第五章-大数定律与中心极限定理

第5章概述大数定律和中心极限定理就是运用极限方法探讨大量随机现象统计规律性的。阐明大量重复试验的平均结果具有稳定性的一系列定律都称为大数定律。论证随机变量（试验结果）之和渐进听从某一分布的定理称为中心极限定理。契比雪夫不等式证明对连续型随机变量的状况来证明.

契比雪夫不等式得大数定律—概率论中有关阐明大量随机现象平均结果的稳定性的一系列定理。迄今为止,人们已发觉很多大数定律(lawsoflargenumbers)所谓大数定律，简洁地说，就是大量数目的随机变量所呈现出的规律，这种规律一般用随机变量序列的某种收敛性来刻画。第一节大数定律定义1则称{Xn}依概率收敛于a,记作:1.伯努利大数定理证明:●伯努利大数定律说明白当重复独立试验次数n很大时，频率与其概率之差可为随意小，即说明白其频率的稳定性。从而在实际推断中，当试验次数较大时，可以用事务发生的频率来近似代替概率。2.切比雪夫大数定律:

证明:由期望与方差的性质知利用切比雪夫不等式,●切比雪夫大数定律表明，当n很大时，X1，X2，…，Xn的算术平均值的取值，集中在其数学期望附近。例解:由题意即每个随机变量都具有有限的数学期望,有限的方差,满足定律.定理3使我们关于算术平均值的法则有了理论上的依据。由大数定律知，只要n充分大，则以接近于1的概率保证这便是在n较大状况下反映出的客观规律,故称为“大数”定律如我们要测量某段距离，在相同条件下重复进行n次，得n个测量值，它们可以看成是n个相互独立的随机变量具有相同的分布、相同的数学期望μ和方差，人们已经知道，在自然界和生产实践中遇到大量随机变量都听从或近似听从正态分布，正因如此，正态分布占有特殊重要的地位。其次节中心极限定理那么，如何推断一个随机变量听从正态分布显得尤为重要。如经过长期的观测，人们已经知道，很多工程测量中产生的误差X都是听从正态分布的随机变量。分析起来，造成误差的原因有仪器偏差X1、大气折射偏差X2,温度变化偏差X3、估读误差造成的偏差X4等等，这些偏差Xi对总误差的影响都很微小，没有一个起到特别突出的影响，虽然每个Xi的分布并不知道，但却服从正态分布。1.德莫佛---拉普拉斯定理例：在人寿保险公司里有3000个同一年龄的人参与人寿保险.在一年里,这些人的死亡率为0.1%.参与保险的人在一年的头一天交付保险费10元,死亡时,家属可以从保险公司领取2000元.求:(1)保险公司一年中获利不小于一万元的概率;(2)保险公司公司亏损的概率是多少?解:设一年中死亡人数为X,则(1)保险公司每年利润为:(2)P{保险公司亏本}可见保险公司亏本的概率很小.留意:德莫佛---拉普拉斯定理:说明:这是此后200多年来，概率论探讨的一个中心，故称作中心极限定理（CentralLimitTheorems）。2.林德贝格---勒维定理(独立同分布)

例对敌阵地进行100次炮击,每次炮击中,炮弹的命中颗数的数学期望为4,方差为2.25,求在100次炮击中,有380颗到420颗炮弹击中目标的概率的近似值.解:设第i次炮击中炮弹命中颗数为Xi,i=1,2,…100.由题意可知:解:最终，我们指出大数定律与中心极限定理的区分：因此，在所给条件下，中心极限定理不仅给出了概率的近似表达式，而且也能保证了其极限是1，可见中心极限定理的结论更为深化。这时，对于随意的ε＞0及某固定的n，有2、而在以上条件下，中心极限定理（林德伯格—勒维）亦成立。中心极限定理的意义在后面的课程中，我们还将常常用到中心极限定理.