上海市奉贤区2020-2021学年九年级上学期期末数学试卷（中考一模）(含详解)

2020学年奉贤区质量调研九年级数学（202101）

一、选择题

1.将抛物线＞=2/向左平移1个单位后得到的抛物线表达式是（）

A.y=2x2-1B.y=2x'+1C.y=2(x+l>D.y=2(x-l)2

2.下列两个图形一定相似的是（）

A.两个菱形B.两个正方形C.两个矩形D.两个梯形

3.已知％5和不都是非零向量，下列结论中不能确定M//5的是（）

A同=忖B.2a=3bC.a//c,c//bD.a=-c,b=3c

2

3

4.在R/AABC中，ZC=90，如果AC=3,cosA=—，那么AB的长为()

4

9

A.-B.4C.5

4

5.如果。。和OU内含，圆心距。。2=4,。。的半径长是6,那么。&的半径r的取值范围是（）.

A.0<r<2B.2<r<4C.r>10D.0<r<2或厂>10

6.如图，在梯形ABC。中，AD〃BC、BC=3AD,对角线AC、交于点所是梯形ABC。的中位

线，EF与BD、AC分别交于点G、H,如果AOG”的面积为1，那么梯形ABCO的面积为（）

A.12B.14C.16D.18

二、填空题

7.如果2。=5人（厚0）,那么区=__.

b

8.如果4是。与8的比例中项，那么。的值为.

9.如果二次函数y=mx2+2x+m-l的图像经过点P（l,2）,那么m的值为

10.如果二次函数y=（x—1）2：的图像上有两点（2,y）和（4,8），那么y%（填“〉”、“=”或“<”）

11.如图，用一段篱笆靠墙围成一个大长方形花圃（靠墙处不用篱笆），中间用篱笆隔开分成两个小长方形区

域，分别种植两种花草，篱笆总长为17米（恰好用完），围成的大长方形花圃的面积为24平方米，设垂直于

墙的一段篱筐长为x米，可列出方程为.

X

12.如果两个相似三角形的周长之比为1:4,那么这两个三角形对应边上的高之比为

13.己知点P是线段AB上一点，且如果AP=2厘米，那么BP=（厘

米）.

14.已知某斜坡的坡度1：3,当铅垂高度为3米时，水平宽度为米

15.如果点G是AABC的重心，AG=6,那么8C边上的中线长为.

16.如图，已知点。在A48c的边8C上，联结为AO上一点，过点尸分别作A3、AC的平行线交

Ap

BC于点E,F,如果3C=3EF,那么——=.

PD

17.当两条曲线关于某直线/对称时，我们把这两条曲线叫做关于直线/的对称曲线，如果抛物线

G：y=Y-2%与抛物线C2关于直线x=-l的对称曲线，那么抛物线C2的表达式为

18.如图，在RfAABC中，NACB=90°,AC=3,8C=4,C。是八48c的角平分线，将RfAABC绕点A

旋转，如果点。落在射线CO上，点8落在点£处，连接ED,那么NA£Z)的正切值为

三、解答题

19.已知。：匕=2:3,b:c=3:4,且2a+Z?—c=6,求。力,c的值

20.如图，已知抛物线y=—f+ax+3与》轴于点A，且对称轴是直线x=l.

(1)求”的值与该抛物线顶点尸的坐标；

(2)已知点8的坐标为(1,—2),设砺=£,9=5,用向量£,坂表示OB.

21.如图，在AABC中，AB=AC<,BC=2,过点3作BO_LAC,垂足为点。

(1)求cot/ACB的值；

(2)点E是区0延长线上一点，联结CE,当NE=NA时，求线段CE的长.

22.如图，是一个手机的支架，由底座、连杆A3、BC、8和托架组成(连杆A3、BC、CD始终在同

一平面内），连杆A8垂直于底座且长度为8.8厘米，连杆6C的长度为1（）厘米，连杆CO的长度可以进行

伸缩调整.

（1）如图，当连杆A3、在一条直线上，且连杆CO长度为9.2厘米，288=143°时，求点。到

底座的高度（计算结果保留一位小数）

（2）如图，如果ZBC£>=143。保持不变，转动连杆8C,使得NABC=150。，假如AO〃3c时为最佳

视线状态，求最佳视线状态时连杆CO长度（计算结果保留一位小数）（参考数据：

sin53°»0.80,cos53°«0.60,cot53°20.75）

23.如图，在四边形4BCO中，NB=NDCB,联结AC.点E在边上，且NCDE=NC4T),OE与AC

交于点F,CECB=ABCD.

(1)求证：AD//BC-.

(2)当A£)=DE时，求证：AF2=CFCA.

24.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=—g*2+云+C与X轴正半轴交于点4(4,0),与y轴交

于点8(0,2),点。在该抛物线上且在第一象限.

(1)求该抛物线的表达式；

(2)将该抛物线向下平移〃，个单位，使得点C落在线段A3上的点。处，当=时，求加的值；

⑶联结6C,当NC84=2NBAO时，求点。的坐标.

25.己知圆。的直径45=4,点尸为弧A3上一点，联结E4、PO,点C为劣弧AP上一点(点C不与点

A、P重合)，联结8C交24、PO于点。、E

(1)如图，当cosNCBO=一时，求6c长；

（2）当点。为劣弧4尸的中点，且与AAOP相似时，求NA8C的度数;

（3）当A£>=2OP,且MEO为直角三角形时.求四边形AOEO的面积.

2020学年奉贤区质量调研九年级数学(202101)

一、选择题

1.将抛物线＞=2/向左平移1个单位后得到的抛物线表达式是()

A.y=2x2-lB.y=2x2+lC.y=2(x+l)2D.y=2(x-l)2

【答案】C

【解析】

【分析】

根据抛物线平移的规律“上加下减，左加右减”即可选择.

【详解】原抛物线向左平移1个单位后得：

y=2(x+l)2.

故选C.

【点睛】本题考查抛物线平移与抛物线解析式的变化规律.掌握其规律“上加下减，左加右减”是解答本

题的关键.

2.下列两个图形一定相似的是()

A.两个菱形B.两个正方形C.两个矩形D.两个梯形

【答案】B

【解析】

【分析】

对应边成比例，对应角相等的两个四边形相似，根据定义逐一判断各选项即可得到答案.

【详解】解：两个菱形满足对应边成比例，但是对应角不一定相等，所以两个菱形不一定相似，故A不符

合题意；

两个正方形满足对应边成比例，对应角相等，所以两个正方形一定相似，故5符合题意；

两个矩形满足对应角相等，但是对应边不一定成比例，故C不符合题意；

两个梯形的对应边不一定成比例，对应角也不一定相等，故。不符题意；

故选：B.

【点睛】本题考查的是四边形相似的判定，掌握多边形相似的判定是解题的关键.

3.已知由5和［都是非零向量，下列结论中不能确定2//日的是()

A.同=MB.2a=3bc.a//c,cIlbD.a=^c,b=3c

【答案】A

【解析】

【分析】

根据方向相同或相反的非零向量叫做平行向量，对各选项分析判断后利用排除法求解.

【详解】

解：A、该等式只能表示坂的模相等，但不一定平行，故本选项符合题意；

B、由2^=36，可以判定al1b故本选项不符合要求；

C、由3//"，3//2可以判定2//坂,故本选项不符合题意；

_1_一一一一

D、由a=/C,b=3c>可知B=6a，可以判定a//B，故本选项不符合题意；

故选:A.

【点睛】本题主要考查了平行向量，掌握平行向量是解题的关键.

3

4.在R/AA6C中，NC=90°，如果AC=3,cosA=-,那么A8的长为（）

4

925

A.—B.4C.5D.—

44

【答案】B

【解析】

【分析】

AC3

根据cosA=——=-,即可得出AB的值

AB4

【详解】解：在RtZiABC中,ZC=90°,AC=3,

p、AC3

又•:cosA=---=—,

AB4

；.AB=4

故选：B.

【点睛】本题考查锐角三角函数的定义，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型.

5.如果。。和。Q内含，圆心距QQ=4,。。的半径长是6,那么。。2的半径广的取值范围是（）.

A.0<r<2B.2<r<4C.r>10D.0<r<2或r>10

【答案】D

【解析】

【分析】

根据题意得04。。2<|6-「|，结合。1。2=4,通过求解不等式，即可得到答案.

【详解】根据题意得：04«。2<|6一厂|，r>0

0|Q=4

4<|6-r|

6—r>4或6—r<T

0<r<2或厂>10

，。。2的半径「的取值范围是：0<r<2或厂>10

故选：D.

【点睛】本题考查圆与圆内含、绝对值、一元一次不等式的知识；解题的关键是熟练掌握圆与圆内含、绝

对值、一元一次不等式的性质，从而完成求解.

6.如图，在梯形ABCO中，AD//BC,BC=3AD,对角线AC、3。交于点。,反是梯形的中位

线，EF与BD、AC分别交于点G、H,如果AOGH的面积为1，那么梯形A3CZ）的面积为（）

A.12B.14C.16D.18

【答案】C

【解析】

【分析】

设AD=2x,BC=6x,根据EF是梯形ABCD的中位线，求得EG=FH=—/4£)=x,GF=—BC=3x,证得GH=AD,

22

由此得到见0GH=SMOO=1,Sgoc=3SbOGH=9，5.08=5^00=35^00=3,即可求出答案.

【详解】设AD=2x,BC=6x,

•・,EF是梯形ABCD的中位线,

・・・点E、F、G、H分别为AB、CD、BD、AC的中点，EF〃AD〃BC,

EF=^(AD+BC)=4x,

EG=FH=—AD=x,GF=—BC=3x,

22

/.GH=2x,

AGH=AD,

VGH//AD,

.,.△OAD^AOHG,

ODAD

.t•-------------=],

OGGH

・・OG=OD,S80GH—=1»

・.,GH〃BC,

.,.△OGH^AOBC,

GH_2x

•BC"6x"3

^ABOC=9S4OGH~9，

•・・O是DG的中点，G是BD的中点，

,•*^MOe=S&O0c=3sMOD=3»

SABCD=1+3+3+9=16,

故选：C.

【点睛】此题考查梯形中位线的性质定理，三角形中位线的性质定理，同底或同高三角形面积的关系，相

似三角形的性质，这是一道与中位线相关的综合题.

二、填空题

7.如果2。=5。(厚0),那么巴=_.

b

【答案】-

2

【解析】

【分析】

利用比例的基本性质可得答案.

【详解】解：；2a=56(厚0),

.a_5

••—•

b2

故答案为：一

2

【点睛】本题考查的是比例的基本性质，掌握基本性质是解题的关键.

8.如果4是。与8的比例中项，那么。的值为.

【答案】2

【解析】

【分析】

根据比例中项的概念：如果。、b、c三个量成连比例，即a:Z?=Z?:c,〃叫作。和c的比例中项，即可求

解.

【详解】是。与8的比例中项，

a:4=4:8,

即4?=8。，

a=2.

故答案为：2.

【点睛】本题考查了比例中项的概念，熟练掌握比例中项的概念是解题的关键.

9.如果二次函数y=/m：2+2x+机—1的图像经过点尸(1,2),那么血的值为一.

【答案】—

2

【解析】

【分析】

把尸(1,2)代入函数解析式，得出关于的m方程，解方程即可得到答案.

【详解】解：；二次函数,=如2+2无+机一1的图象经过点尸(1,2),

机+2+机—1=2,

解得：m=~,

2

故答案为：—.

2

【点睛】本题考查了二次函数图象的性质，理解图象上点坐标的意义是解答此题的关键.

10.如果二次函数y=0-1产的图像上有两点(2,y)和(4,%),那么弘%(填“>"、"=''或"<")

【答案】<

【解析】

【分析】

分别计算出自变量为2和4时所对应的函数值，然后比较函数值对的大小即可.

【详解】解：二•点(2,以)、(4,y2)是二次函数产(x-1)2图象上的两点，

；.力=(2-1)2=1；>2=(4-1)2=32=9,

；.力勺2，

故答案为丫1<丫2"

【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式.

11.如图，用一段篱笆靠墙围成一个大长方形花圃(靠墙处不用篱笆)，中间用篱笆隔开分成两个小长方形区

域，分别种植两种花草，篱笆总长为17米(恰好用完)，围成的大长方形花圃的面积为24平方米，设垂直于

墙的一段篱筐长为x米，可列出方程为.

X

【答案】x(17-3x)=24

【解析】

【分析】

垂直于墙的一段篱筐长为x米，共有三段垂直于墙的篱笆，所以垂直于墙的篱笆总长度为3x,又因为篱笆

总长为17米(恰好用完)，所以大长方形花圃的长为(17-3x)米，最后根据长方形的面积公式即可求解.

【详解】解：由题意可得：x(17-3x)=24.

故答案为：x(17-3x)=24.

【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是注意大长方形花圃的宽有三段都是篱笆.

12.如果两个相似三角形的周长之比为1：4,那么这两个三角形对应边上的高之比为

【答案】1:4

【解析】

【分析】

根据相似三角形的性质求出相似比，得到对应边上的高之比.

【详解】解：•••两个相似三角形的周长比为1：4,

两个相似三角形的相似比为1：4,

...这两个三角形对应边上的高之比为1：4,

故答案为：1：4.

【点睛】本题考查的是相似三角形的性质，熟知相似三角形对应高的比等于相似比是解答此题的关键.

13.已知点P是线段AB上一点，且5尸如果AP=2厘米，那么BP=(厘

米).

【答案】1+V5

【解析】

【分析】

设3尸=%厘米，得AB=2+x厘米，根据题意得f=2X(2+X),通过求解方程，即可得到答案.

【详解】设BP=x厘米，

根据题意得：AB=AP+BP=2+x厘米

BP2=APAB

：.x2=2x(2+x)

x=1±Vs

1-V5<0，故舍去；

，x=l+石，即8P=1+6厘米

故答案为：1+石.

【点睛】本题考查了一元二次方程、二次根式、线段的知识；解题的关键是熟练掌握一元二次方程、二次

根式的性质，从而完成求解.

14.已知某斜坡的坡度1：3,当铅垂高度为3米时，水平宽度为米

【答案】9

【解析】

【分析】

根据斜坡是铅垂高度与水平距离比值，而这个斜坡的坡度为1:3,铅垂高度为3米，从而求出斜坡的水平

宽度.

【详解】解：；斜坡的坡度为1:3,其铅垂高度为3米，

这个斜坡的水平宽度为：3x3=9米，

故答案为：9.

【点睛】本题考查解直角三角形应用中的坡度坡角问题，解题的关键是明确坡度是指斜坡的铅直高度与

水平距离的比值.

15.如果点G是小钻C的重心，AG=6,那么边上的中线长为一一

【答案】9

【解析】

【分析】

根据三角形的重心到一顶点的距离等于到对边中点距离的2倍求得DG=3,继而求得边上的中线长为9.

【详解】•.•三角形的重心到顶点的距离是其到对边中点的距离的2倍，

/.DG=—AG=—X6=3,

22

；.AD=AG+GD=6+3=9.

即3c边上的中线长为9.

故答案为：9.

/GJ\

BDC

【点睛】本题考查的是三角形重心的性质，熟知三角形的重心到顶点的距离是其到对边中点的距离的2倍

是解决问题的关键.

16.如图，已知点。在A48C的边8c上，联结为上一点，过点P分别作A3、AC的平行线交

AP

BC于点£凡如果3C=3M,那么一

PD

【答案】2

【解析】

【分析】

pnnpnppniAP

根据平行线分线段成比例性质可得一=—=——，再由等比性质可得一=—,即可得出"=2.

ADBDCDAD3PD

【详解】解：；PE〃AB,PF//AC,

.PDDEPDDF

"AD~BD'AD~CD'

.DEDF

"~BD~~CD'

；BC=3EF,

.DE+DFEF\

"BD+CD

.PDPD1

AP+PD~3'

答案：2.

【点睛】本题考查了平行线分线段成比例性质，掌握平行线分线段成比例性质定理及等比性质是解答此题

的关键.

17.当两条曲线关于某直线/对称时，我们把这两条曲线叫做关于直线/的对称曲线，如果抛物线

G：y=/-2x与抛物线G关于直线％=—1的对称曲线，那么抛物线。2的表达式为

【答案】y=(x+3)2-l

【解析】

【分析】

先把抛物线G的解析式写成顶点式得到顶点坐标，根据对称的关系得到。2的顶点坐标，从而得到c2的解

析式.

【详解】解：0:y=x2—2x=(x—lp—l,

•••顶点坐标是

点关于直线x=T对称的点是。'(一3,-1),

C2:y=(x+3/—1.

故答案为：y=(x+3)~—1.

【点睛】本题考查二次函数图象的性质，解题的关键是掌握二次函数图象的性质.

18.如图，在用AABC中，44。3=90。,47=3,5。=4,8是418。的角平分线，将MAABC绕点A

旋转，如果点C落在射线CO上，点5落在点E处，连接ED,那么NAE。的正切值为

3

【答案】-

7

【解析】

【分析】

AQAQ3

如图，过点D作DGLAC于G,可得DG//BC,即可证明△AGDs/\ACB,可得——=——=一，由CD

DGBC4

是角平分线可得/ACD=45。，可得CG=DG,进而可求出AG的长，根据勾股定理即可求出AD的长，根据

旋转的性质可得AC'=AC,AE=AB,根据等腰三角形的性质可得NCC'A=45°,可得NCAC'=90°,可

得旋转角为90°,可得NDAE=90。，利用勾股定理可求出AB的长，根据正切的定义即可得答案.

【详解】如图，过点D作DGLAC于G,

,/ZACB=90°,

ADG//BC,

“〜AGAC3

/.△AGD^AACB,可得——=——=-,

DGBC4

〈CD是角平分线,

，ZACD=45°,

.\CG=DG,

VAC=3,AC=AG+CG,

37

A-DG+CG=3,即一。G=3,

44

解得：DG=—，

7

9

・・AG=一,

7

-#-AD=7£)G2+AG2=y

•・•将用AABC绕点A旋转，如果点。落在射线CD上,

・・・AC'=AC,AE=AB,

・・・NCC'A=ZACD=45°,

・・・NCAU=90°,

・,・旋转角为90。，

・・,ZDAE=90°,

VAC=3,BC=4,

AAB=5,

3

故答案为：一

7

【点睛】本题考查旋转的性质、相似三角形的判定与性质及三角函数的定义，正确得出旋转角为90°并熟

练掌握相关性质及定义是解题关键.

三、解答题

19.已知a:h=2:3,Z?:c=3:4,且2〃+6-c=6，求的值

【答案】。=4,b=6,c=8.

【解析】

【分析】

根据比的性质，可得a,b,c用k表示，根据解方程，可得k的值，即可得答案.

【详解】•：a:b=2:3,〃：c=3:4,

・,•设a=2Z,b=3k,c=4k,

.•.2・（2%）+3左一4%=6,整理得：3k=6,

解得：k=2,

•=Q=2Z=4,b=3k=6,c=4Z=8.

【点睛】本题考查了比例的性质，利用比例的性质得出a=2%,b=3k,c=4Z是解题关键.

20.如图，已知抛物线y=—f+ax+3与y轴于点A，且对称轴是直线x=l.

（1）求"的值与该抛物线顶点P的坐标；

（2）己知点8的坐标为（1,一2）,设。^=3,而=5,用向量坂表示OB.

【答案】⑴a=2,顶点尸（1,4）；⑵-2a+b

【解析】

【分析】

（1）根据对称轴方程可求出a值，即可得出抛物线的解析式，化成二次函数的顶点式即可得顶点坐标；

（2）根据二次函数解析式可得出A点坐标，根据B、P两点坐标可得PB//OA,PB=2OA,可用a表示出PB,

进而根据O后=OP+方可表示出OB.

【详解】（1）•.•对称轴是直线x=l,

----------=1,

2x(-1)

解得:a=2,

二抛物线的解析式为y=—x2+2x+3=—(x—l『+4,

顶点P坐标为(1,4).

(2)y=—x2+2x+3,

当x=0时,y=3,

AA(0,3),

AOA=3,

VP(1,4),B(1,-2),

PB//OA,PB=6,

APB=2OA,

；•而=2而=-2£，

^-OB=OP+PB=-2a+b-

【点睛】本题考查二次函数的性质及平行向量的计算，熟练掌握二次函数的性质及向量的运算法则是解题

关键.

21.如图，在AABC中，AB=AC<,BC=2,过点5作3O_LAC,垂足为点。

(1)求cotNACB的值；

⑵点E是&)延长线上一点，联结CE,当NE=NA时，求线段CE的长.

【答案】(1)」；(2)且

22

【解析】

【分析】

(1)作AGLBC于点G,根据等腰三角形三线合一性质得到aAGC为直角三角形，然后根据勾股定理计

算AG的长，然后计算cotNACB的值；

(2)先利用等面积法计算BD长度，然后利用cot/ACB的值计算出CD的长的，然后证明

^ADB〜AEDC，利用比例关系计算CE即可.

【详解】解析：(1)如图，作AGLBC于点G

AB=AC,

.\CG=-BC=1,AG±BC,

2

在RtAAGC中由勾股定理可得AG=7AC2-CG2=X/5^1=2，

/.cotNACB=,

AG2

(2)VS=-AGBC=-BDAC,

Z/AX/IADICi-C22

•DU=---,

5

cotZ.ACB=—,

2

.CD1

•一,

BD2

•3=拽，

5

;ZBAC=NE,

•2DB~^EDC,

ECCD\

,刘一丽一3'

•.EC=-AB=—.

22

【点睛】本题主要考查余切的计算以及利用相似计算线段长度，构造辅助线，转化角是解题的关键.

22.如图，是一个手机的支架，由底座、连杆AB、BC、CD和托架组成（连杆A3、BC、始终在同

一平面内），连杆AB垂直于底座且长度为8.8厘米，连杆8C的长度为10厘米，连杆CO的长度可以进行

伸缩调整.

（1）如图，当连杆A&在一条直线上，且连杆C。的长度为9.2厘米，288=143。时，求点。到

底座的高度（计算结果保留一位小数）

（2）如图，如果ZBCE>=143°保持不变，转动连杆3C,使得NA5c=150。，假如时为最佳

视线状态，求最佳视线状态时连杆CO的长度（计算结果保留一位小数）（参考数据：

sin53°«0.80,cos53°«0.60,cot53°«0.75）

【答案】(I)26.2cm；(2)7.3cm

【解析】

【分析】

CE

(1)过点。作交BC的延长线于点E,先求解NO=53。，再利用sin。=(/，求解CE,

从而可得答案；

(2)作垂足分别为瓦尸，证明：四边形为矩形，求解：

ZBAE=30,BE=-AB=4.4,从而可得CF的长度，再利用NDCF=53。，利用锐角三角函数可得答

2

案.

【详解】解：(1)过点。作OEJ_BC,交8c的延长线于点£

A

.•ZBCD=143°

:.NECD=3T，NEDC=53°

EC=CD・sinZD=9.2x0.8=7.36

A£=AB+8C+CE=10+8.8+7.36=26.16a26.2cm

・•.O到底面高度为26.2C77?；

(2)作8E_LAr),CR，C。，垂足分别为瓦产

c

吓、/

/E

f/

A

QBC//AD,

，四边形BEFC为矩形,

:.BE=CF,

ZABC=]50\BC//AD,

：.NBAE=30,BE=LA6=4.4

2

：.CF=BE^4.4,

vZBCD=143°,ZBCF=90°,

NDCF=143°-90°=53°,

CF

CD==4.4+0.6a7.3cm,

cos/.DCF

:.CD长度为7.3cm.

【点睛】本题考查的是解直角三角形，矩形的判定与性质，掌握以上知识是解题的关键.

23.如图，在四边形ABCO中，N3=NOC8,联结AC.点E在边上，且NCOE=NCA£>,OE与AC

交于点F,CECB=ABCD.

(1)求证：AD//BC；

⑵当AO=D石时，求证：AF2=CFCA.

【答案】(1)见解析；(2)见解析

【解析】

【分析】

(1)证明AACB〜A£DC可得/ACB=/EDC=/CAD,从而可得结论;

(2)根据ASA证明AAZJF=ADEC,得到AF=DC,再证明AFCD〜ADC4,得至UFC»CA=CD2，即

可得到结论.

【详解】解：(1)•:/B=/DCB,且CE-CB=4?・Cr)，即上三=——

ABCB

：.MC5-AEDC

ZACB=^CDE

NCDE=NCAD

二ZACB=ZCAD

AD!IBC

(2)AD//BC

.\ZADE=ZCED

在AADF和4DEC中，

ZFAD=ZEDC

<AD=CE

ZADF=ZDEC

.,.△ADF^ADEC

AF=DC

又：NCDF=NCAD,ZFCD=ZACD

AFCD-ADC4

FCCD,

»即nnFC-C4=C£>2

CDCA

二AF2=CFCA

【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质，解题的关键是利用相似三角形

的性质找出比例式.

24.如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=—gf+法+C与X轴正半轴交于点A(4,0),与y轴交

于点8(0,2),点。在该抛物线上且在第一象限.

（1）求该抛物线的表达式；

（2）将该抛物线向下平移，"个单位，使得点。落在线段AB上的点。处，当时，求加的值；

（3）联结BC,当NCB4=2NB4O时，求点C的坐标.

133

【答案】（1）y=—%2H—x+2；（2）/n——；（3）C（2,3）

222'"

【解析】

【分析】

（1）把A、B两点坐标代入解析式，解二元一次方程求出a、b即可；

（2）根据45=3%）,求出点D的坐标，把横坐标代入解析式，求出C点纵坐标，求差即可；

（3）延长CB交x轴于点F因NCBA=2NBA0,所以，BA=BF可求F坐标（-4,0）,求出BC析式，再

求它与抛物线交点即可.

【详解】解：（1）把4（4,0）、8（0,2）代入丁=一；/+云+0得

-8+4b+c=0

、c=2'

；3

h——

解得：\2

c=2

1.3

抛物线的解析式为y=-5X2+5X+2；

（2）抛物线向下平移时，C点所在直线交x轴于点E,

V

DEAEAD1

而一茄一罚一1

:.DE^-BO=-,AE^-OA=l,

424

i3

把x=3代入y=——x2+=x+2得

22

1,3

y=--32+--3+2=2,

-22

24=1

3

m=—；

2

(3)•.•点C在第一象限，连接CB并延长，交x轴于点F,

/CBA=2ZBA0,ZCBA=ZBAO+ZBFO,

.\ZBAO=ZBFO,

；.BA=BF,

，F点于A点关于y轴对称，

；.F点的坐标为F(40),

由B(0,2)易求BC解析式为：y=—x+2,

与抛物线解析式联立方程组，

1C

y=—x+2

2

13,

y=——x2+—X+2

-22

x=2

b=3

.-.C(2,3).

y

【点睛】本题考查了用待定系数法求抛物线解析式、抛物线的平移、比例线段、等腰三角形的性质，注意

知识之间的联系，综合运用知识的能力是解题关键.

25.已知圆。的直径AB=4,点P为弧AB上一点，联结E4、PO,点C为劣弧AP上一点（点C不与点

A、P重合），联结8C交24、PO于点、D、E

7

（1）如图，当cosNCBO=w时，求6C的长；

（2）当点。为劣弧AP的中点，且与AAQP相似时，求NA8C的度数；

⑶当A£>=2OP，且ABEO为直角三角形时.求四边形A0