四川省成都市浦江县中考数学一模试卷（含答案解析）

2019年四川省成都市浦江县中考数学一模试卷

选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）

1.如图，数轴的单位长度为1,如果A、8表示的数的绝对值相等，那么点C表示的数是（）

IIII;I:II）

ACBx

A.-4B.-2C.0D.4

]

2.下面是一个被墨水污染过的方程：2x-2=3x+^^,答案显示此方程的解是x=-1,被墨

水遮盖的是一个常数，则这个常数是（）

A.1B.-1C.-2D.2

3.某商店有两个进价不同的计算器都卖了80元，其中一个赢利60%,另一个亏本20%,在这次买

卖中，这家商店（）

A.不赔不赚B.赚了10元C.赔了10元D.赚了50元

4.第14届中国（深圳）国际茶产业博览会在深圳会展中心展出一只如图所示的紫砂壶，从不同方

向看这只紫砂壶，你认为是从上面看到的效果图是（）

5.关于x的一元二次方程（什3）x+A=0的根的情况是（）

A.有两不相等实数根B.有两相等实数根

C.无实数根D.不能确定

6.如图，AD,CE分别是AABC的中线和角平分线.若AB=AC,NCA£>=20°,则NACE的度数

是（)

7.某排球队6名场上队员的身高（单位：是：180,184,188,190,192,194.现用一名身高

为186c〃?的队员换下场上身高为192cm的队员，与换人前相比，场上队员的身高（）

A.平均数变小，方差变小B.平均数变小，方差变大

C.平均数变大，方差变小D.平均数变大，方差变大

8.如图，菱形ABC。的两个顶点&O在反比例函数的图象上，对角线AC与BO的交点恰好

是坐标原点O,已知点A（1,1）,ZABC=60°,则左的值是（）

A.-5B.-4C.-3D.-2

9.施工队要铺设1000米的管道，因在中考期间需停工2天，每天要比原计划多施工30米才能按时

完成任务.设原计划每天施工x米，所列方程正确的是（）

A10001000_2B100°_wop_=2

xx+30x+30x

C1000IO。。—2D1°0°_1Q0Q-2

xx-30x-30x

10.如图是二次函数（a,h,。是常数，a#O）图象的一部分，与无轴的交点A在点（2,

0）和（3,0）之间，对称轴是x=l.对于下列说法：①加?<0；②2a+b=0；③3a+c>0；@a+b

2加（皿+b）（m为实数）；⑤当-1V/V3时，y>0,其中正确的是（）

A.①②④B.①②⑤C.②③④D.③④⑤

二.填空题（共4小题，满分16分，每小题4分）

11.因式分解：a3-2a2b+ab2=.

12.如图，ZA=60°,ZACD=110°,ZB=°.

13.分式三与袅的和为4,则x的值为

x-22-x----------

14.如图，点E是矩形A8CD中CD边上一点，将△8CE沿8E折叠为△8FE,点F落在边AO上,

三.解答题(共6小题，满分54分)

15.(1)计算：20180-|函|+(二二)7+2COS45°

3

(2)解方程：3(x+2)2=x2-4

16.先化简-----%，然后从-1,0,2中选一个合适的X的值，代入求值.

17.由我国完全自主设计、自主建造的首艘国产航母于2018年5月成功完成第一次海上试验任务.如

图，航母由西向东航行，到达A处时，测得小岛C位于它的北偏东70°方向，且与航母相距80

海里，再航行一段时间后到达8处，测得小岛C位于它的北偏东37°方向.如果航母继续航行

至小岛C的正南方向的。处，求还需航行的距离8。的长.

(参考数据：sin70°«=0.94,cos70-^0.34,tan700=2.75,sin37°=0.6,cos37°~0.80,tan37°

打0.75)

18.抚顺某中学为了解八年级学生的体能状况，从八年级学生中随机抽取部分学生进行体能测试,

测试结果分为4,B,C,。四个等级.请根据两幅统计图中的信息回答下列问题:

(1)本次抽样调查共抽取了多少名学生？

(2)求测试结果为C等级的学生数，并补全条形图;

(3)若该中学八年级共有700名学生，请你估计该中学八年级学生中体能测试结果为。等级的

学生有多少名？

(4)若从体能为A等级的2名男生2名女生中随机的抽取2名学生，做为该校培养运动员的重

点对象，请用列表法或画树状图的方法求所抽取的两人恰好都是男生的概率.

已知正比例函数力=-2x的图象与反比例函数)2=生的图象

x

交于A(-1,〃)，B两点.

(1)求出反比例函数的解析式及点8的坐标;

(2)观察图象，请直接写出满足yW2的取值范围;

(3)点尸是第四象限内反比例函数的图象上一点，若△POB的面积为1,请直接写出点P的横

坐标.

20.如图，在Rtz^ABC中，ZC=90°,AZ）平分/BAC交BC于点。，。为A8上一点，经过点A,

。的。。分别交AB,AC于点E,F,连接。口交AO于点G.

（1）求证：BC是。。的切线：

（2）设AB=x,A尸=），，试用含x,y的代数式表示线段4。的长；

四.填空题（共5小题，满分20分，每小题4分）

21.已知：m2-2m-\=0,/+2”-1=。且〃?则卬什.+1.的值为.

n

22.如图，在矩形ABC。中，4B=10,BC=8,以C£＞为直径作将矩形ABC。绕点C旋转，

使所得矩形4‘B'CD'的边A'B'与。。相切，切点为E,边C。'与。。相交于点F,则CF

的长为_______

23.如图，将矩形ABC。沿对角线AC剪开，再把△AC。沿C4方向平移得到△ACQi，连接A。,

BC\.若N4CB=30°,AB=1,CC\=x,则下列结论：

①△44。1之△CCiB；

②当x=l时，四边形ABGQ1是菱形；

③当x=2时，△3OG为等边三角形.

其中正确的是（填序号）.

24.如图，直线v=2x分别与双曲线丫=皿（m>0,x>0）,双曲线丫=2（n>0,x>0）交于点A

3xx

和点B,且塔士，将直线向左平移6个单位长度后，与双曲线），=△交于点C,若S“BC

0A33x

25.如图，在菱形A2CD中，NB=60°,对角线AC平分角NBA。，点P是aABC内一点，连接

PA、PB、PC,若P4=6,尸8=8,PC=10,则菱形ABC。的面积等于

五.解答题（共3小题，满分30分）

26.某种蔬菜每千克售价）1（元）与销售月份x之间的关系如图1所示，每千克成本以（元）与销

售月份x之间的关系如图2所示，其中图1中的点在同一条线段上，图2中的点在同一条抛物线

上，且抛物线的最低点的坐标为（6,1）.

（1）求出），|与x之间满足的函数表达式，并直接写出x的取值范围；

(2)求出”与x之间满足的函数表达式；

(3)设这种蔬菜每千克收益为卬元，试问在哪个月份出售这种蔬菜，w将取得最大值？并求出

此最大值.(收益=售价-成本)

27.有两张完全重合的矩形纸片，将其中一张绕点4顺时针旋转90°后得到矩形AMEF(如图1),

连接B。，MF,若BD=16cm,NAOB=30。.

(1)试探究线段8。与线段的数量关系和位置关系，并说明理由；

(2)把△BCD与△MEF剪去，将△AB力绕点4顺时针旋转得△AS。］,边ADi交FM于点

K(如图2),设旋转角为0(00<p<90°),当aAFK为等腰三角形时，求0的度数；

(3)若将△APM沿AB方向平移得到△AzF2A/2(如图3),F2M2与AD交于点P,A2M2与BD

交于点N,当NP〃AB时，求平移的距离.

28.如图所示，已知抛物线y—ax1(”W0)与一次函数y=kx+b的图象相交于A(-1,-1),B(2,

-4)两点，点尸是抛物线上不与A,B重合的一个动点，点。是y轴上的一个动点.

(1)请直接写出a,k,6的值及关于x的不等式ax2Vh-2的解集；

(2)当点P在直线A8上方时，请求出△PAB面积的最大值并求出此时点P的坐标；

(3)是否存在以P,Q,A,8为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出P,。的坐标:

若不存在，请说明理由.

2019年四川省成都市浦江县中考数学一模试卷

参考答案与试题解析

一.选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）

1.如图，数轴的单位长度为1,如果A、B表示的数的绝对值相等，那么点C表示的数是（）

A.-4B.-2C.0D.4

【分析】根据AC=CB结合A、B表示的数的绝对值相等，即可得出点C表示的数，此题得解.

【解答】解：观察数轴，可知：AC=CB=2,

•••A、8表示的数的绝对值相等，

.•.点C表示的数是0.

故选：C.

【点评】本题考查了数轴以及绝对值，牢记“互为相反数的两个数绝对值相等”是解题的关键.

2.下面是一个被墨水污染过的方程：2x-^-=3x+^»,答案显示此方程的解是x=-1,被墨水

遮盖的是一个常数，则这个常数是（）

A.1B.-1C.--D.—

22

【分析】把方程的解x=-1代入方程进行计算即可求解.

【解答】解：•.5=-1是方程的解，

A2X（-1）-*=3义（-1）

解得="2'"

故选：D.

【点评】本题考查了一元一次方程的解，方程的解就是使方程成立的未知数的值，代入进行计算

即可求解，比较简单.

3.某商店有两个进价不同的计算器都卖了80元，其中一个赢利60%,另一个亏本20%,在这次买

卖中，这家商店（）

A.不赔不赚B.赚了10元C.赔了10元D.赚了50元

【分析】设盈利的进价是X元，亏本的是y元，根据某商店有两个进价不同的计算器都卖了80

元，其中一个赢利60%,另一个亏本20%,可列方程求解.

【解答】解：设盈利的进价是x元，

80-x=60%x

x=50

设亏本的进价是y元

y-80=20%y

y=100

80+80-100-50=10元.

故赚了10元.

故选：B.

【点评】本题考查理解题意的能力，关键是根据利润=售价-进价，求出两个商品的进价，从而

得解.

4.第14届中国（深圳）国际茶产业博览会在深圳会展中心展出一只如图所示的紫砂壶，从不同方

向看这只紫砂壶，你认为是从上面看到的效果图是（）

【分析】俯视图就是从物体的上面看物体，从而得到的图形.

【解答】解：由立体图形可得其俯视图为：

故选：C.

【点评】此题主要考查了简单组合体的三视图，正确把握三视图的观察角度是解题关键.

5.关于x的一元二次方程（A+3）x+A=0的根的情况是（）

A.有两不相等实数根B.有两相等实数根

C.无实数根D.不能确定

【分析】先计算判别式得到△="+3)2-4X4=(H1)2+8,再利用非负数的性质得到△>(),

然后可判断方程根的情况.

【解答】解：△=(-3)2-4义后=3+2&+9=(&+1)2+8,

(k+l)220,

二(k+l)2+8>0,即△>(),

所以方程有两个不相等的实数根.

故选：A.

【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程以2+/；x+c=0(a#0)的根与△=抉-4双有如下

关系：当△>◊时，方程有两个不相等的实数根；当△=()时，方程有两个相等的实数根；当^

<0时，方程无实数根.

6.如图，A。，CE分别是AABC的中线和角平分线.若AB=AC,NCAQ=20°,则NACE的度数

是()

A.20°B.35°C.40°D.70°

【分析】先根据等腰三角形的性质以及三角形内角和定理求出NC4B=2NC4O=40°,ZB=Z

ACB=—(180°-ZCAB)=70°.再利用角平分线定义即可得出NACE=L/ACB=35°.

22

【解答】解：是△ABC的中线，4B=4C,NC4D=20°,

.../CAB=2/CAO=40°,ZB^ZACB^—(180°-ZCAB)=70°.

2

是AABC的角平分线，

/.ZACE=—ZACB=35°.

2

故选：B.

【点评】本题考查了等腰三角形的两个底角相等的性质，等腰三角形的顶角平分线、底边上的中

线、底边上的高相互重合的性质，三角形内角和定理以及角平分线定义，求出/4CB=70°是解

题的关键.

7.某排球队6名场上队员的身高(单位：是：180,184,188,190,192,194.现用一名身高

为186c机的队员换下场上身高为192cm的队员，与换人前相比，场上队员的身高()

A.平均数变小，方差变小B.平均数变小，方差变大

C.平均数变大，方差变小D.平均数变大，方差变大

【分析】分别计算出原数据和新数据的平均数和方差即可得.

【解答】解：原数据的平均数为1*°+184+18|190+192+194=[88,

则原数据的方差为Lx[(180-188)2+(184-188)2+(188-188)2+(190-188)2+(192-

6

188)2+(194-188)2]=—,

3

新数据的平均数为180+184+弋190+186+194=]87,

则新数据的方差为Lx[(180-187)2+(184-187)2+(188-187)2+(190-187)2+(186-

6

187)2+(194-187)2]=—,

3

所以平均数变小，方差变小，

故选：A.

【点评】本题主要考查方差和平均数，解题的关键是掌握方差的计算公式.

8.如图，菱形ABCZ)的两个顶点反£＞在反比例函数＞=乂的图象上，对角线AC与的交点恰好

A.-5B.-4C.-3D.-2

【分析】根据题意可以求得点B的坐标，从而可以求得女的值.

【解答】解：•••四边形A3C。是菱形，

：.BA=BC,AC±BD,

；NABC=60°,

.•.△ABC是等边三角形,

;点A(1,1),

，。八=近，

:,B0=—跌

tan30-o

•••直线AC的解析式为y=x,

直线BD的解析式为y=-x,

•：0B=4l，

...点B的坐标为（-V3，T），

•.•点B在反比例函数尸三的图象上,

X

解得，k=~3,

故选：C.

【点评】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征、菱形的性质，解答本题的关键是明确题意，

利用反比例函数的性质解答.

9.施工队要铺设1000米的管道，因在中考期间需停工2天，每天要比原计划多施工30米才能按时

完成任务.设原计划每天施工x米，所列方程正确的是（）

A10001000—2B100°_1000-2

xx+30x+30x

C10001000_2D10001000—2

xx-30x-30x

【分析】设原计划每天施工x米，则实际每天施工（x+30）米，根据：原计划所用时间-实际所

用时间=2,列出方程即可.

【解答】解：设原计划每天施工x米，则实际每天施工（x+30）米，

根据题意，可列方程：1畋-1嘤=2,

xx+30

故选：A.

【点评】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，关键是读懂题意，找出合适的等量关系，列出

方程.

10.如图是二次函数yjl+bx+c（小b,。是常数，ciWO）图象的一部分，与x轴的交点A在点（2,

0）和（3,0）之间，对称轴是4=1.对于下列说法：①出?V0；②2〃+b=0；③3a+c>0；（4）a+b

21n（am+b）（"?为实数）；⑤当-1VXV3时，y>0,其中正确的是（）

C.②③④D.③④⑤

【分析】由抛物线的开口方向判断〃与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然

后根据对称轴判定人与0的关系以及2a+人=0；当x=-1时，y=a-b+c；然后由图象确定当x

取何值时，>>0.

【解答】解：①:•对称轴在），轴右侧,

・，.a、b异号,

/.ab<0f故正确;

②：对称轴x=-2=1，

2a

/.2a+b=0；故正确；

(3)V2〃+〃=0,

••/?=-2〃，

*.*当x=一1时，y=a-0+cV0,

.\a-(-2a)+c=3a+cV0,故错误;

④根据图示知，当胆=1时，有最大值；

当机/1时，有am2+bm+c^a+b+c,

所以a+b—m（am+b）（相为实数）.

故正确.

⑤如图，当-l<x<3时，y不只是大于0.

故错误.

故选：A.

【点评】本题主要考查了二次函数图象与系数的关系，关键是熟练掌握①二次项系数。决定抛物

线的开口方向，当〃>0时，抛物线向上开口；当“<0时，抛物线向下开口；②一次项系数人和

二次项系数4共同决定对称轴的位置：当a与匕同号时（即外>0）,对称轴在了轴左；当。与

匕异号时（即油<0），对称轴在y轴右.（简称：左同右异）③常数项c决定抛物线与y轴交

点，抛物线与y轴交于（0,c）.

二.填空题（共4小题，满分16分，每小题4分）

11.因式分解：-2“2/7+"2=〃（q-b）2.

【分析】原式提取a,再利用完全平方公式分解即可.

【解答】解：原式=a（a2-2ab+b2）

=a（a-b）2.

故答案为：a（a-b）2.

【点评】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键.

12.如图，ZA=60°,110°,NB=50°.

【分析】根据三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和计算即可.

【解答】解：是△ABC的一个外角，

：.ZACD^ZA+ZB,

：.ZB=ZACD-ZA=50°,

故答案为：50°.

【点评】本题考查的是三角形的外角的性质，掌握三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角

的和是解题的关键.

13.分式三与白的和为4,则x的值为3.

x-22-x-------

【分析】首先根据分式三与后的和为4,可得：三+3=4,然后根据解分式方程的方

x-22-xx-22-x

法，求出x的值为多少即可.

【解答】解：；分式二•与谷的和为4,

x-22-x

去分母，可得：7-x—4x-8

解得：x=3

经检验x=3是原方程的解，

的值为3.

故答案为：3.

【点评】此题主要考查了解分式方程问题，要熟练掌握，解分式方程的步骤：①去分母；②求

出整式方程的解；③检验；④得出结论.

14.如图，点E是矩形中边上一点，将aBCE沿BE折叠为点尸落在边AO上,

若AB=8,BC=10,则CE=5.

BC

【分析】由矩形的性质可得AB=CZ)=8,AQ=BC=10,NA=NO=90°,由折叠的性质可求

BF=BC=\0,EF=CE,由勾股定理可求AF的长，CE的长.

【解答】解：•••四边形4BC。是矩形

：.AB^CD=S,AD=BC^\0,/A=ND=90°,

•.•将aBCE沿BE折叠为ABFE,

：.BF=BC=10,EF=CE,

在RtZ\A8F中，^=VBF2-AB2=6

：.DF=AD-AF=4

在RtADEF中，DF2+DE2=EF2=CE2,

A16+(8-CE)2=CE2,

CE=5

故答案为：5

【点评】本题考查了翻折变换，矩形的性质，折叠的性质，勾股定理，灵活运用这些性质进行推

理是本题的关键.

三.解答题(共6小题，满分54分)

15.(1)计算：2018°-|北+(」)-1+2cos45°

3

（2）解方程：3（x+2）2=N-4

【分析】（1）先计算零指数累、绝对值和负整数指数累、代入三角函数值，再计算乘法和加减

运算可得；

（2）运用因式分解法求解可得.

【解答】解：（1）原式=1-«-3+2X返

2

=1-血-3+A/2

=-2；

(2)V3(x+2)2=/-4,

/.(x+2)[3(x+2)-(x-2)]=0,

则2(x+2)(x+4)=0,

，x+2=0或x+4=0,

解得：苞=-2,X2—-4.

【点评】本题主要考查解一元二次方程的能力与实数的运算，熟练掌握解•元二次方程的几种常

用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法

是解题的关键.

1x9

16.先化简一^—y----------rr-然后从-1，°，2中选一个合适的x的值，代入求值.

x*Tx"-2x+lx+1

【分析】先根据分式混合运算顺序和运算法则化简原式，再由分式有意义的条件选取合适的X的

值代入计算可得.

原式=_____1.(X-1)22

【解答】解:

7+1

(X+1)(X-1)一丁一

_X-12x

x(x+l)x(x+l)

_-(x+l)

x(x+l)

1

X

当x=2时，原式=-2.

【点评】本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是熟练掌握分式的混合运算顺序和运算法则

及分式有意义的条件.

17.由我国完全自主设计、自主建造的首艘国产航母于2018年5月成功完成第一次海上试验任务.如

图，航母由西向东航行，到达A处时，测得小岛C位于它的北偏东70°方向，且与航母相距80

海里，再航行一段时间后到达B处，测得小岛C位于它的北偏东37。方向.如果航母继续航行

至小岛C的正南方向的。处，求还需航行的距离2。的长.

(参考数据：sin70°«=0.94,cos70°^0.34,tan700弋2.75,sin37°40.6,cos37°七0.80,tan37°

-0.75)

【分析】根据题意得：NAC£>=70。，NBCD=3V,AC=80海里，在直角三角形AC。中，由

三角函数得出CD=27.2海里，在直角三角形8CZ)中，得出2D,即可得出答案.

【解答】解：由题意得：ZACD=70°,ZBCD=37°,AC=80海里，

在直角三角形AC£>中，CO=4C・cosNAC£>=27.2海里，

在直角三角形BC。中，BD=C£>>tanZBCD=20.4海里.

答：还需航行的距离8。的长为20.4海里.

【点评】此题考查了解直角三角形的应用-方向角问题，三角函数的应用；求出的长度是解

决问题的关键.

18.抚顺某中学为了解八年级学生的体能状况，从八年级学生中随机抽取部分学生进行体能测试，

测试结果分为A,B,C,。四个等级.请根据两幅统计图中的信息回答下列问题：

(1)本次抽样调查共抽取了多少名学生？

(2)求测试结果为C等级的学生数，并补全条形图；

(3)若该中学八年级共有700名学生，请你估计该中学八年级学生中体能测试结果为。等级的

学生有多少名？

(4)若从体能为A等级的2名男生2名女生中随机的抽取2名学生，做为该校培养运动员的重

点对象，请用列表法或画树状图的方法求所抽取的两人恰好都是男生的概率.

【分析】（1）用A等级的频数除以它所占的百分比即可得到样本容量;

（2）用总人数分别减去A、B、。等级的人数得到C等级的人数，然后补全条形图;

（3）用700乘以。等级的百分比可估计该中学八年级学生中体能测试结果为。等级的学生数;

（4）画树状图展示12种等可能的结果数，再找出抽取的两人恰好都是男生的结果数，然后根据

概率公式求解.

【解答】解：（1）10・20%=50,

所以本次抽样调查共抽取了50名学生；

（2）测试结果为C等级的学生数为50-10-20-4=16（人）；

50

所以估计该中学八年级学生中体能测试结果为D等级的学生有56名;

（4）画树状图为:

男男女女

/1\公男合女男小女

男女女

共有12种等可能的结果数，其中抽取的两人恰好都是男生的结果数为2,

所以抽取的两人恰好都是男生的概率=与=5.

126

【点评】本题考查/列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果〃，再从

中选出符合事件A或B的结果数目如然后利用概率公式计算事件A或事件B的概率.也考查

了统计图.

19.如图，在平面直角坐标系x。)，中，已知正比例函数为=-2x的图象与反比例函数”=k的图象

x

交于A(-1,〃)，B两点.

(1)求出反比例函数的解析式及点8的坐标；

(2)观察图象，请直接写出满足yW2的取值范围；

(3)点P是第四象限内反比例函数的图象上一点，若△POB的面积为1,请直接写出点P的横

坐标.

【分析】(1)把4(-1,〃)代入y=-2x,可得A(-1,2),把4(-1,2)代入y=k,可

X

得反比例函数的表达式为y=-再根据点B与点A关于原点对称，即可得到B的坐标；

X

(2)观察函数图象即可求解；

(3)设,根据S梯形M8/w=Sy08=1，可得方程A"(2+2)(//?-1)—1或(2+2)

ID2m2m

(1-加)=1,求得机的值，即可得到点尸的横坐标.

【解答】解：(1)把A(-1,〃)代入y=-2x,可得〃=2,

・・・A(-1,2),

把4(-1,2)代入>=',可得仁-2,

X

・・・反比例函数的表达式为丁=-

X

•・•点8与点A关于原点对称，

：.B(1,-2).

(2)VA(-1,2),

・・・yW2的取值范围是“V-1或x>0；

(3)作8M_Lx轴于M,PN_Lx轴于N,

,**S梯形MBPN=S△尸。8=1>

设P（，〃，-2）,则工（2鼻）（%-I）=1或•!（22）（1-/n）=1

ID2ID2ID

整理得，m2-///-I=0或m2+w+l=0,

解得/.=1+"5-或m=N51,

22

・・・尸点的横坐标为匹生.

I2

【点评】本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题，解题时注意：反比例函数与一次函

数的图象的交点坐标满足两函数的解析式.

20.如图，在RtZVIBC中，ZC=90°,AQ平分/BAC交BC于点。，。为A8上一点，经过点A,

。的。。分别交A3,AC于点E,F,连接OF交AO于点G.

（1）求证：8C是。。的切线；

（2）设AB=x,AF=y,试用含x,y的代数式表示线段4。的长：

（3）若BE=8,sinB=古，求。G的长，

【分析】（1）连接。C,由A。为角平分线得到一对角相等，再由等边对等角得到一对角相等，

等量代换得到内错角相等，进而得到。。与AC平行，得到。。与BC垂直，即可得证；

（2）连接。F,由（1）得到BC为圆。的切线，由弦切角等于夹弧所对的圆周角，进而得到三

角形AB。与三角形AO尸相似，由相似得比例，即可表示出A。；

（3）连接EF,设圆的半径为r,由sinB的值，利用锐角三角函数定义求出r的值，由直径所对

的圆周角为直角，得到EF与8c平行，得至sinNAEF=sinB,进而求出OG的长即可.

【解答】（1）证明：如图，连接

〈A。为NBAC的角平分线,

：.ZBAD=ZCADf

\'OA=ODf

：.ZODA=ZOADf

：.ZODA=ZCAD,

：.OD//AC,

VZC=90°,

・・・NOOC=90°,

:.OD1BC,

・・・BC为圆。的切线；

(2)解：连接DR由(1)知3C为圆。的切线，

：.ZFDC=ZDAFf

；・NCDA=NCFD,

：.ZAFD=ZADB,

,/NBAD=ZDAF,

J△A8£>s

ABADgp

A=2AB.AF

ADAFAD==

则AO=V^；

(3)解：连接EF,在RtZ\BO£>中，$皿8=黑=得,

设圆的半径为r,可得三=乂，

解得：r=5,

：.AE=W9AB=18,

TAE是直径,

AZAFE=ZC=90°,

:.EF〃BC,

：.NAEF=NB,

550

・・・AF=AE^sinZAEF=10X—,

1313

U：AF//OD,

••.4DrAB・AF=J18X泮-3。浮,

VXOxO

【点评】此题属于圆的综合题，涉及的知识有：切线的判定与性质，相似三角形的判定与性质,

锐角三角函数定义，勾股定理，以及平行线的判定与性质，熟练掌握各自的性质是解本题的关键.

四.填空题（共5小题，满分20分，每小题4分）

21.已知：加2-2"?-1=0,〃2+2〃-1=0且相口#1,则1m+n+L的值为3.

n

1Q1

【分析】将〃2+2〃-1=0变形为=1=0,据此可得加，上是方程d-2x-1=0的两根,

nnn

由韦达定理可得，*+工=2,代入1m+n+l=,"+]+!可得.

nnn

【解答】解：由n2+2n-1=0可知"W0.

12

A—7---1=0,

nn

又加2-2"?-1=0,且如即/nW—.

：.m,工是方程（-2X-1=0的两根.

n

/.m+-=2.

n

.,.-iu-n-+-n--+-1=m+\.l+.—I=2+1=3,□

nn

故答案为：3.

【点评】本题主要考查根与系数的关系，解题的关键是将方程变形后得出〃?，!是方程--2x-

n

1—0的两根及韦达定理.

22.如图，在矩形ABCO中，43=10,3c=8,以CQ为直径作。0.将矩形45co绕点C旋转,

使所得矩形4'B'CD'的边4'B'与。。相切，切点为E,边C。'与。。相交于点F,则CF

的长为8.

【分析】连接。E，延长E。交CD于点G,作。”C,由旋转性质知NB'=/B'CD'=

90°、A8=CD=10,BC=B'C=8,从而得出四边形OEB'H和四边形EB'CG都是矩形且

OE=OD=OC—S,继而求得CG=8'2VH2=4,根据垂径定理可得°尸的长.

【解答】解：连接OE,延长EO交CD于点G,OH±B'C于点H,

则/OEB'=NOHB'=90°,

；矩形ABCC绕点C旋转所得矩形为A'B'CD',

.\ZB'=NB'CD'=90°,AB=CD=\0,BC=B'C=8,

...四边形。EB'”和四边形EB，CG都是矩形，OE=OD=OC=5,

：.B'H=OE=5,

:.CH=B'C-B'H=3,

:.CG=B'E=OH=d℃2-C1{2=4,

•..四边形E8'CG是矩形，

：.ZOGC=90°,即。G_LC。'，

；.CF=2CG=8,

故答案为：8.

【点评】本题主要考查圆的切线的判定与性质，解题的关键是掌握矩形的判定与性质、旋转的性

质、切线的性质、垂径定理等知识点.

23.如图，将矩形48C。沿对角线AC剪开，再把△ACD沿C4方向平移得到△A1C。”连接A£>|,

BC\.若NAC8=30°,AB=1,CQ=x,则下列结论:

①△44。1父△CC1队

②当x=l时，四边形ABCiDi是菱形;

③当x=2时，为等边三角形.

其中正确的是①②③（填序号）.

【分析】①根据矩形的性质，得NZMC=NACB,再由平移的性质，可得出N4i=/AC8,A\D\

=CB,从而证出结论；

②根据菱形的性质，四条边都相等，可推得当Ci在AC中点时四边形A8G£>|是菱形.

③当x=2时，点Ci与点A重合，可求得8。=。5=8。1=2,从而可判断△B£»Di为等边三角

形.

【解答】解：①•••四边形ABC。为矩形，

：.BC=AD,BC//AD

J.ZDAC^ZACB

•.•把△AC。沿CA方向平移得到△4G。”

AZAi^ZDAC,AiDi^AD,AA\^CC\,

在△A1A£>|与△CCiB中，

'AA/CCi

.ZA^ZACB,

A[D[=CB

故①正确；

@VZACB=30",

AZCAB=60°,

：AB=1,

."C=2,

Vx=l,

/.ACi=1,

•,*/\AC\B是等边三角形，

：.AB=D\C\,

又43〃£>iG，

.,•四边形A5GG是菱形,

故②正确；

③如图所示：

则可得BD=DD\=BD\—2,

为等边三角形，故③正确.

故答案为：①②③.

【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质、矩形的性质、等边三角形的判定及解直角三角形

的知识，解答本题需要我们熟练掌握全等三角形的判定及含30°角的直角三角形的性质，有一定

难度.

24.如图，直线分别与双曲线、=皿(机>0,x>0),双曲线y=2(n>0,x>0)交于点A

3xx

和点8,且绊士，将直线y=3x向左平移6个单位长度后，与双曲线y=2交于点C,若SyBC

0A33x

=4,则皿的值为之，相〃的值为100.

n-25------

【分析】先求出直线y=^x向左平移6个单位长度后的解析式为尸全+4,那么直线)，=今+4

交),轴于E(0,4),作EFLOB于尸.根据互相垂直的两直线斜率之积为-1得出直线E尸的解

析式为尸--|.r+4,再求出F点的坐标，根据勾股定理求得EF,根据SMBC-4,求出AB,那

么根据器4,求得进而求出人B两点坐标，求出加、〃即可解决问题.

【解答】解：直线尸会向左平移6个单位长度后的解析式为尸］(x+6)，即尸全+4,

直线尸•|x+4交y轴于E(0,4),作E£L08于凡

可得直线EF的解析式为尸-■|x+4,

故答案为之，100.

25

【点评】本题考查反比例函数与一次函数的交点问题，待定系数法求直线的解析式，两点间的距

离公式，三角形的面积，函数图象上点的坐标特征等知识，综合性较强.解题的关键是灵活运用

所学知识解决问题.

25.如图，在菱形A8CO中，ZB=60°,对角线4c平分角/8AO,点P是△4BC内一点，连接

PA,PB、PC,若P4=6,PB=8,PC=10,则菱形4BC£>的面积等于50\伍+72.

【分析】将线段4尸绕点4顺时针旋转60°得到线段AM,连接PM,想办法证明/4PH=30°,

利用勾股定理求出AB的平方即可解决问题.

【解答】解：将线段AP绕点A顺时针旋转60°得到线段AM,连接自W,作A”,BP于从

•.•四边形ABC。是菱形,

：.AB=BC,VZABC=60°,

/.AABC是等边三角形，

,.・AM=4P,ZMAP=60°,

•••△AM尸是等边三角形，

•・•NM4尸=NA4C,

J.ZMAB^ZPAC,

：./\MAB^/^PAC,

：.BM=PC=W,

'：Pl^f+PB2=100,BM-=100