福建省龙岩市六校高二下学期期中考试数学(理)试题含答案

2017-2018年福建省龙岩市六校高二下学期期中考试数学（理）试题一、单选题1．复数=（）A.B.C.

D.【答案】【解析】分析：根据复数的乘法和除法运算可得.详解：.故选A.点睛：本题主要考查了复数的乘方和除法运算，属于基础.2．设

是可导函数，当

时，

则=（）A.2B.C.-2D.【答案】【解析】分析：根据导数的定义即可求出．详解：当h→时，，可得则﹣，故选：．点睛：本题考查了导数的定义，属于基础.3有9的倍都是3的倍，某奇数是9的数，故某奇数是3的倍数”上述推理（）A.大提错B.小提错C.论错D.正确【答案】【解析】分析：要分析一个演绎推理是否正确，主要观察所给的大前提，小前提和结论是否都确，根据三个方面都正确，得到结论．详解：∵所有9的倍都是3的数，某奇数是9的倍数，故某奇数是3的数大前提：所有9的倍都是3的数，第1页共19页

小前提：某奇数是9的数，结论：故某奇数是3的数，∴这个推理是正确的，故选：．点睛：该题考查的是有关演绎推理的定义问题，在解决问题的过程中，需要先分清大前提、小提和结论分别是什么，之后结合定义以及对应的结论的正确性得出结.4．某天某校的校园卫生清扫轮高(5)班，该班劳动委员把班级同学分为5个劳小组，该校有A、C、D四区域要清扫，其中A、、个区域各安排一个小组，D区安排2个小组，则不同的排方法共有（）A.240种B.150种C.种D.60种【答案】【解析】分析：根据题意，分2步析：①，先在个动小组中任选2个，安排到D区，②，将剩下的3个组全排列，安排到A、、三个域，由分步计数原理计算可得答案．详解：根据题意，分2步分析：①，先在5个动小组中任选2个安排到D区，有=10种选法，②，将剩下的3个小全排列，安排到、、个区域，有3=6种况，则有10×6=60种同的安排方，故选：．点睛：本题考查排列、组合的应用，注意优先满足受到限制的元素，属于基础.5函

求：

与

中至少有一个不小于证证明这个命题时，下列假设正确的()A.假C.假

与

且;B.假且;中至多有一个不小于;D.设

与

中至少有一个不大于.【答案】【解析】分析：反设是一种对立性假设，即想证明一个命题成立时，可以证明其否定不成立，此得出此命题是成立的．详解：由于反证法是命题的否定的一个运用，故用反证法证明命题时，可以设其否定成立进行证．假设

且，故选：．点睛：本题主要考查用命题的否定，用反证法证明数学命题的方法和步骤，把要证的结论进行定，得到要证的结论的反面，是解题的突破口，属于基础题．6．由抛物线

与直线

所围成的图形的面积是（A.4B.C.5D.第2页共19页

【答案】【解析】分析：先把直线方程和抛物线方程联立求得交点坐标，进而用定积分的知识求得图中影部分的面积．详解：

解得x=1，y=﹣1或x=4，，交点坐标为，﹣1）∴图中阴影部分的面积是

.故选：．点睛：本题主要利用定积分计算曲边图象的面积，属于基础题．7知数

的图象如图所示中

是函数

的导函数函

的大致图象可以(

)A.B.C.D.第3页共19页

【答案】【解析】分析：讨论x＜﹣，＜＜0，＜＜x＞1时′x）＜0，单调性，即可得解．详解：由函数的图象得到：

的正负，从而得函数

的当x＜﹣时，′（x）＜0，f（x）是减函数；当﹣1＜x＜时，f′（x）＞0f（x）是增函数；当0＜＜时，′（x）＞0，（）是增函数；当x＞时，′（x）＜0，（）是减函数．由此得到函数（）大致图象可以是A．故选：．点睛：本题利用导函数的图象还原函数的图象，即根据导数的正负判断函数的单调性，属于基题．8．关于函数,有列说法：①它的极大值点-，小值点；②它的单调递减区间[-2,2]；③方程

有且仅有3个根时，的值围是18，54.其中正确的说法有（）A.0B.C.D.【答案】【解析】分析：求出函数f（）导数，利用导数研究fx）的单调性和极值，再结合图象判断命题是否正确即可．详解：函数

，∴，令，得；当x＜﹣或x＞3时f′（）0，f）单调递增；﹣＜＜时，′（x）＜0，（）单调递减；∴（）极大值点为3，极值点为3∴①正确；f（x）的单调递减区间[﹣，3]∴②错误；f（x）的极大值是，极小值是画出f（）的图象如图所示，

，第4页共19页

∴方程f（）有且有3个根时，a的值范围是（，正．综上，其中正确的说法是①③，共个．故选：．点睛：根据函数零点求参数取值，也是高考经常涉及的重点问题，（）用零点存在的判定定理构建不等式求解；（）离参数后转化为函数的值域（最值）问题求解，如果涉及由几个零点时，还需考虑函数图象与参数的交点个数；（）化为两熟悉的函数图象的上、下关系问题，从而构建不等式求.9已定义在上函数其函数为若,则等式A.(-∞，-1)B.∞，C.（0,+∞）D.（1,+∞【答案】

的解集（）【解析】分析：设

，利用导数性质得y=g（）在定义域上单调递减，从而得到（）g（此求出f（）＜e（其中为自对数的底数）的集．详解：设则∵∴∵∵∴∴故选：．

，，，在定义域上单调递减，，，，（其中e为然对数的底数）的解集为，+第5页共19页

点睛：本题主要考查构造函数，常用的有：2xf()+′()，构造xfx；，构造;

，构造(；，构造

；，构造

.等等10．有一个偶数组成的数阵排列下：248142232…610162434……12182636………202838…………3040……………42…………………则第20行第4列的为（）A.546B.540C.592D.598【答案】【解析】分析：观察数字的分布情况，可知从右上角到左下角的一列数成公差为2的差数列，想求第20行第4列的，只需求得行一个数再减去详解：

即可，进而归纳每一行第一个数的规律即可得出结论．顺着图中直线的方向，从上到下依次成公差为2等差数列，要想求第20行4列数，只求得23行第一个数再减去

即可.观察可知第1行第1个为：第2行1个为：；

；第6页共19页

第3行1个为：……

.第23行第1个数为：

.所以第20行4列数为

.故选A.点睛：此题考查归纳推理，解题的关键是通过观察得出数字的排列规律，是中档题．11．只小青蛙位于数轴上的原处，小青蛙每一次具有只向左或只向右跳动一个单位或者两单位距离的能力，且每次跳动至少一个单若小青蛙经过次跳动后，停在数轴上实数2位的点处，则小青蛙不同的跳动方式共()种A.105B.95C.85D.75【答案】【解析】分析：根据题意，分4种况讨论：①，小青蛙向左跳一次2个位，向右跳4次每1个位，②，小青蛙向左跳2次每个单，向右跳，每次2个位，③，小青蛙向左跳2次，一次2个单位，一次1个单位，向右跳3次2次个单1次1个单位，④，小青蛙向左跳次，次单位，向右跳3次1次2个位2次个单位，由加法原理计算可得答案．详解：根据题意，分4种情况讨：①，小青蛙向左跳一次2个单，向右跳4次，每次单位，有C=5种况，②，小青蛙向左跳2次每次2单位，向右跳3次，次个单，有C=10种情况，③，小青蛙向左跳2次一次2单位，一次1单位，向右跳3次，2次2个位，1次1个位，有C2A=60种况，④，小青蛙向左跳2次每次1单位，向右跳3次，次2个位2次1个位，有C

C种况，则一共有5+10+60+30=105种况，即有105不同的跳动方式．故选：．点睛：本题考查排列、组合的应用，注意分析青蛙左右跳动的次数与单位．12．已知

是函数

与

图像上两个不同的交点，则

的取值范围为（）A.B.C.D.【答案】【解析】分析：把函数

与

图象上两个不同的交点，转化为方程a=xlnx的两个解．利用导数研究函数的调性可x+x的取值范围由导数判定函数（的调性即求得（+x）的取值范围．详解：令∴，是方程令，

可得，的两个解．，第7页共19页

∴当

时，，

时，，∴∴

在（，）上调递减，在（，∞上单调递增，的最小值为．又当

时，h（）＜0，当

时，h（）＞0，作出函数h（）的象如图：不妨设x＜，由图可知，＜＜＜＜．∴由，

，当x∈（，），

，∴（）

上为增函数，又，（）=0，∴（+x）的取值范围为．故选：．点睛：根据函数零点求参数取值，也是高考经常涉及的重点问题，（）用零点存在的判定定理构建不等式求解；第8页共19页

（）离参数后转化为函数的值域（最值）问题求解，如果涉及由几个零点时，还需考虑函数图象与参数的交点个数；（）化为两熟悉的函数图象的上、下关系问题，从而构建不等式求.二、填空题13．_______.【答案】.【解析】分析：详解：由，得

表示单元圆的面积的，而得解..表示圆心为0,0)，半径为1的半.即为该圆位于第二象限部分的面积，即个.所以.故答案为：.点睛：本题考查了导数在求解面积中的应用，关键是利用图形求解的函数解析式，在运用积分解．定积分的计算一般有三个方法：①利用微积分基本定理求原函数；②利用定积分的几何意义，利用面积求定积分；③利用奇偶性对称求定积分，奇函数在对称区间的定积分值为0.14．甲、乙、丙三位同学被问到否去过，，三个城市时，甲说我没去过城；乙说我去过的城市比甲多，但没去过城；说：我们三人去过同一城.由此判断甲去过的城市为_________【答案】A.【解析】分析：根据乙丙和甲的关系逐步推断即可．详解：由甲说：我没去过C城，则甲可能去过A城市市，但乙说：我去过的城市比甲多，但没去过B城市，则甲只能是去过A，中任一个，再由丙说：我们三人去过同一城市，则由此可判断甲去过的城市为A因为乙没有去过故甲去过的城市为A，故答案为：点睛：本题主要考查简单的合情推理，根据乙，丙和甲的关系逐步推断是解决本题的关键．第9页共19页

15．若三角形的周长为、切半径为、积为，有

.根据类比思想，若四面体的表面积为、内切球半径为、积为，有=________.【答案】.【解析】分析：根据平面与空间之间的类比推理，由点类比点或直线，由直线类直或平面由内切圆类比内切球，由平面图形面积类比立体图形的体积，结合求三角形的面积的方法类比求四面的体积即可．详解：设四面体的内切球的球心为，则球心O四个面的距离都是R，所以四面体的体积等于以O为点，分别以四个面为底面的4个三锥体积的和．故答案为：．点睛：类比推理是指依据两类数学对象的相似性，将已知的一类数学对象的性质类比迁移到另类数学对象上去．一般步骤：①找出两类事物之间的相似性或者一致性．②用一类事物的性质去推测另类事物的性质，得出一个明确的命题（或猜想16于线（中为自然对数的底数意一点处的切线存在在曲线上一点处的切线，得∥，实数的值范围____________.【答案】.【解析】分析：分别求出两个函数导数函数的值域，进而将已知转化为两个值域存在包含关系进而可得答案．详解：∵，∵,故∵,∴，g′′（）（lnx+1当x∈（，），′（）0，′x）为减函数；第10页共19页

当x∈（，∞时g′′（）＞，′（x为增函数；故当x=时g′（）最小值﹣，即g（）∈[a，0若对于曲线（中e为自对数的底数）上任意一点处的切线l，总存在在曲线

上一点处的切线l，使得l∥，则﹣，）[a﹣，0）即a≤1．解得：∈，故答案为：.点睛：本题考查导数的运用：求切线的斜率，考查两直线平行的条件：斜率相等，考查任意存性问题的解法，注意运用转化思想和值域的包含关系，考查运算能力，属于中档题．三、解答题17）知复数

（）在复平面内所对应的点第二象限，求取值范围；（Ⅱ）已知

是纯虚数，且

，求复数【答案）

或）.【解析】分析）题意得（Ⅱ）设，详解）题意得

解不等式组即可得解；即第11页共19页

或.（Ⅱ）依题意设

，代入条件可得

，从而得解则

，，，，点睛：本题主要考查了复数的概念和共轭及模的求解，属于基础.18．某商场销售某种商品的经验明，该商品每日的销售量单位：千克)与销售价格(单位：元千克满足关系式

，其中，为常．已知售价格为7千克时，每日可售出该商品11千克．（Ⅰ）求的；（Ⅱ）若该商品的成本为5元千克，试确定销售价格的，使商场每日销售该商品所获得的利润最大．【答案））当售价格为6元千克时，商场每日销售该商品所获得的利润最.【解析】分析）

代入，

即可得解；（Ⅱ）由（），该商品每日的销售量，进而得利润，求导数，利用函数单调性求最值即.详解）为

时，，所以，.（Ⅱ）由（），该商品每日的销售量所以商场每日销售该商品所获得的利润

，第12页共19页

于是，当变化时，

，

的变化情况如下表：（5,6）＋

60极大值

(6,8)－由上表可得，＝是函数

在区间5,8)内极大值点，也是最大值点．所以，当6时，函数

取得最大值，且最大值等于42.所以，当销售价格为6元千时，商场每日销售该商品所获得的利润最大．点睛：本题考查函数在实际中的应用，着重考查分析问题、解决问题的能力。对于函数的应用问题需要注意的是：1、题干较长，理解题意、把实问题转化成数学问题有一定难度；2、有时候不注意函数的定义域以及自变量取值是否为整19．已知函数，

为

的导数（）曲线

在点

处的切线方程为，值；（）知【答案】(1)

，求函数.

在区间

上的最大值与最小值.(2)=.=.【解析】分析），得，由切线斜率得，而得解（）求导得，而得，分析导数正负得函数单调性，进而得，第13页共19页

极大值极大值比较

和，而得最小值详解），，.曲线

在点

处的切线方程为，（）从而

从而有，得.时，，，得，==当

时，，

为增函数；当

时，，

为减函数.所以=

==.又=，=，，=点睛：在解决类似的问题时，首先要注意区分函数最值与极值的区别．求解函数的最值时，要求函数＝(在[b内所有使f(x)＝的点再计算函数y＝f(x在间内所有使′x＝的和区间端点处的函数值，最后比较即得．20．已知函数（）、、

，设、

为的表达式;

的导数，.第14页共19页

00（）想

的表达式，并证明你的结.【答案】(1)=,,,.(2)=.明见解.【解析】分析）用导数的除法除法法依次求导即可；（）想=，用数学归纳法证明即可.详解）=；,,.(2)猜想=.证明如下：当

时，由1）知结论正确；假设则当

（时，=

）时，结论正确，即=，所以当由，

时，结论也正确.得，，=

均成立点睛：利用数学归纳法证明等式时应注意的问题(1)用数学归纳法证明等式其关点在于弄清等式两边的构成规律两边各有多少项值n是多；(2)由＝k到＝＋1，除等式两边变化的项外还要充分利用n＝时式子，即充分利用假设．证题时要根据要求正确写出归纳证明的步骤，从而使问题得以证明．第15页共19页

21．已知函数

．（Ⅰ）若

的极小值为，的；（Ⅱ）若对任意,都有

恒成立，求实数的值范围；【答案）a=e）

.【解析】分析）导

，当

时显然不成立，当

时，由

得，析单调性，从而可得解；（Ⅱ令分析单调性即可得解详解）

，令得进讨论

和结合①当②当

时，时，由

恒成立，得

无极值；，并且当所以，当依题意，又，

时，时，，；

；当取得极小值；，

时，.综上，.（Ⅱ）令

，则

,

.令

，则当

时，

，

单调递增，

.①当时所以，当

时，

，

在对任意

上单调递增，恒成立；

；②当

时，

，

，第16页共19页

所以，存在扣1分

，使（此处用“当

时，在，”明，并且，当所以，当

时，时，

，

在，

上单调递减，所以，当时，综上，的值范围为

.

对任意

不恒成立；点睛：对于求不等式成立时的参数范围问题，一般有三个方法，一是分离参数法,使不等式一端含有