俞•丽=()

AMoNBA.13

23.答案C解析连接AP,8尸，则丽=就+万认丽=成+的=动一病，所以前•丽=(昂+嬴0(动

-A^=^-^-^AM+AMPB-\AM\*1=-'^AM+AMPB-\AM\2=AMAB-\AM\2=IX6-1=5.

24.(2016•江苏)如图，在△A8C中，。是BC的中点，E,F是A。上的两个三等分点.BXCA=4,BPCP

=-1,则展•国的值为.

-------------1------7

BDC24.答案［解析极化恒等式法设3。=£＞。=团，AE=EF=FD=n则AO=

O9

3〃.根据向量的极化恒

等式，有福正二⑰?一反2=9/—抗2=4,或叱=市一瓦2="2-,"2=一]联立解得/乌，团2

O

=呆因此前或二前2一选2=4n2一相2=]即就.及=1.

OOO

坐标法以直线BC为x轴，过点。且垂直于BC的直线为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系xoy,

如图：设A(3a,3b),B(—c,0),C(~c,0),则有E(2a,2b),F(a,b)flA-cA=(3a+c,3b)-(3a-c,

3b)—9a2—c2+9b2—4BpC^—ia+c,b)(a-c,by—^—cr+b2——],则屋+从=3，廿=号Bkck

oo

7

222

=(2a~c,2b)-(2a-ct2b)=4a—c+4h=^.

C14仍一册36亦一正

,基向量以CA=(反一而协一5b)=

4pfjr—弓]3

肝•#=(防一踮)(方方—沈尸---4一―=-1，因此用配=宁，Bk-Ck=(Dk-Dh)(Dk-Db)

4市一/16亦一鼠巾7

=4=4=8'

25.在梯形A8CD中，满足AQ〃BC,AD=\,BC=3,油•虎=2,则祀•助的值为

25.答案4解析过A点作4E平行于DC,交8c于E,取8E中点

F,连接AF,过。点作。”平行

UUUULUuuuuumUUU

于AC,交8c延长线于H,E为BH中点、,连接DE,AB-DC=AB-AE=AF2-BF2=AF2-1=2,AC-

LU.U1LllUlllllU

BD=-DBDH=BE2-DE2=4-DE2,又FE=BE—BF=1,AD//BC,则四边形AOEF为平行四边

FE26.在三角形ABC中，。为AB中点，ZC=90°,AC=4,BC=3,

E,尸分别为8C,AC上的动点，且

EF=1,则虎・方永最小值为.

26.答案号解析设EF的中点为M,连接CM,则|扁=/即点M在如困所示的圆弧上，则旎/

=|D/tf|2-|E^|2=|D^f|2-1>||CD|-1|2-1=y.

B

27.（2017・全国H）已知△ABC是边长为2的等边三角形，P为平面ABC内一

点，则M或（成+向的最小值

(

A34

-C-D

.-2B.-2-3

27.答案B解析解析法建立坐标系如图①所示，则4,B,C三点的坐标分别为40,V3),

5(-1,0),C(l,0).设P点的坐标为(x,y).

图①

则可=（—x,小一y）,Ph=（~\~x,~y）,Pt=（l-x,-y）,.•.成•（而+陶=（-x,小一y）•（—2x,

—2），）=2年+/一小y）=2f+Q—坐｝—；］z2x（—（）=-*当且仅当x=0,y=坐时，或（而+宿

3

取得最小值，最小值为一名故选B.

几何法如图②所示，而+叱=2用（Q为BC的中点），则可•（彷+无）=2可•用.

;

B0c图②

要使成•用最小，则可与无）方向相反，即点P在线段AO上，则（2可•可%,in=-2|可||可问题转化

为求同质|的最大值.又当点尸在线段AD上时，网+1用|=|硒=2x^=小，.•.网用区（闻中电

2=（坐）=,,；.［可.（彷+必］min=（2或协）min=-2x^=—1.故选B.

极化恒等式法设8c的中点为。，AO的中点为例，连接OP,PM,...可•（防+元）=2防月=2|丽

1aa

|2一习而并=2|丽|2一声一,当且仅当M与。重合时取等号.

B

D28.已知正三角形48c内接于半径为2的圆