（全国通用）2023高考数学一轮复习第6章不等式、推理与证明第2节二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题教师用书文新人教A版

PAGEPAGE16第二节二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题————————————————————————————————[考纲]1.会从实际情境中抽象出二元一次不等式组.2.了解二元一次不等式的几何意义，能用平面区域表示二元一次不等式组.3.会从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题，并能加以解决．1．二元一次不等式(组)表示的平面区域不等式表示区域Ax＋By＋C>0直线Ax＋By＋C＝0某一侧的所有点组成的平面区域不包括边界直线Ax＋By＋C≥0包括边界直线不等式组各个不等式所表示平面区域的公共局部2.线性规划中的相关概念名称意义约束条件由变量x，y组成的不等式(组)线性约束条件由x，y的一次不等式(或方程)组成的不等式组目标函数关于x，y的函数解析式，如z＝2x＋3y等线性目标函数关于x，y的一次解析式可行解满足线性约束条件的解(x，y)可行域所有可行解组成的集合最优解使目标函数取得最大值或最小值的可行解线性规划问题在线性约束条件下求线性目标函数的最大值或最小值问题1．(思考辨析)判断以下结论的正误．(正确的打“√〞，错误的打“×〞)(1)不等式Ax＋By＋C>0表示的平面区域一定在直线Ax＋By＋C＝0的上方．()(2)线性目标函数的最优解可能不唯一．()(3)目标函数z＝ax＋by(b≠0)中，z的几何意义是直线ax＋by－z＝0在y轴上的截距．()(4)不等式x2－y2<0表示的平面区域是一、三象限角的平分线和二、四象限角的平分线围成的含有y轴的两块区域．()[答案](1)×(2)√(3)×(4)√2．(教材改编)不等式组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－3y＋6<0，,x－y＋2≥0))表示的平面区域是()C[x－3y＋6<0表示直线x－3y＋6＝0左上方的平面区域，x－y＋2≥0表示直线x－y＋2＝0及其右下方的平面区域，应选C.]3．(2022·全国卷Ⅲ)假设x，y满足约束条件eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－y＋1≥0，,x－2y≤0，,x＋2y－2≤0，))那么z＝x＋y的最大值为________．eq\f(3,2)[不等式组表示的平面区域如图中阴影局部．由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－2y＝0，,x＋2y－2＝0))得Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(1,2))).当直线z＝x＋y过点Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(1,2)))时，zmax＝1＋eq\f(1,2)＝eq\f(3,2).]4．(2022·保定调研)在平面直角坐标系xOy中，假设点P(m,1)到直线4x－3y－1＝0的距离为4，且点P(m,1)在不等式2x＋y≥3表示的平面区域内，那么m＝__________.6[由题意得eq\f(|4m－3－1|,5)＝4及2m＋1≥3，解得m＝6.]5．在平面直角坐标系中，不等式组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x≥1，,x＋y≤0，,x－y－4≤0))表示的平面区域的面积是__________.【导学号：31222202】1[不等式组表示的区域如图中的阴影局部所示，由x＝1，x＋y＝0得A(1，－1)，由x＝1，x－y－4＝0得B(1，－3)，由x＋y＝0，x－y－4＝0得C(2，－2)，∴|AB|＝2，∴S△ABC＝eq\f(1,2)×2×1＝1.]二元一次不等式(组)表示的平面区域(1)(2022·浙江高考)假设平面区域eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y－3≥0，,2x－y－3≤0，,x－2y＋3≥0))夹在两条斜率为1的平行直线之间，那么这两条平行直线间的距离的最小值是()A.eq\f(3\r(5),5) B.eq\r(2)C.eq\f(3\r(2),2) D.eq\r(5)(2)(2022·衡水中学调研)假设不等式组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－y＋5≥0，,y≥a，,0≤x≤2))表示的平面区域是一个三角形，那么a的取值范围是()【导学号：31222203】A．a<5 B．a≥7C．5≤a<7 D．a<5或a≥7(1)B(2)C[(1)根据约束条件作出可行域如图阴影局部，当斜率为1的直线分别过A点和B点时满足条件，联立方程组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y－3＝0，,x－2y＋3＝0))求得A(1,2)，联立方程组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x－y－3＝0，,x＋y－3＝0))求得B(2,1)，可求得分别过A，B点且斜率为1的两条直线方程为x－y＋1＝0和x－y－1＝0，由两平行线间的距离公式得距离为eq\f(|1＋1|,\r(2))＝eq\r(2)，应选B.(2)如图，当直线y＝a位于直线y＝5和y＝7之间(不含y＝7)时满足条件，应选C.][规律方法]1.可用“直线定界、特殊点定域〞的方法判定二元一次不等式表示的平面区域，假设直线不过原点，特殊点常选取原点．2．不等式组表示的平面区域是各个不等式所表示的平面区域的交集，画出图形后，面积关系结合平面几何知识求解．[变式训练1]不等式组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y－2≥0，,x＋2y－4≤0，,x＋3y－2≥0))表示的平面区域的面积为__________．4[不等式组表示的平面区域为如下图的阴影局部．由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋3y－2＝0，,x＋2y－4＝0))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝8，,y＝－2，))∴A(0,2)，B(2,0)，C(8，－2)．直线x＋2y－4＝0与x轴的交点D的坐标为(4,0)．因此S△ABC＝S△ABD＋S△BCD＝eq\f(1,2)×2×2＋eq\f(1,2)×2×2＝4.]简单的线性规划问题eq\a\vs4\al(☞)角度1求线性目标函数的最值(1)(2022·全国卷Ⅱ)假设x，y满足约束条件eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－y＋1≥0，,x＋y－3≥0，,x－3≤0，))那么z＝x－2y的最小值为________．(2)(2022·福州质检)实数x，y满足eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y≤2，,x≥\f(1,2)，,y≥x，))且数列4x，z,2y为等差数列，那么实数z的最大值是__________．(1)－5(2)3[(1)不等式组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－y＋1≥0，,x＋y－3≥0，,x－3≤0))表示的可行域如图阴影局部所示．由z＝x－2y得y＝eq\f(1,2)x－eq\f(1,2)z.平移直线y＝eq\f(1,2)x，易知经过点A(3,4)时，z有最小值，最小值为z＝3－2×4＝－5.(2)在平面直角坐标系内画出题中的不等式组表示的平面区域为以eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(1,2)))，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(3,2)))，(1,1)为顶点的三角形区域(包含边界)，又由题意易得z＝2x＋y，所以当目标函数z＝2x＋y经过平面区域内的点(1,1)时，z＝2x＋y取得最大值zmax＝2×1＋1＝3.]eq\a\vs4\al(☞)角度2求非线性目标函数的最值(1)(2022·山东高考)假设变量x，y满足eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y≤2，,2x－3y≤9，,x≥0，))那么x2＋y2的最大值是()A．4 B．9C．10 D．12(2)(2022·湖北七市4月联考)假设变量x，y满足约束条件eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x≥－1，,y≥x，,3x＋5y≤8，))那么z＝eq\f(y,x－2)的取值范围是__________．(1)C(2)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－1，\f(1,3)))[(1)作出不等式组表示的平面区域，如图中阴影局部所示．x2＋y2表示平面区域内的点到原点距离的平方，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y＝2，,2x－3y＝9))得A(3，－1)，由图易得(x2＋y2)max＝|OA|2＝32＋(－1)2＝10.应选C.(2)作出不等式组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x≥－1，,y≥x，,3x＋5y≤8))所表示的区域，如图中△ABC所表示的区域(含边界)，其中点A(1,1)，B(－1，－1)，Ceq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1，\f(11,5))).z＝eq\f(y,x－2)表示△ABC区域内的点与点M(2,0)的连线的斜率，显然kMA≤z≤kMB，即eq\f(1,1－2)≤z≤eq\f(－1,－1－2)，化简得－1≤z≤eq\f(1,3).]eq\a\vs4\al(☞)角度3线性规划中的参数问题(2022·河北石家庄质检)x，y满足约束条件eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x≥1，,y≥－1，,4x＋y≤9，,x＋y≤3，))假设目标函数z＝y－mx(m>0)的最大值为1，那么m的值是()【导学号：31222204】A．－eq\f(20,9) B．1C．2 D．5B[作出可行域，如下图的阴影局部．∵m>0，∴当z＝y－mx经过点A时，z取最大值，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝1，,x＋y＝3，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝1，,y＝2，))即A(1,2)，∴2－m＝1，解得m＝1.应选B.][规律方法]1.求目标函数的最值的一般步骤为：一作图、二平移、三求值．其关键是准确作出可行域，理解目标函数的意义．2．常见的目标函数有：(1)截距型：形如z＝ax＋by.求这类目标函数的最值时常将函数z＝ax＋by转化为直线的斜截式：y＝－eq\f(a,b)x＋eq\f(z,b)，通过求直线的截距eq\f(z,b)的最值间接求出z的最值．(2)距离型：形如z＝(x－a)2＋(y－b)2.(3)斜率型：形如z＝eq\f(y－b,x－a).易错警示：注意转化的等价性及几何意义.线性规划的实际应用(2022·天津高考)某化肥厂生产甲、乙两种混合肥料，需要A，B，C三种主要原料．生产1车皮甲种肥料和生产1车皮乙种肥料所需三种原料的吨数如下表所示：原料肥料ABC甲483乙5510现有A种原料200吨，B种原料360吨，C种原料300吨．在此根底上生产甲、乙两种肥料．生产1车皮甲种肥料，产生的利润为2万元；生产1车皮乙种肥料，产生的利润为3万元．分别用x，y表示方案生产甲、乙两种肥料的车皮数．(1)用x，y列出满足生产条件的数学关系式，并画出相应的平面区域；(2)问分别生产甲、乙两种肥料各多少车皮，能够产生最大的利润？并求出此最大利润．[解](1)由，x，y满足的数学关系式为eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(4x＋5y≤200，,8x＋5y≤360，,3x＋10y≤300，,x≥0，,y≥0.))该二元一次不等式组所表示的平面区域为图①中的阴影局部.5分(2)设利润为z万元，那么目标函数为z＝2x＋3y.考虑z＝2x＋3y，将它变形为y＝－eq\f(2,3)x＋eq\f(z,3)，它的图象是斜率为－eq\f(2,3)，随z变化的一族平行直线，eq\f(z,3)为直线在y轴上的截距，当eq\f(z,3)取最大值时，z的值最大．根据x，y满足的约束条件，由图②可知，当直线z＝2x＋3y经过可行域上的点M时，截距eq\f(z,3)最大，即z最大.7分解方程组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(4x＋5y＝200，,3x＋10y＝300，))得点M的坐标为(20,24)，所以zmax＝2×20＋3×24＝112.答：生产甲种肥料20车皮，乙种肥料24车皮时利润最大，且最大利润为112万元.12分[规律方法]1.解线性规划应用题的步骤(1)转化——设元，写出约束条件和目标函数，从而将实际问题转化为线性规划问题；(2)求解——解这个纯数学的线性规划问题；(3)作答——将数学问题的答案复原为实际问题的答案．2．解线性规划应用题，可先找出各变量之间的关系，最好列成表格，然后用字母表示变量，列出线性约束条件；写出要研究的函数，转化成线性规划问题．[变式训练2]某企业生产甲、乙两种产品均需用A，B两种原料，生产1吨每种产品所需原料及每天原料的可用限额如表所示．如果生产1吨甲、乙产品可获利润分别为3万元、4万元，那么该企业每天可获得最大利润为()甲乙原料限额A(吨)3212B(吨)128A.12万元 B．16万元C．17万元 D．18万元D[设每天生产甲、乙产品分别为x吨、y吨，每天所获利润为z万元，那么有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3x＋2y≤12，,x＋2y≤8，,x≥0，y≥0，))z＝3x＋4y，作出可行域如图阴影局部所示，由图形可知，当直线z＝3x＋4y经过点A(2,3)时，z取最大值，最大值为3×2＋4×3＝18.][思想与方法]1．确定二元一次不等式表示的平面区域的方法是“直线定界，特殊点定域〞．(1)直线定界：即假设不等式不含等号，那么应把直线画成虚线；假设不等式含有等号，把直线画成实线．(2)特殊点定域：当C≠0时，常把原点作为测试点；当C＝0时，常选点(1,0)或者(0,1)作为测试点．2．利用线性规划求最值的步骤是：(1)在平面直角坐标系内作出可行域；(2)考虑目标函数的几何意义，将目标函数进行变形；(3)确定最优解：在可行域内平行移动目标函数变形后的直线，从而确定最优解；(4)求最值：将最优解代入目标函数求最值．[易错与防范]1．画平面区域防止失误的重要方法就是首先使二元一次不等式标准化．2．求二元一次函数z＝ax＋by(ab≠0)的最值，利用其几何意义，通过求y＝－eq\f(a,b)x＋eq\f(z,b)的截距eq\f(z,b)的最值间接求出z的最值，要注意：当b>0时，截距eq\f(z,b)取最大值时，z也取最大值；截距eq\f(z,b)取最小值时，z也取最小值．当b<0时，结论与b>0的情形恰好相反．课时分层训练(三十三)二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题A组根底达标(建议用时：30分钟)一、选择题1．点(－3，－1)和点(4，－6)在直线3x－2y－a＝0的两侧，那么a的取值范围为()【导学号：31222205】A．(－24,7) B．(－7,24)C．(－∞，－7)∪(24，＋∞) D．(－∞，－24)∪(7，＋∞)B[根据题意知(－9＋2－a)·(12＋12－a)<0，即(a＋7)(a－24)<0，解得－7<a<24.]2．不等式组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x≥0，,x＋3y≥4，,3x＋y≤4))所表示的平面区域的面积等于()【导学号：31222206】A.eq\f(3,2) B.eq\f(2,3)C.eq\f(4,3) D.eq\f(3,4)C[平面区域如图中阴影局部所示．解eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋3y＝4，,3x＋y＝4))得A(1,1)，易得B(0,4)，Ceq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(4,3)))，|BC|＝4－eq\f(4,3)＝eq\f(8,3)，∴S△ABC＝eq\f(1,2)×eq\f(8,3)×1＝eq\f(4,3).]3．(2022·北京高考)假设x，y满足eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x－y≤0，,x＋y≤3，,x≥0，))那么2x＋y的最大值为()A．0 B．3C．4 D．5C[根据题意作出可行域如图阴影局部所示，平移直线y＝－2x，当直线平移到虚线处时，目标函数取得最大值，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x－y＝0，,x＋y＝3，))可得A(1,2)，此时2x＋y取最大值为2×1＋2＝4.]4．(2022·广州综合测试(二))不等式组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－y≤0，,x＋y≥－2，,x－2y≥－2))的解集记为D，假设(a，b)∈D，那么z＝2a－3b的最大值是()A．1 B．4C．－1 D．－4A[由题意得a，b满足约束条件eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a－b≤0，,a＋b≥－2，,a－2b≥－2，))以a为横轴，b为纵轴建立平面直角坐标系，那么不等式组表示的平面区域为以(－2,0)，(－1，－1)，(2,2)为顶点的三角形区域(包含边界)，由图易得当目标函数z＝2a－3b经过平面区域内的点(－1，－1)时，z＝2a－3b取得最大值zmax＝2×(－1)－3×(－1)＝1，应选A.]5．(2022·贵阳适应性考试(二))假设函数y＝kx的图象上存在点(x，y)满足约束条件eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y－3≤0，,x－2y－3≤0，,x≥1，))那么实数k的最大值为()A．1 B．2C.eq\f(3,2) D.eq\f(1,2)B[约束条件对应的平面区域是以点(1,2)，(1，－1)和(3,0)为顶点的三角形，当直线y＝kx经过点(1,2)时，k取得最大值2，应选B.]二、填空题6．设变量x，y满足约束条件eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x≥1，,x＋y－4≤0，,x－3y＋4≤0，))那么目标函数z＝3x－y的最大值为__________．【导学号：31222207】4[根据约束条件作出可行域，如图中阴影局部所示，∵z＝3x－y，∴y＝3x－z，当该直线经过点A(2,2)时，z取得最大值，即zmax＝3×2－2＝4.]7．(2022·江苏高考)实数x，y满足eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－2y＋4≥0，,2x＋y－2≥0，,3x－y－3≤0，))那么x2＋y2的取值范围是________．eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(4,5)，13))[根据的不等式组画出可行域，如图阴影局部所示，那么(x，y)为阴影区域内的动点．d＝eq\r(x2＋y2)可以看做坐标原点O与可行域内的点(x，y)之间的距离．数形结合，知d的最大值是OA的长，d的最小值是点O到直线2x＋y－2＝0的距离．由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－2y＋4＝0，,3x－y－3＝0))可得A(2,3)，所以dmax＝eq\r(22＋32)＝eq\r(13)，dmin＝eq\f(|－2|,\r(22＋12))＝eq\f(2,\r(5))，所以d2的最小值为eq\f(4,5)，最大值为13，所以x2＋y2的取值范围是eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(4,5)，13)).]8．(2022·郑州第二次质量预测)实数x，y满足eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x＋y≥0，,x－y≥0，,0≤x≤a，))设b＝x－2y，假设b的最小值为－2，那么b的最大值为__________．10[画出可行域，如图阴影局部所示．由b＝x－2y，得y＝eq\f(1,2)x－eq\f(b,2).易知在点(a，a)处b取最小值，故a－2a＝－2，可得a＝2.在点(2，－4)处b取最大值，于是b的最大值为2＋8＝10.]三、解答题9．假设直线x＋my＋m＝0与以P(－1，－1)，Q(2,3)为端点的线段不相交，求m的取值范围．【导学号：31222208】[解]直线x＋my＋m＝0将坐标平面划分成两块区域，线段PQ与直线x＋my＋m＝0不相交，5分那么点P，Q在同一区域内，于是eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－1－m＋m>0，,2＋3m＋m>0，))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－1－m＋m<0，,2＋3m＋m<0，))所以m的取值范围是m<－eq\f(1,2).12分10．假设x，y满足约束条件eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y≥1，,x－y≥－1，,2x－y≤2.))(1)求目标函数z＝eq\f(1,2)x－y＋eq\f(1,2)的最值；(2)假设目标函数z＝ax＋2y仅在点(1,0)处取得最小值，求a的取值范围．[解](1)作出可行域如图，可求得A(3,4)，B(0,1)，C(1,0).2分平移初始直线eq\f(1,2)x－y＋eq\f(1,2)＝0，过A(3,4)取最小值－2，过C(1,0)取最大值1，所以z的最大值为1，最小值为－2.6分(2)直线ax＋2y＝z仅在点(1,0)处取得最小值，由图象可知－1<－eq\f(a,2)<2，解得－4<a<2.10分故所求a的取值范围为(－4,2).12分B组能力提升(建议用时：15分钟)1．(2022·重庆高考)假设不等式组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y－2≤0，,x＋2y－2≥0，,x－y＋2m≥0))表示的平面区域为三角形，且其面积等于eq\f(4,3)，那么m的值为()A．－3 B．1C.eq\f(4,3) D．3B[作出可行域，如图中阴影局部所示，易求A，B，C，D的坐标分别为A(2,0)，B(1－m,1＋m)，Ceq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2－4m,3)，\f(2＋2m,3)))，D(－2m,0)．S△ABC＝S△ADB－S△ADC＝eq\f(1,2)|AD|