四川省苍溪县2023届高三数学第一次月考试卷文

④三．解答题〔共六道题，其中17题10分，其余各题均12分〕给定两个命题，命题p：对任意实数都有恒成立，命题q：关于的方程有实数根．假设“p∨q〞为真命题，“p∧q〞为假命题，那么实数的取值范围。18．设关于x的函数的定义域为集合A，函数的值域为集合B.(1)求集合A，B；(2)假设集合A，B满足,求实数的取值范围.19.设函数f(x)＝x＋ax2＋blnx，曲线y＝f(x)过P(1,0)，且在P点处的切线斜率为2.(1)求a，b的值；(2)令g(x)＝f(x)－2x＋2，求g(x)在定义域上的最值．解(1)f′(x)＝1＋2ax＋eq\f(b,x)(x>0)，又f(x)过点P(1,0)，且在点P处的切线斜率为2，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(f1＝0，,f′1＝2，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1＋a＝0，,1＋2a＋b＝2.))解得a＝－1，b＝3.(2)由(1)知，f(x)＝x－x2＋3lnx，其定义域为(0，＋∞)，∴g(x)＝2－x－x2＋3lnx，x>0，那么g′(x)＝－1－2x＋eq\f(3,x)＝－eq\f(x－12x＋3,x).当0<x<1时，g′(x)>0；当x>1时，g′(x)<0.所以g(x)在(0,1)内单调递增，在(1，＋∞)内单调递减．∴g(x)的最大值为g(1)＝0，g(x)没有最小值．20.函数f(x)对任意的m、n∈R，都有f(m＋n)＝f(m)＋f(n)－1，并且x＞0时，恒有f(x)＞1.(1)求证：f(x)在R上是增函数；(2)假设f(3)＝4，解不等式f(a2＋a－5)＜2.(1)证明：设x1＜x2，∴x2－x1＞0，当x＞0时，f(x)＞1，∴f(x2－x1)＞1.f(x2)＝f[(x2－x1)＋x1]＝f(x2－x1)＋f(x1)－1，∴f(x2)－f(x1)＝f(x2－x1)－1＞0⇒f(x1)＜f(x2)∴f(x)在R上为增函数．(2)∵m，n∈R，不妨设m＝n＝1，∴f(1＋1)＝f(1)＋f(1)－1⇒f(2)＝2f(1)－1，f(3)＝4⇒f(2＋1)＝4⇒f(2)＋f(1)－1＝4⇒3f(1)－2＝4，∴f(1)＝2，f(2)＝2×2－1＝3，∴f(a2＋a－5)＜2＝f(1)，∵f(x)在R上为增函数，∴a2＋a－5＜1⇒－3＜a＜2即a∈(－3,2)．21．函数f(x)＝eq\f(x,lnx)＋ax，x＞1.(1)假设f(x)在(1，＋∞)上单调递减，求实数a的取值范围；(2)假设方程(2x－m)lnx＋x＝0在(1，e]上有两个不等实根，求实数m的取值范围．解：(1)∵f(x)＝eq\f(x,lnx)＋ax，x＞1.∴f′(x)＝eq\f(lnx－1,ln2x)＋a.由题意可得f′(x)≤0，即a≤eq\f(1,ln2x)－eq\f(1,lnx)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,lnx)－\f(1,2)))eq\s\up12(2)－eq\f(1,4)，对x∈(1，＋∞)恒成立．∵x∈(1，＋∞)，∴lnx∈(0，＋∞)，∴eq\f(1,lnx)－eq\f(1,2)＝0时，函数t(x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,lnx)－\f(1,2)))eq\s\up12(2)－eq\f(1,4)的最小值为－eq\f(1,4)，∴a≤－eq\f(1,4).(2)∵x＞1，∴(2x－m)lnx＋x＝0⇔2x－m＋eq\f(x,lnx)＝0⇔m＝eq\f(x,lnx)＋2x，∴方程(2x－m)lnx＋x＝0在(1，e]上有两个不等实根，即函数f(x)与函数y＝m在(1，e]上有两个不同的交点．由(2)可知，f(x)在(1，eeq\f(1,2))上单调递减，在(eeq\f(1,2)，e]上单调递增且f(eeq\f(1,2))＝4eq\r(e)，f(e)＝3e，∴当x→1时，eq\f(x,lnx)→＋∞，∴4eq\r(e)＜m≤3e，故实数m的取值范围是(4eq\r(e)，3e]．22．设函数f(x)＝lnx－x＋1.(1)讨论f(x)的单调性；(2)证明当x∈(1，＋∞)时，1<eq\f(x－1,lnx)<x；(3)设c>1，证明当x∈(0，1)时，1＋(c－1)x>cx.解：(1)由题设，f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝eq\f(1,x)－1，令f′(x)＝0解得x＝1.当0<x<1时，f′(x)>0，f(x)单调递增；当x>1时，f′(x)<0，f(x)单调递减．(2)证明：由(1)知f(x)在x＝1处取得最大值，最大值为f(1)＝0，所以当x≠1时，lnx<x－1.故当x∈(1，＋∞)时，lnx<x－1，lneq\f(1,x)<eq\f(1,x)－1，即1<eq\f(x－1,lnx)<x.(3)证明：由题设c>1，设g(x)＝1＋(c－1)x－cx，那么g′(x)＝c－1－cxlnc，令g′(x)＝0，解得x0＝eq\f(ln\f(c－1,lnc),lnc)，当x<x0时，g′(x)>0，g(