人教版导与练总复习数学一轮课时作业：第七章第5节　空间向量的运算及应用

第5节空间向量的运算及应用

灵活方医方致偎影

课时作业

0选题明细表

知识点、方法基础巩固练综合运用练应用创新练

空间向量的线性

1,7

运算

向量共线、向量共

2,3,4,6,9

面的应用

空间向量的数量

5,8

积及其应用

10,11,12,13

综合问题15,16

,14

A级基础巩固练

1.已知a=(2,3,-4),b=(-4,-3,-2),b=；x-2a,则x等于(B)

A.(0,3,-6)B.(0,6,-20)

C.(0,6,-6)D,(6,6,-6)

解析：由b=1x-2a,得x=4a+2b=(8,12,-16)+(-8,-6,-4)=(0,6,-20).

故选B.

2.在下列命题中：

①若向量a,b共线,则向量a,b所在的直线平行；

②若向量a,b所在的直线为异面直线,则向量a,b一定不共面；

③若三个向量a,b,c两两共面,则向量a,b,c共面；

④已知空间的三个向量a,b,c,则对于空间的任意一个向量p总存在

实数x,y,z,使得p=xa+yb+zc.

其中正确命题的个数是(A)

A.0B.1C.2D.3

解析:a与b共线,a,b所在的直线也可能重合,故①不正确;根据自由

向量的意义知，空间任意两向量a,b都共面，故②不正确；三个向量

a,b,c中任意两个一定共面，但它们三个却不一定共面,故③不正确;

只有当a,b,c不共面时，空间任意一个向量p才能表示为p=xa+yb+z

c(x,y,z£R),故④不正确,综上可知正确命题的个数为0.故选A.

3.已知向量a=(2m+l,3,m-1),b=(2,m,-m),且@〃匕则实数m的值等于

(B)

A.-3B.-2

2

C.0D.|或一2

解析：当m=0时,a=(l,3,-1),b=(2,0,0),a与b不共线,所以mWO,因

为a〃b,所以学=三巴士解得m=-2.故选B.

4.(多选题)下列四个命题中，真命题是(AC)

A.若p=xa+yb,则p与a,b共面

B.若p与a,b共面,则p=xa+yb

-,—>—>

C.若MP=xM4+yMB,则P,M,A,B共面

——>T

D.若P,M,A,B共面，则MP=xMA+yMB

解析:A正确;B中若a,b共线,p与a不共线,则p=xa+yb就不成立;C

—>—>—>

正确;D中若M,A,B共线，点P不在此直线上,则MP=xM4+yMB不成立.

故选AC.

5.(多选题)已知ABCD_AECD为正方体,则下列四个命题中，真命题是

(AB)

—>2

A.(4送+41。1+4131)2=341%

—»TT

B.AiC・C4iBi—4p4)=0

—>—

C.向量4%与向量4#的夹角是60°

——>—>

D.正方体ABCD-ABCD的体积为143♦AAr•AD\

—>T—>TT2T2—>2

解析:A中，G4遇+4101+4131)2=4送2+41。1+4/1=34建1,故A

—>——>

正确;B中,4/1-4遇=431，因为AB」A£,故B正确;C正两异面直

->-

线A3与AD1所成的角为60°,但401与4道的夹角为120。，故C不

->—>—>

正确；D中，AB,441•4D|=0,故D不正确.故选AB.

6.已知a=(2,1,-3),b=(-1,2,3),c=(7,6,入)，若a,b,c三向量共面,

则实数人等于(B)

A.9B.-9C._3D.3

解析:显然a与b不共线,若a,b,c三向量共面，

则c=xa+yb(x,y£R),

即(7,6,入)=x(2,l,—3)+y(—1,2,3),

2x~y=7,

所以k+2y=6,解得X=-9.故选B.

-3x+3y=A,

—>—y-y

7.如图所示,在长方体ABCD-ABCD中,。为AC的中点.用43,AD,AAt

—>—>

表示0C1，则0C尸.

T1T

解析：因为oc="c

1TT、

=-(AB+AD),

—>TT

所以OC1=OC+CC1

1TTT

=-(AB+AD)+AA1

1T1TT

=-AB+-AD+AA.

221

_1—1TT

答案:“B+“D+?L4i

8.如图所示，已知空间四边形OABC,OB=OC,且NAOB=NAOCg则

->―*'>

cos<O4,BC>的值为.

解析：设04=a,OB=b,OC=c,

由已知条件得<a,b>=<a,c>=p且Ib|=|c|,

->—>

OA•BC=a•(c-b)=a•c-a•b=|a||c|,cos<a,c>-1a||b।cos<a,b>=0,

—>—>—>->

所以。A_LBC,所以cos<OA,BC>=0.

答案：0

9.已知A,B,C三点不共线,对平面ABC外的任一点0,若点M满足

OM^(OA+OB+OC).

->—>—

(1)判断M4MB,MC三个向量是否共面；

(2)判断点M是否在平面ABC内.

解:⑴由题意知力1+防+儿=36，

TT->—>—>—>

所以04-0M=(OMOS)+(OMOC),

—>—>T—>—>

即MA=BM+CM=-MBMC,

所以M4,MB,MC三个向量共面.

—>>->—

(2)由(1)知M4MB,MC共面且过同一点M,

所以M,A,B,C四点共面，

所以点M在平面ABC内.

B级综合运用练

-,—>—>

10.已知A(1,0,0),B(0,-l,1),0为坐标原点,OA+xOB与08的夹角

为120°,则实数人的值为(C)

A,土亚B.史

66

C.-渔D.±V6

6

解析:04+入08=(1,一入，入)，cos120°=/==-；,得入=±：.

V1+222-V226

经检验入¥不符合题意，舍去,所以入故选c.

66

11.在空间直角坐标系Oxyz中有一正三角形ABC,其边长为4,其中点

A在z轴上运动，点B在平面xOy上，则0C的长度的取值范围是(C)

A.[2,6]B.[2V2-1,2V2+1]

C.[2V3-2,2V3+2]D.[2V3-1,2V3+1]

解析:取AB的中点为D,连接OD,CD,

因为在空间直角坐标系中，/A0B=90°,

即aAOB为直角三角形，又AB=4,

所以OD=jAB=2,

因为aABC是边长为4的等边三角形，

所以CD=V42-22=2V3,

因此点C在以点D为圆心，以26为半径的圆上，

为使0C的长度取得最值，只需0,C,D三点共线，

因此||DC|-|OD||W|0C|W|0D|+|CD|,

即26-2<|0(：|W26+2,

所以0C的长度的取值范围是[26-2,2V3+2].

故选C.

12.已知a=(x,4,1),b=(-2,y,-1),c=(3,-2,z)(x,y,z£R),a//b,b±

c,则c=.

解析：因为a〃b,易知yWO,所以彳，=解得x=2,y=~4,

-2y-1

此时a=(2,4,l),b=(-2,-4,-l),

又因为b±c,所以b-c=0,即-6+8-z=0,

解得z=2,于是c=(3,-2,2).

答案：⑶-2,2)

13.已知a=(l,-3,2),b=(-2,1,1),A(—3,—1,4),B(—2,-2,2).

⑴求|2a+b|;

(2)在直线AB上是否存在一点E,使得(0为原点)?

解：(l)2a+b=(2,—6,4)+(—2,1,1)=(0,-5,5),

故I2a+b|=Jo2+(-5)2+52=5V2.

—>—>

⑵设4E=t4B(t£R),

tT—>TT

所以OE=OA+AE=OA+tAB

-(-3,-1,4)+t(1,-1,-2)

=(-3+t,-l-t,4-2t),

-»->

若OEJ_b,则OE-b=0,

所以一2(-3+t)+(-1-t)+(4-2t)=0,

解得t=1.

因此直线AB上存在点E,使得

此时点E的坐标为(号,-£,|).

14.已知0(0,0,0),A(l,2,1),B(2,1,2),P(1,1,2),点Q在直线0P±

运动，求诵•谈取最小值时，点Q的坐标.

―,—>

解：由题意，设OQ=入OP(入GR),

则而=(入，入，2人)，即Q(人,入，2人)，

则调=(1-入，2-入，1-2人)，

诵=(2-入，1-人,2-2人),

所以瀛・QB=(1-X)(2-X)+(2-X)(1-X)+(1-2X)(2-2入)=

6入2-12入+6=6(入-I)：

—>—>

当人=1时,Q4•QB取最小值,此时点Q的坐标为(1,1,2).

C级应用创新练

—>——>

15.A,B,C,D是空间不共面的四点，且满足4Q•AC=O,AC-40=0,

—>—>

48・4。=01为贸：的中点，则4人加口是(C)

A.钝角三角形B.锐角三角形

C.直角三角形D.不确定

解析：因为M为BC的中点，

所以薪=?几+£?),

~，T1-3TT

所以4M-AD=^(AB+AC)-AD

=-AB-AD+-AC•AD=0.

22

所以AM±AD,AAMD为直角三角形.故选C.

16.如图，在直三棱柱ABC_A'B'C中，AC=