高三数学第二轮专题复习 导数及其应用（解析版）

高三数学第二轮专题复习导数及其应用题型一构造函数研究单调性1、（2022·江苏常州·高三期末）已知函数图象关于点对称，且当时，则下列说法正确的是（）A． B．C． D．【答案】D【解析】【分析】本题有两个入手点：①关于点对称；②在上单调递增，然后以特殊值代入即可解决.【详解】由关于点对称可知，关于点对称，则为奇函数令，则为偶函数，又时，，即则在上单调递增，则有即就是，故选：D2、（2022·广东佛山·高三期末）设函数的导函数是，且恒成立，则（）A． B． C． D．【答案】D【解析】【分析】构造函数，利用导函数研究其单调性，求出结果.【详解】设，则恒成立，所以单调递增，故，即，解得：，即.故选：D3、（2022·湖南常德·高三期末）若函数为定义在R上的奇函数，为的导函数，当时，，则不等式的解集为（）A． B．C．（0，2） D．【答案】D【解析】【分析】令，则由已知可得在上单调递增，而，从而将原不等式转化为，得，再利用为奇函数讨论的情况，进而可求得解集【详解】令，则，因为，当时，，所以当时，，所以在上单调递增，因为为定义在R上的奇函数，所以，所以，所以不等式转化为，因为在上单调递增，所以，所以当时，，因为为定义在R上的奇函数，所以当时，不满足，综上，不等式的解集为故选：D4、（2022·江苏海安·高三期末）已知，，，且则（）A．c＜a＜b B．a＜c＜bC．b＜a＜c D．b＜c＜a【答案】A【解析】【分析】构造函数，利用导数判断单调性，然后，作差比较可得答案.【详解】由已知得，，，令，，可得在上单调递增，在上单调递减，，且，所以，，且，所以，所以.故选：A.5、（2022·山东德州·高三期末）设函数在上的导函数为，若，，，则不等式的解集为（）A． B． C． D．【答案】C【解析】【分析】由找到原函数，得在上单调递增，再由，，得到，进而得到，在对不等式进行化简得，即，再根据的单调性即可得到答案.【详解】令，在上单调递增，，，，不等式，即，由函数在上单调递增得，故不等式的解集为.故选：C.6、（2022·山东泰安·高三期末）已知为定义在R上的偶函数，当时，恒有，则（）A．B．C．D．【答案】B【解析】【分析】由以及函数为偶函数，可判断函数的单调性，再根据自变量绝对值的大小进行判断.【详解】因为，，所以，，，，因此.因为当时，恒有，所以当时，，则在上单调递减，又为偶函数，，故，故选：B.7、（2022·江西·模拟预测）已知定义在上的函数的导函数为，且满足，若，，，则，，的大小关系为（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】设，则，∴为单调递减函数.∵，∴，即.故选：A.8、（2022·北京·101中学模拟预测）定义在上的函数的导函数满足，则必有（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】由，得.设，，则，故在上单调递减，则，则，，但由于，，，的正负不确定，所以，都未必成立.故选：D题型二函数的极值与最值1、（2022·河南新乡·二模）已知，函数的极小值为，则（

）A． B．1 C． D．【答案】C【解析】，则在和上单调递减，在上单调递增，所以，则，则．故选：C2、（2022·河北沧州·三模）已知函数，则（

）A．的单调递减区间为 B．的极小值点为1C．的极大值为 D．的最小值为【答案】C【解析】因为，所以，令，则，所以在上单调递减，因为，所以当时，，即；当时，，即，所以的单调递增区间为，单调递减区间为，故的极大值点为1，，即，不存在最小值．故选：C．3、（2022·广东·铁一中学高三期末）已知直线恒在函数的图象的上方，则的取值范围是（）A． B． C． D．【答案】A【解析】【分析】由题意构造新函数，然后利用导函数讨论函数的单调性，由函数的最值讨论计算即可确定的取值范围.【详解】很明显，否则时，函数单调递减，且时，而当时，不合题意，时函数为常函数，而当时，不合题意，当时，构造函数，由题意可知恒成立，注意到：，据此可得，函数在区间上的单调递减，在区间上单调递增，则：，故，，构造函数，则，还是在处取得极值，结合题意可知：，即的取值范围是.故选：A.4、（2022年河北承德市高三月考模拟试卷）函数在上有且仅有一个极值点，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【详解】因为，所以，函数在上有且仅有一个极值点，在上只有一个变号零点.令，得.设在单调递减，在上单调递增，，又，得当，在上只有一个变号零点.经检验，不合题意，故选：B.5、（2022年福建福州高级中学高三月考模拟试卷）若对任意的，，且，都有，则的最小值是（）A. B. C.1 D.【答案】A【解析】【详解】因为，所以由可得，，即．所以在上是减函数，，当时，，递增，时，，递减，即的减区间是，所以由题意的最小值是．故选：A．6、（2022·山东省淄博实验中学高三期末）已知函数有三个不同的零点，且，则的值为（）A．3 B．4 C．9 D．16【答案】C【解析】【分析】利用换元法转换，结合导数以及一元二次方程根与系数的关系来求得正确答案.【详解】，，有三个不同的零点.令，在递增，在上递减，.时，.令，必有两个根，，且，有一解，有两解，且，故.故选：C题型三函数的零点及综合性问题1、（2022·甘肃武威·模拟预测）函数有三个零点，则实数的取值范围是（

）A．（﹣4，4） B．[﹣4，4]C．（﹣∞，﹣4]∪[4，+∞） D．（﹣∞，﹣4）∪（4，+∞）【答案】A【解析】由题意，函数，可得，当时，，单调递增；当时，，单调递减；当时，，单调递增，所以函数在处取得极大值，在处取得极小值，要使得函数有三个零点，则满足，解得，即实数的取值范围是.故选：A．2、（2022·江苏海门·高三期末）已知函数有三个零点，则实数的取值范围是（）A．(0，) B．[0，) C．[0，] D．(0，)【答案】A【解析】【分析】对分离参数，构造函数，利用导数研究其单调性和最值，即可求得参数的取值范围.【详解】有三个零点，即方程有三个根，不妨令,则，故在单调递减，在单调递增，在单调递减，，且当时，恒成立.当趋近于负无穷时，趋近于正无穷；趋近于正无穷时，趋近于，故当时，满足题意.故选：A.3、（2022年徐州市高三月考试卷）设，若函数有且只有三个零点，则实数的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【详解】令，则，令，得；令，得；所以在上单调递减，在上单调递增，故，又因为对于任意，在总存在，使得，在上由于的增长速率比的增长速率要快得多，所以总存在，使得，所以在与上都趋于无穷大；令，则开口向下，对称轴为，所以在上单调递增，在上单调递增，故，.因为函数有且只有三个零点，而已经有唯一零点，所以必须有两个零点，则，即，解得或，当时，，则，即在处取不到零点，故至多只有两个零点，不满足题意，当时，，则，所以在处取得零点，结合图像又知与必有两个交点，故在与必有两个零点，所以有且只有三个零点，满足题意；综上：，即.故选：C.4、（2022·广东揭阳·高三期末）已知函数，过点可作两条直线与函数相切，则下列结论正确的是（）A． B．C．的最大值为2 D．【答案】B【解析】【分析】根据题意，利用导数的几何意义、韦达定理，结合特殊值法即可求解.【详解】设切点为，又，则切线的斜率又，即有，整理得，由于过点可作两条直线与函数相切所以关于的方程有两个不同的正根，设为，则，得，，故B正确，A错误，对于C，取，则，所以的最大值不可能为2，故C错误，对于D，取，则，故D错误.故选：B.5、（2022·湖北江岸·高三期末）满足，则实数a的取值范围为（）A． B． C． D．【答案】D【解析】【分析】满足等价于在恒成立，构造函数，利用导数判断其单调性，进而即可判断结果.【详解】满足，即，令，，，，当时，在恒成立，在为增函数，则，即，符合题意，当时，令，，当时，，当时，，所以在为增函数，在为减函数，，命题成立只需即可.令，，当，，即，即，命题不成立.综上.故选：D.6、（2022年华美实验高三月考模拟试卷）对任意的，当时，恒成立，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【详解】依题意，，令，，则对任意的，当时，，即有函数在上单调递减，因此，，，而，则，所以实数的取值范围是.故选：C7、（2022·湖北省鄂州高中高三期末）若不同两点、均在函数的图象上，且点、关于原点对称，则称是函数的一个“匹配点对”（点对与视为同一个“匹配点对”）.已知恰有两个“匹配点对”，则的取值范围是（）A． B． C． D．【答案】B【解析】【分析】函数的图象关于原点对称的图象所对应的函数为，再将问题转化为函数与函数有两个交点，再数形结合可得答案.【详解】函数的图象关于原点对称的图象所对应的函数为，的图象上恰好有两个“匹配点对”等价于函数与函数有两个交点，即方程有两个不等式的正实数根，即有两个不等式的正实数根，即转化为函数图象与函数图象有2个交点.，当时，，单调递增.当时，，单调递减.且时，，时，所以所以图象与函数图象有2个交点.则，解得.故选：B8、（2022年广东梅州市高三月考模拟试卷）已知函数，若函数的单调递减区间（理解为闭区间）中包含且仅包含两个正整数，则实数的取值范围为（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【详解】因为的单调递减区间（理解为闭区间）中包含且仅包含两个正整数，所以的解集中恰有两个正整数，由可得，，令，则，，单调递增，，单调递减，作出函数与的图象如图，当恰有两个正整数解时，即为1和2，所以，故选：C9、（2022年河北南宫中学高三月考模拟试卷）已知函数，若存在使得关于的不等式成立，则实数的取值范围（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【详解】因为，由可得，即函数的定义域为，可得，即，构造函数，其中，则，故函数在上单调递增，所以，，可得，则，即，其中，令，其中，则，当时，，此时函数单调递减，当时，，此时函数单调递增，所以，，解得故选：C.10、（2022年河北衡水中学高三月考模拟试卷）已知函数的定义域为，为的导函数，且，，若为偶函数，则以下四个命题：①；②；③；④中一定成立的个数为（）A.1 B.2 C.3 D.4【答案】C【详解】∵，，∴，又是偶函数，，两边求导得，∴是奇函数，，，∴，即，是周期函数，4是它的一个周期，，，∴是周期函数，4是它的一个周期，，，，是周期为4的周期函数，又是奇函数，，，，，，，所以，，，因此，不能得出，一定正确的有①②④，共3个．故选：C．11、（2022年江苏泰州市高三月考模拟试卷）已知函数，其中实数，则下列结论错误的是（）A.必有两个极值点B.有且仅有3个零点时，的范围是C.当时，点是曲线的对称中心D.当时，过点可以作曲线的3条切线【答案】B【解析】【详解】对于A，，令，解得：或，因为，所以令，得或，令，得，所以在上