南京建邺区2020-2021苏科版九年级上册数学期末试卷及答案

【建邺区数学】2020九上期末试卷+答案

一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分）

1.计算sin45°的值为（）.

,B包后

A.1B--CT

2.下列说法中，正确的是（）

A.不可能事件发生的概率为0

B.随机事件发生的概率为1

C.概率很小的事件不可能发生

D.投掷一枚质地均匀的硬币100次，正面朝上的次数一定为50次

3.关于抛物线y=W+2x-3,下列说法正确的是（）.

A.抛物线的开口向下B.抛物线经过点（2,3）

C.抛物线最低点的纵坐标是-3D.抛物线关于直线x=-l对称

4.如图，AB是。。的弦，BC与。。相切于点B,连接OA、OB.若"8C=70°,ZA等于（）

5.如图所示的网格由边长相同的小正方形组成，点46、5/人匕、/•、□在小正方形的顶

点上，则A4BC的重心是（）

A.点DB.点E

C.点尸D.点G

6.一个寻宝游戏的寻宝通道如图1所示，通道由在同一平面内的A8,BC,CA,OA,OB,

OC组成.为记录寻宝者的行进路线，在BC的中点M处放置了一台定位仪器.设寻宝者行

进的时间为x,寻宝者与定位仪器之间的距离为y,若寻宝者匀速行进，且表示y与尤的函

数关系的图象大致如图2所示，则寻宝者的行进路线可能为（）.

A.47Ot8B.874tC

C.BtOtCD.CtBtO

图1图2

1

二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）

7.—■元二次方程x2-4x+1=0的两根是则X\,X2,则Xi+X2=.

8.已知。。的半径为5,若尸0=3,则点尸与。O的位置关系是.点P在。O.

9.二次函数y=x2-1的图象与y轴的交点坐标是.

10.半径为3的圆的内接正方形的边长是.

11.等边三角形的边长为x,此三角形的面积S表示成x的函数为.

12.扇形的半径为6cm.圆心角为150°,用它做成圆锥的侧面,圆锥的底面圆的半径是cm.

13.如图所示，在阳光下，某一时刻大树48的影子的顶端落在墙OE上的C点，同一时刻1.2m的

标杆影长为3m.已知CD=2m,BD=6m,则大树的高度为m.

A

14.某社区青年志愿者小分队年龄情况如下表所示：

年龄（岁）1819202122

人数25221

则这12名队员年龄的中位数是

15.四条长短不同的线段长分别为10,6,x,2,用它们拼成如图所示的两个直角三角形，且

AB,CD是其中两条线段，则x可以取的有个.

16.在RtAAOfi中，Z.AOB=90°,04=8,=10,以。为圆心，4为半径作圆O,交两边

于点、C,D,P为劣弧CD上一动点，则（PA+PB最小值为.

P

AB

2

三、解答题(本大题共II小题，共88分)

17.解方程.

(l)x2-2x-2=0.(2)(x+1/=3(x+1).

18.如图，在RtA4BC中，NB=90°,COSNA=£,若AB=10,求8c的长.

19.已知点(0,3)在二次函数y=以2+Av+c的图象上，且当x=1时，函数y有最小值2.

(1)求这个二次函数的表达式.

(2)如果两个不同的点C(m,6),。(“,6)也在这个函数的图象上，则加+"=.

(直接填空)

3

20.小城、小西是建邺中学九年级的同班同学，在四月份举行的特长生招生考试中，他俩都被同一

所高中提前录取，并将被编入人8、C三个班，他俩希望能再次成为同班同学.

(1)小西被编入8班的概率是(直接写结果).

(2)请用树状图或者列表法求出两人再次成为同班同学的概率.

21.如图，在。。中，A8为直径，C为。。上一点.过点C作。。的切线，与48的延长线交

于点P.

(1)若NCAB=25°,求NF的大小：

⑵求证：PC2=PB•PA.

22.如图，在平面直角坐标系中，过格点A、B、C作一圆弧.

(1)直接写出该圆弧所在圆的圆心。的坐标

⑵求弧AC的长(结果保留丁).

⑶连接ACBC,则sinC=.

4

23.己知二次函数y=x2-4mx+4m2+3(机为常数).

(1)证明：不论“为何值，该函数图象与x轴没有公共点.

(2)当自变量x的值满足-2WxW1时，与其对应的函数值)，的最小值为4,求机的值.

24.如图，有一块长为21m、宽为10m的矩形空地，计划在其中修建两块相同的矩形绿地，两块绿

地之间及周边留有宽度相等的人行通道，且人行通道的宽度不能超过3米.

10m

21m

(1)如果两块绿地的面积之和为90m2,求人行通道的宽度.

(2)能否改变人行通道的宽度，使得每块绿地的宽与长之比等于3:5,请说明理由.

25.如图，四边形48C。中，对角线4c平分乙840，以43为直径的。。交4c于E,延长OE

交BC于F,ZABC=ZADE=90".

(1)证明：力尸是的切线.

(2)若OA=4,CF=3,求cosNDAE的值.

5

26.小明投资销售一种进价为每件20元的护眼台灯.销售过程中发现，每月销售量y（件）与销

售单价x（元）之间的关系可近似看作一次函数：y=-10x+500,在销售过程中销售单价不

低于成本价，而每件的利润不高于成本价的60%.

（1）设小明每月获得利润为卬（元），求每月获得利润卬（元）与销售单价x（元）之间的函

数关系式，并确定自变量x的取值范围.

（2）当销售单价定为多少元时，每月可获得最大利润？每月的最大利润是多少？

（3）如果小明想要每月获得的利润不低于2000元，那么小明每月的成本最少需要多少元？

（成本=进价x销售量）

27.如图，在平行四边形ABCD中，AB=,BC=6,/B=45°,点、E为CD上一动点，

经过人C、E三点的。。交于点尸.

（1）【操作与发现】

当E运动到AELCD处，利用直尺与圆规作出点E与点尸.（保留作图痕迹）

⑵在（1）的条件下，证明A二T=A=R.

AEAD

（3）【探索与证明】

（4）【延伸与应用】

点E在运动的过程中，直接写出EF的最小值

6

【建邺区数学】2020九上期末试卷+答案

参考答案

一、选择题

【答案】B

【解析】•&

sin45=——

2

故选：B.

【答案】A

［解析］解：不可能事件发生的概率为0,故A正确；

随机事件发生的概率为在0到1之间，故B错误；

概率很小的事件也可能发生，故C错误；

投掷一枚质地均匀的硬币100次，正面向上的次数为50次是随机事件，D错误；

故选A.

【答案】D

［解析】A选项：由题意得。=1>0,所以抛物线的开口向上，故A错误.

B选项：当x=2时，^=22+2x2-3=4+4-3=5,所以图象经过(2,5),不

经过(2,3),故B错误.

C选项：由题意得y=(x+l)2-4,所以抛物线最低点的纵坐标是-4,故C错

误.

D选项：由题意得y=(x+1产-4,所以抛物线的对称轴是直线x=-l,故D正

确.

故选D.

【答案】B

【解析】CB为。。的切线，故OB1C8,又N4BC=70°,故^ABO=20°.由OA=,

知△A80为等腰三角形，所以N4=^ABO=20°.

故选B

考点：切线的性质，三角形的内角和

【答案】A

【解析】解：根据题意可知，直线CO经过△45C的A8边上的中线，直线AO经过△ABC

的边上的中线，

:.点、D是4ABe的重心.

故选：A.

【答案】C

【解析】由y与x的函数关系的图象可知是一个轴对称的函数图象，即寻宝者的行进路线与

定位仪器M也是轴对称的图形，排除A、D；由图知AM>,排除B.故寻宝

者的行进路线可能为BTOTC.

1

二、填空题

7.【答案】4

【解析】方程~-叙+1=0的两根是打和必，

-4

X]+X2——j~=4.

故答案为：4.

8.【答案】内部

【解析】PO=3<5,

二点?在。。内部,

故答案为：内部.

9.【答案】（0,-1）

【解析】函数方程为），=炉-1,

当x=0时y=-l,

・•・函数图象与y轴交点为（0,-1）.

故答案为：（0,-1）.

10.【答案】3近

[解析】如图，・.•四边形ABC。是。。的内接正方形，

"OBE=45°；而OELBC,

:.BE=CE；而OB-3,

・・八。_OE皿_BE

•.sin45=,cos45=,

OBOB

3回372

-OE=，BE=+,

:.BC=3y[2,

故半径为3的圆内接正方形的边长为3口.

11.【答案”,=9'2

【解析】如图△ABC为等边三角形，边长为x作BC边上的高AO,

•.△ABC为等边三角形，

"B=60°.

■'-S表示成X的函数S=

故答案为：S=

8

12.【答案】2.5

［解析】设这个圆锥的底面圆半径为

根据题意得2wr=吗.』,

1oU

解得r=2.5(cm).

故答案为:2.5.

13.［答案】4.4

【解析】如图：过点C作CFLAB交AB于点F,

易知四边形8OCF为矩形，

:.CF=8。=6m,"=CO=2m,

,同一时刻1.2m的标杆影长为3m,

AF1.2

-CF=T'

AP17

即空==,A尸=2.4.

63

J.大树高AB=AF+BF=2A+2=4.4m

故答案为：4.4.

14.【答案】19

［解析】12名队员的年龄数据里，

第6个和第7个都是19,

因而中位数是19.

故填19.

15.【答案】4

【解析】过8作BE//CD，延长AC交BE于点E,

根据题意BD//AC,ZACD=ND=90°,

：.BE=CD,CE=BD,4E=90°,

二最长边A8=10或x,x>0（负值自动舍去）

①若A8=x,CD=10时，

则AE=6+2=8,

：AE2+BE2=，即82+IO2=/,解之得x=2回,

同理：

②若48=x,CD=6时，则4E=12,

.,.62+122=x2,解之得x=675,

③若AB=x,CO=2时，则4E=16,

.-.22+162=x2,解之得x=2府,

④若43=10,C£>=6时，则AE=x+2,

.,.（X+2）2+62=102,解之得x=6（舍去），

⑤若A3=10,CO=x口寸，则力E=8,

.'.X2+82=102,解之得x=6（舍去），

⑥若48=10,CD=2时，则AE=6+x,

.-.（6+x）2+22=102,解之得x=4网-6.

综上所述，x值可取4个值，故答案为4.

9

16.【答案】2病

【解析】如图所示，连接OP,取0C中点为M,连接PM,BM,

1,圆O半径为4,点P为劣弧CD上一动点，

：.OC=OP=4,

又点M为OC中点,

:.OM=-OC=-x4=2,

22

•.”=丝二，.。尸="。4,

OMOP\

:AMOP-APOA,

OM_PM_2

"~OP=~PA=4'

:.PM=^PA,

:.^PA+PB=PM+PB>BM,

当点B、P、M三点共线时，^PA+PB最小值为BM,

•・NAO3=90°,

:.BM2=OM2+OB1,

又OM=2,08=10,

：.BM=y)22+102=/I04=2y[26,

故+PB最小值为2疡.

三、解答题

17.【答案】(l)x)=1+隹，犬2=1—隹.

(2)xi=-1,X2=2.

【解析J(1)X2-2X-2=0(2)(x+I)2=3(x+1)

x2-2x=2U+I)2-3(x-1)=0

x^,-2x+1=2+1(X+1)(X+1-3)=0

u-I)2=3(x4-1)(%-2)=0

x—\=±6.X\=—1,工2=2.

=1+0,工2=1-0.

18.【答案"场.

【解析】•・N3=90。，

AB5

••・cos”=k7，

・「AB=10,

.\AC=14,

:.BC=^AC2-AB2=J142-102=廓=4而.

.♦.3。的长为4后.

10

19.【答案】(l)y=W-2x+3.

(2)2

［解析［(1)・二次函数y=a?+汝+c当X=1时，函数y有最小值2,

.•・点(1,2)为抛物线的顶点，

于是可设抛物线的关系式为：

y^a(x-I)2+2,把(0,3)代入得，

4+2=3,

.二〃=1I

抛物线的关系式为y=(x-1)2+2,

即y=/-2x+3.

(2)点C(m,6),D(n,6)都在抛物线上，

因此点C、。关于直线x=1对称，

.,./n+n=2.

20.［答案】⑴J.

3

(2)画图见解析，|.

【解析】(1)共有三种等可能情况，其中小西被编入B班的情况有一种，故概率是1.

(2)用树状图表示如下：

共有9种等可能情况，其中两人分到同一班的情况有3利、

故两人再次成为同学的概率为1=-.

21.【答案】(1)400.

(2)证明见解析.

【解析】(1)如图所示，连接OC,

「04=OC,

"CAB=NACO,A

又「NCAB=25°,

:.^ACO=25"

"COP=zCAB+^ACO=25°+25°=50°r

••・PC为圆。切线，oc为半径，

"OCP=90：

"P=180°-NOCP-zCOP=180°-90°-50°=40°,

故ZP大小为40°.

11

，学而周悟优

⑵如图所示，连接BC、OC,

.PC为圆O的切线,

"OCP=90°即Nl+NBCP=90°

又TAB为直径

：ZACB=90°即N1+ZACO=90°

；ZBCP=ZACO

yj.ACO=N。尸

；ZBCP=乙CAP

又NBPC=ZCPA,

:△BPC-MPA,

PCPB

•,丽=斤’

:.PC2=PB•PA.

22.【答案】(1)(2,0)

/

lz2J\

xZ27T.

z3\V5

x(ZJ

(解析］(1)根据垂径定理的推论：弦的垂直平分线必过圆心，作弦43和BC的垂直平分

线，交点。即为圆心.如图1所示，则圆心D的坐标是(2,0).

(2)由图1可知，ZADC

皿,小,上907rx把

，弧AC的长为：~---一出

1oO一2",

(3)如图2,由勾股定理得4E=^2AC=/TO,

由正方形的性质和格点的性质可知，4AEC=90°,

m八AE也有

则sinC=—=--=—

AC/Jo5

y

故答案为：-y

1

O1

图2

12

，学而周悟优

23.【答案】（1）证明见解析.

（2）m=1或一］.

［解析】（1）已知二次函数y=f-4加x+4加2+3,

令y=0,x2—4mx+4〃/+3=0,

贝！JA=16m2-4（4m2+3）

=16〃，-16m之一12

=-12<0,

.•.方程没有实数根，

该函数图象与x轴没有交点.

（2）...二次函数y=/-4mx+4m2+3,

.t.a=\>0,b=-4/77,c=4m2+3,

.••图象开口向上，对称轴为直线工==2m,

2a

•・・当-2W犬W1时，y的最小值为4,

.•.当2mW-2即机W—1时，

则x=-2时，y取得最小值4,

代入得4+8加+4m2+3=4,

解得机=-|或（舍去），

当—2W2nlW1,即—1W"?W2时，

则x=2相时，y取得最小值4,

代入，得4〃/一8m2+4〃/+3=4,

方程无解，

当2机21,即机》；时，

则x=1时，：取得最小值4,

代入，得1一4/77+4机2+3=4,

解得加=1或"?=0（舍去）.

3

综上所述，m=l或-］.

24.【答案】⑴2.

（2）不能，证明见解析.

［解析】（1）设人行通道的宽度为x米，

则两块矩形绿地的长为（21-3九）（米），宽为（10-2幻（米），

根据题意得：（21-3%）（10-2x）=90,解得：的=10（舍去）,X2=2,

答：人行通道的宽度为2米.

（2）设人行通道的宽为y米时，每块绿地的宽与长之比等于3:5,

根据题意得（10-2y）:^=3:5,解得：y=五，

37c

-IT>3'

.♦.不能改变人行横道的宽度使得每块绿地的宽与长之比等于3:5.

13

25.【答案】(1)证明见解析.

⑵.

【解析】(1)连接OE,

.AC平分/BAD,

."DAE=Z.OAE,

：0A=OE,

"OAE=ZOEA,

.""DAE=Z.OEA,

.'.AD//OE,

"ADE=/OEF=90°,

:.OEIDF,

•.OE是。。的半径，

二。尸是。O的切线.

(2)连接OE,OF,EF,

,./OBF=/OEF=90°,

・•・在RtAOBF和RtAOEF中

[OF=OF

\OB=OE'

.-.RtAO^F=RtAOEF(HL),

：.BF=EF,

.,.Z.FBE=Z.FEB,

・「AB是OO的直径，

:.Z.AEB=90°,

"BEC=90°,

"FEB+NFEC=90。，

.・"FBE+"CE=90：

.,.Z.FEC=Z.FCE,

:.EF=FC=BF=3,

.'.BC—6,

：OA=05=4,

.t.AB=8,

了.在Rt^ABC中，AC=^AB2+BC2=10,

…厂AB4

..cosZ.BAC==,

AC5

."DAE=^BAC,

4

/.cos々DAE=—.

5

14

26.【答案】(1)卬=-10/+700氏-10000(20WxW32).

(2)当销售单价定为32元时，每月可获得最大利润，最大利润是2160元.

(3)想要每月获得的利润不低于2000元，小明每月的成本最少为3600元.

［解析］(1)由题意,得w=(x-20)-y

=U-20)•(-10x+500)

=-10x2+700x-10000,

由题意得x-20W20x60%，且x?20,

.-.20WxW32,

即w=-10x2+700x_10000(20WxW32).

(2)对于函数w=-lOf+70Or-10000的图象