数字信号处理第三版课后习题答案

数字信号处理第三版课

后习题答案

CompanyDocumentnumber:WTUT-WT88Y-W8^BGB-BWYTT-19998

数字信号处理课后答案

教材第一章习题解答

1.用单位脉冲序列B(〃)及其加权和表示题1图所示的序列。

解：

2n+5,-4<n<-1

2.给定信号•x(n)=\6,0<n<4

0,其它

(1)画出x(〃)序列的波形，标上各序列的值；

(2)试用延迟单位脉冲序列及其加权和表示x(〃)序列；

(3)令x(〃)=2x(〃-2),试四出%(〃)波形!

11

(4)令x(〃)=2x(〃+2),试画出X(〃)波形；

22

(5)令x(〃)=2x(2-〃)9试西出x(n)波形。

33

解：

(1)x(n)的波形如题2解图(一)所示。

(2)

(3)x(“)的波形是x(n)的波形右移2位，在乘以2,画出图形如

1

题2解图(二)所示。

(4)x(〃)的波形是x(n)的波形左移2位，在乘以2,画出图形如

2

题2解图(三)所示。

(5)画x(〃)时，先画x(m)的波形，然后再右移2位，x(〃)波形

33

如题2解图(四)所示。

3.判断下面的序列是否是周期的，若是周期的，确定其周期。

(1)x(n)=Acos(2.7Cn-3,A是常数；

(2)%(〃)=6心一琦e

解：

(1).=3兀，空=*,这是有理数，因此是周期序列，周期是

7w3

T=14;

(2)卬=1,空=16兀，这是无理数，因此是非周期序列。

8w

5.设系统分别用下面的差分方程描述，x(〃)与y⑺分别表示系统输入

和输出，判断系统是否是线性非时变的。

(1)y(n)=x(n)+2x(n-l)+3x(n-2)i

(3)y(n)=x(n-n)1n为整常数；

o0

(5)y(n)=x2(n)I

(7)y(〃)=Xx(加)。

w=0

解:

(1)令•输入为)9输出为

0

y(n)=x(n-n)-t-2x(n-n-1)+3工(〃一〃-2)

ooo

y(n-n)=x(n-n)+2x(n-/i-l)+3x(n-n-2)=y(〃)

0000

故该系统是时不变系统。

故该系统是线性系统。

(3)这是一个延时器，延时器是一个线性时不变系统，下面予以证

明。

令输入为x(n-n)9输出为y(〃)=x[n-n-7?)»因为

110

故延时器是一个时不变系统。又因为

故延时器是线性系统。

(5)y(n)=X2(n)

令：输入为x(n-n)9输出为y(n)=x2(n-n)*因为

00

故系统是时不变系统。又因为

因此系统是非线性系统。

(7)y(〃)=Zx(加)

w=0

令：输入为x(n-n)9输出为y(n)=>因为

00

m=0

故该系统是时变系统。又因为

故系统是线性系统。

6.给定下述系统的差分方程，试判断系统是否是因果稳定系统，并

说明理由。

(1)y(rt)=—2x(n-A：)!

匕=。

(3)>(〃)=£""x(k)；

k

="-"0

(5)y(〃)=eQ)o

解：

(1)只要N21,该系统就是因果系统，因为输出只与n时刻的和n

时刻以前的输入有关。如果|x(")|WM，则)因此系统是稳定

系统。

⑶如果,|y(H)|<20|x(Zr)|<|2n^+1|M,因此系统是稳定

k=f

的。系统是非因果的，因为输出还和x(n)的将来值有关.

(5)系统是因果系统，因为系统的输出不取决于x(n)的未来值。如

果似砌WM,则|y(砌="5)区eL)l4eM,因此系统是稳定的。

7.设线性时不变系统的单位脉冲响应力⑺和输入序列x(〃)如题7图所

示，要求画出输出输出y(〃)的波形。

解：

解法(1):采用图解法

图解法的过程如题7解图所示。

解法(2):采用解析法。按照题7图写出x(n)和h(n)的表达式：

x(n)*8(n)=x(n)

因为

x(〃)*Ab(“一%)=Ax(n—k)

y(n)-x(n)*[28(n)+8(n-l)+—8(n-2)]

所以12

=2x(〃)+x(〃-l)+]X(〃-2)

将x(n)的表达式代入上式，得到

8.设线性时不变系统的单位取样响应〃(〃)和输入》(〃)分别有以下三种

情况，分别求出输出)，(〃)。

(1)h(〃)=R(n),x(〃)=R(〃)；

45

(2)h(n)=2R(n),x(n)=8(n)-8(n—2)t

4

(3)h(n)=0.5"ii(n),x=R(n)。

n5

解：

(1)y(〃)=x(n)*h(n)=ER(m)R(〃-m)

45

tn=-<x>

先确定求和域，由R(〃?)和R(n-m)确定对于m的非零区间如下：

45

根据非零区间，将n分成四种情况求解：

①〃<0,y(n)=0

②0<n<3,y(几)=X1=〃+1

wi=0

③4W〃<7,y(〃)=X1=8-H

in=n-4

④7<n,y(n)=0

最后结果为

y(n)的波形如题8解图(一)所示。

(2)

y(n)的波形如题8解图(二)所示.

(3)

y(n)对于m的非零区间为0<m<4,m<no

①〃<0,y(n)=0

(15

®0<n<4,y(n)=0.5«E0.5-m=J-Z10.5«=-(l-0.5-»-i)0.5»=2-0.5»

m=0

③5<〃，y(n)=0.5”S0.5-=0.5»=31x0.5，，

1-0.5-1

m=0

最后写成统一表达式：

11.设系统由下面差分方程描述:

y(〃)=gy(〃—i)+x(〃)+；x(〃—i)；

设系统是因果的，利用递推法求系统的单位取样响应。

解：

令!x(n)=8(n)

归纳起来，结果为

12.有一连续信号x(I)=COS(2Kft+(p),式中，f=20Hz,(p=-

a2

(1)求出X⑷的周期。

a

(2)用采样间隔7=0.025对\⑺进行采样，试写出采样信号x⑴的

aa

表达式。~

(3)画出对应x⑴的时域离散信号(序列)x(〃)的波形，并求出x(〃)的

a

周期。

弟一早

教材第二章习题解答

1•设X(e初)和K(e>)分别是x(〃)和y⑺的傅里叶变换，试求下面序列的

傅里叶变换：

⑴x{n-n)；

o

(2)x(-n)I

(3)x(n)y(n)；

(4)x(2n)o

解：

(1)FT[x(n-n)]=Xx(n-n)e->«

oo

n=—oc

令〃=〃-〃，〃=〃+〃9则

00

(2)FT[x*(n)]=工x*(〃)e=[2L=X*(e-jw)

”=-ccn=-<x)

(3)FT[x(-n)]=£x(-〃)e-m”

n=-oo

令〃=一〃，则

(4)FT[x(n)^y(n)]=X(e>)K(e>)

证明：x(n)*y(n)-£x(m)y[n-tn)

令k=n-m,贝(J

2.已知

[0,vv<|W|<K

求X(ejn)的傅里叶反变换x(〃)o

4®,.1f.,sinwn

>x(zn)—...JH()ejwndw------a—

2TI_叫Tin

3.线性时不变系统的频率响应(传输函数)“Q,)=)卜而),如果单

位脉冲响应h(n)为实序列，试证明输入x(〃)=Acos(w〃+(p)的稳态响应

0

为

y(n)=A|//(e>)|cos[vv〃+(p+0(w)]

解：

假设输入信号M〃)=e”，系统单位脉冲相应为h(n),系统输出为

y(〃)="(〃)*x(n)=乙〃(根)6加0(〃-〃])=6加0〃乙h(m)e-jw/=H(e>0)e

m=-oom=-<»

上式说明，当输入信号为复指数序列时，输出序列仍是复指数序

列，且频率相同，但幅度和相位决定于网络传输函数，利用该性质

解此题。

上式中的(e/w)|是W的偶函数，相位函数是W的奇函数，

4•设x(〃)=pty将x(〃)以4为周期进行周期延拓，形成周期序列

[0,其它

x(〃)，画出x(〃)和x(九)的波形，求出x(〃)的离散傅里叶级数X(A)和傅

里叶变换。

解：

画出x(n)和双〃)的波形如题4解图所示。

X(k)=DFS[x(n)]=2Lx(〃)er?"=工心"=l+e心

n=0«=0,

.ic,.it..n..兀.it.

=e-皇(e，J+e-J4k)=2cos(—♦)•"J

4

x(z)以4为周期，或者

~,1

1工1_.e~^Kk(ejl)nk-e~j^nk1isin不兀Z

X(Q=£e1jllk=2(2一'2)=(6_2_,

~„=ol-e-率e7加(〃加-e7加)sin47a

xa)以4为周期

工设如图所示的序列x(〃)的FT用X(e初)表示，不直接求出X(ew),完

成下列运算：

(1)X(ew)；

(2)\X(ej^)dw；

-71

(5)J|X(e>)|2dw

-n

解:

(1)X(ejo)=£x(n)=6

⑵X(e川)dw=x(0)•2兀=4兀

-n

(5)f|X(ejw)|2dw=2兀Z|%(n)|2=28兀

-nn=-3

6.试求如下序列的傅里叶变换:

x^n)=(n+1)+8(n)+1-6(H-1)i

(3)x(〃)=〃”〃(〃),()<a<\

3

解：

⑵

1

⑶X(€?>)=ane-jwn

31—ae-jw

M=-00"=0

7.设:

(1)x(n)是实偶函数,

x(〃)是实奇函数，分别分析推导以上两种假设下，x(〃)的傅里

叶变换性质。

解：

令X(e>)=Ex(n)e-j^n

(1)x(n)是实、偶函数，X(ea)=Xx(n)e-jwn

两边取共舸，得到

因此X(ew)=X*(£?->)

上式说明x(n)是实序列，X(e加)具有共枕对称性质。

由于x(n)是偶函数，x(n)sinwn是奇函数，那么

因此X(e加)=£x(n)coswn

该式说明X(e>)是实函数，且是W的偶函数。

总结以上x(n)是实、偶函数时，对应的傅里叶变换X®w)是实、偶函

数。

(2)x(n)是实、奇函数。

上面已推出，由于x(n)是实序列，X(6川)具有共辗对称性质，即

由于x(n)是奇函数，上式中x(«)coswn是奇函数，那么

£x(«)coswn=O

n=—oc

因此X(e>)=j£x(n)sinwn

n=—oo

这说明X(ej«)是纯虚数，且是W的奇函数。

10•若序列/z⑹是实因果序列，其傅里叶变换的实部如下

式:H(e>)=1+cosw

R

求序列h(n)及其傅里叶变换”(3)o

解：

12.设系统的单位取样响应h(n)=以(〃),0<a<19输入序列为

x(n)=8(〃)+2b(〃-2),完成下面各题：

(1)求出系统输出序列y(〃)；

(2)分别求出x(〃)、〃(〃)和y(〃)的傅里叶变换。

解：

(1)

⑵

13.已知x(/)=2cos(2兀ft)9式中f=100Hz,以采样频率f=400&对

a00s

X⑺进行采样，得到采样信号x⑺和时域离散信号x(“)，试完成下面

各题：

(1)写出x(f)的傅里叶变换表示式X(JQ)；

aa

(2)写出工⑺和工⑺的表达式；

(3)分别求出x.⑴的傅里叶变换和x(〃)序列的傅里叶变换。

解：

(1)

上式中指数函数的傅里叶变换不存在，引入奇异函数b函数，它的

傅里叶变换可以

表示成：

(2)x(『)=Zx(r)8(/-nT)=E2cos(QHT)5(t-nT)

aa0

M=-COn=-oo

(3)

式中。=2兀/=SOQmrad/s

ss

式中w=C1T=0.5Krad

oo

上式推导过程中，指数序列的傅里叶变换仍然不存在，只有引入奇

异函数函数，才能写出它的傅里叶变换表达式。

14.求以下序列的Z变换及收敛域：

(2)-2-1)9

(3)2-9

(6)2-«[w(n)-w(n-10)]

解：

(2)ZT[2-nu(n)]=£2-nu(n)z~,j二2-nZ~n=-----------，|z|〉一

1-2-iz-i112

n=-oon=0

(3)

⑹

16.已知：

求出对应x⑵的各种可能的序列的表达式。

解：

有两个极点，因为收敛域总是以极点为界，因此收敛域有以下三种

情况：

三种收敛域对应三种不同的原序列。

⑴当收敛域闫<0.5时，

5-7z-i5z-7

令尸(Z)=X(Z)ZJI=7n-l=—二〃

(l-0.5z-i)(l-2^-.)(z-0.5)(z—2)

»>0,因为c内无极点，x(n)=0;

»<-1,c内有极点0,但z=0是一个n阶极点，改为求圆外极点留

数，圆外极点有z=0.5,z=2,那么

12

(2)当收敛域().5<|z|<2时，

/?>0,C内有极点;

〃<0,c内有极点，0,但0是一个n阶极点，改成求c外极点留

数，C外极点只有一个，即2,

最后得到元(〃)=3(；)"〃(〃)-22〃〃(一〃一1)

(3)当收敛域2<卜|时，

••

H>OiC内有极点，2;

n<0,由收敛域判断，这是一个因果序列，因此x(n)=O。

或者这样分析，C内有极点，2,0,但0是一个n阶极点，改成求c

外极点留数，c外无极点，所以x(n)=0。

最后得到

17.已知x(n)=〃辿(〃),0<a<19分别求：

(1)x(〃)的Z变换；

(2)nx(n)的Z变换；

(3)a-nu(—n)的Z变换。

解：

(1)X(z)=ZT[a，，〃(〃)]=£anu(n}z-»=——'——,|z|>«

1-az-i

“=-oo

(2)ZT[nx(n)]=-zX(z)=Jz|>〃

dz(1一az-1"

(3)Z77Q-〃〃(一")]=艺。-〃[-〃=Eag=—J—,|^|<a-\

行〃二。

18•已知x(z)=-"I,分别求：

2-5z-i+2z-

(1)收敛域().5<|z|<2对应的原序列X(72)；

⑵收敛域目>2对应的原序列M〃)。

解：

(1)当收敛域o.5<|z|<2时，心0,C内有极点,

x(n)=Re5[F(Z),0.5]=0.5〃=2-”〃<0,

C内有极点,0,但0是一个n阶极点，改求C外极点留数,c外极点只有2,

x(n)=-Res[F⑵,2]=2〃,

最后得到

(2(当收敛域⑸>2时，

n>O,C内有极点2

〃<o,c内有极点20,但极点0是一个n阶极点，改成求c外极点留数,

可是c外没有极点，因此K〃)=0,最后得到

25.已知网络的输入和单位脉冲响应分别为

x(n)==/?〃〃(〃),()<6T<1,O<Z?<19

试：

(1)用卷积法求网络输出)(〃);

(2)用ZT法求网络输出),(〃)。

解：

(1)用卷积法求y(〃)

y(n)=h(n)*x{n)=£bmu(jn)an-mu(n—m)9〃20,

/M=-0O

yV.\-a-n-\bn+\an+\-bn+\

y(几)=_Cln-mbm=-a-nibm=Un----------------=---------------,〃<0,J(H)=0

1-a-iba-h

m-0m=0

最后得到

(2)用ZT法求y(〃)

令F(z)=Y(Z)Z〃T=Z-----------------------A=--------------

「一呢一1八一反"(z-〃)(z-与

/I>o,c内有极点〃力

因为系统是因果系统，〃<0,y(")=0,最后得到

28.若序列〃(〃)是因果序列，其傅里叶变换的实部如下式：

求序列h(n)及其傅里叶变换H(ejw)。

解：

求上式IZT,得到序列/依)的共枕对称序列/?⑺。

e

因为〃⑺是因果序列，/?(〃)必定是双边序列，收敛域取：

e

a<\z\<a-i。

“21时.C内有极点a,

n=0时，C内有极点4,0,

所以

又因为

所以

教材第三章习题解答

1.计算以下诸序列的N点DFT,在变换区间o<n<N内，序列定义为

(2)x(n)=3(n)I

(4)x(n)=R(n),0<m<Ni

tn

27c

(6)x(n)=cos(-^-m?t),0<m<Ni

(8)x(〃)=sin(w〃)•/?(〃)i

0N

(10)x(n)=nR(n)o

N

解：

(2)x(A)=2s(n)W=£5(n)=T,k=0,1,…，N—1

N

n=0ft=O

.71,、

1TJZ■sin(—mk)

(4)X(k)=殍Wk”=.v"=e-jJg)―此——,k=0,1,…,N—1

Nl-Wk.,71

n=oNsin(—m)

N

(6)X(女)=包cos]彳mn]・呼="(e4nm+e4"'"%才如

n=0n=0

(8)解法1直接计算

解法2由DFT的共枕对称性求解

因为

所以

即

11—ejM'N1-ejwN1I—CJ^N]—ej卬°N

=一；--()*=.-(

2Jjj(w工k)、.，心\2J/J(w2ak..).工、

\_l-e^N1—e小-JNf)Jil-e^Nl—e人。+J)

结果与解法1所得结果相同。此题验证了共貌对称性。

(10)解法1

上式直接计算较难，可根据循环移位性质来求解x(k)。

因为x(n)=nR(〃)

N

所以R(〃)-x((刀-1))•R(n)+TVS(n)=R(ri)

NNN

等式两边进行DFT得到

故X®=N[B(Z)-1],k=T,2,N—l

l-Wk

N

当k=o时，可直接计算得出X(0)

这样，X(k)可写成如下形式：

解法2

攵=0时，

kw0时,

所以，

即

2.已知下列X(k)»求x(〃)=/DFT[X(%)];

N,

一efi,K-m

2

(1)X优)=—e-f>,k-N-m,

2

0,其它A

N.,

-__jefi,k=m

N.,

X⑹=<---je-fi,k=NKT-m

0,其它女

解：

(1)

(2)

3.长度为N=10的两个有限长序列

作图表示x(n)\x(n)和y(n)=x(n)0x(n)o

1212

解：

x(n)\x(n)和y(n)=x(n)®x(n)分别如题3解图(a)、(b)、(c)

12]2

所示。

14.两个有限长序列.e)和y(〃)的零值区间为：

对每个序列作20点DFT,即

如果

试问在哪些点上/(〃)=x(n)*y(n),为什么

解：

如前所不,记/(〃)=x(〃)*y(〃)，f(n)=IDFT[F(k)]=x(n)0y(n)o

力(〃)

长度为27,/(〃)长度为20。已推出二者的关系为

只有在如上周期延拓序列中无混叠的点上，才满足f⑹=力⑺所以

15.用微处理机对实数序列作谱分析，要求谱分辨率F<50Hz，信号最

高频率为lkHZ,试确定以下各参数：

(1)最小记录时间7；

pmin

(2)最大取样间隔『；

max

(3)最少采样点数N；

min

(4)在频带宽度不变的情况下，将频率分辨率提高一倍的N值。

解：

(1)已知b=50HZ

(2)T=1=1=1=0.5ms

maxf2f2x103

minmax

⑶N<=°g'=4。

minT0.5X10-3

(4)频带宽度不变就意味着采样间隔T不变，应该使记录时间扩大

一倍为实现频率分辨率提高一倍(F变为原来的1/2)

18.我们希望利用/@)长度为N=50的FIR滤波器对一段很长的数据

序列进行滤波处理，要求采用重叠保留法通过DFT来实现。所谓重

叠保留法，就是对输入序列进行分段(本题设每段长度为M=100个

采样点)，但相邻两段必须猿叠V个点，然后计算各段与“(〃)的L

点（本题取L=128）循环卷积，得到输出序列y⑺，m表示第m段

in

计算输出。最后，从y⑺中取出B个，使每段取出的B个采样点连

m

接得到滤波输出），（〃）O

（1）求V;

（2）求B;

（3）确定取出的B个采样应为＞⑺中的哪些采样点。

m

解：

为了便于叙述，规定循环卷积的输出序列y⑺的序列标号为

in

0,1,2,・・・,12Z

先以人⑻与各段输入的线性卷积、（〃）考虑，y⑻中，第。点到

bnIm

48点（共49个点）不正确，不能作为滤波输出，第49点到第99点

（共51个点）为正确的滤波输出序列摘）的一段，即B=5L所

以，为了去除前面49个不正确点，取出51个正确的点连续得到不

间断又无多余点的＞5）,必须重叠100・51=49个点，即V=49。

下面说明，对128点的循环卷积y⑺，上述结果也是正确的。

m

我们知道

因为y（〃）长度为

bn

N+M-l=50+100-l=149

所以从n=20到127区域，y（〃）），（〃），当然，第49点到第99点

mItn

二者亦相等，所以，所取出的第51点为从第49到99点的y（〃）。

m

综上所述，总结所得结论

V=493=51

选取y⑻中第49~99点作为滤波输出。

m

教材第五章习题解答

1.设系统用下面的差分方程描述:

311

y(n)--y(n-1)+-y(n-2)=x(n)y+-x(n-1)，

483

试画出系统的直接型、级联型和并联型结构。

解：

将上式进行Z变换

(1)按照系统函数”⑶，根据Masson公式，画出直接型结构如题

1解图(一)所示。

(2)将H⑶的分母进行因式分解

按照上式可以有两种级联型结构：

24

画出级联型结构如题1解图(二)(a)所示

,1

11+

(b)H(z)=一：一•一:一

画出级联型结构如题1解图(二)(b)所示

(3)将H⑶进行部分分式展开

根据上式画出并联型结构如题1解图(三)所示。

2.设数字滤波器的差分方程为

y(n)=(a+b)y(n-1)-aby(n-2)+x(n-2)+(a+b)x(n-1)+abx(n).

试画出该滤波器的直接型、级联型和并联型结构。

解：

将差分方程进行Z变换，得到

（1）按照Massion公式直接画出直接型结构如题2解图（一）所

TFo

（2）将〃⑶的分子和分母进行因式分解：

按照上式可以有两种级联型结构：

画出级联型结构如题2解图（二）（a）所示。

（b）”（z）=¥

画出级联型结构如题2解图（二）（b）所示・

3.设系统的系统函数为

4(-41丝…

(l-0.5z-i)(l+0.9z-i+0.18z-2)

试画出各种可能的级联型结构。

解：

由于系统函数的分子和分母各有两个因式，可以有两种级联型结

构。

4G+Z-1)

(1)

画出级联型结构如题3解图（a）所示

(2)H(z)=l-1.414z-i+z-2

1l-0.5z-i

画出级联型结构如题3解图(b)所示。

4.图中画出了四个系统，试用各子系统的单位脉冲响应分别表示各

总系统的单位脉冲响应，并求其总系统函数。图d

解：

(d)h(n)=h(n)*[/?(n)+/2(〃)*〃(/?)]+h(n)

12345

5.写出图中流图的系统函数及差分方程。图d

解：

(d)〃⑵=________________「疝。・5____________________

1-rcosO•z-\-rcosO•z-\+八sin20・z-2+〃2cos20•z-2

6.写出图中流图的系统函数。图f

解：

1cl

2n+z—・22+ZT

(f)H(z)=__4______=2

1313

1一一ZT+-Z-21-—Z-l+—Z-2

4848

8.已知FIR滤波器的单位脉冲响应为/7(〃)=6(“)_6(〃-1)+3(〃-4),

试用频率采样结构实现该滤波器。设采样点数N=5,要求画出频率

采样网络结构，写出滤波器参数的计算公式。

解：

已知频率采样结构的公式为

式中，N=5

它的频率采样结构如题8解图所示。

教材第六章习题解答

1.设计一个巴特沃斯低通滤波器，要求通带截止频率/=6kHz，通带

P

最大衰减a=3dB,阻带截止频率f=12kHz,阻带最小衰减a=3"。

psS

求出滤波器归一化传输函数”（p）以及实际的”⑸。

aa

解：

（1）求阶数N。

将k和入值代入N的计算公式得

spsp

所以取N=5（实际应用中，根据具体要求，也可能取N=4,指标稍

微差一点，但阶数低一阶，使系统实现电路得到简化。）

（2）求归一化系统函数〃（p）,由阶数N=5直接查表得到5阶巴特

a

沃斯归一化低通滤波器系统函数〃（P）为

a

或“（p）=---------------1----------------

«（p2+0.618p+l）（p2+1.618p+l）（p+l）

当然，也可以按0式计算出极点：

按0式写出”（P）表达式

a

代入P值并进行分母展开得到与查表相同的结果。

k

（3）去归一化（即LP-LP频率变换），由归一化系统函数〃（2）得

a

到实际滤波器系统函数H（s）.

a

由于本题中a=3dB,即。=Q=2nx6x103raJ/5>因此

Pcp

对分母因式形式，则有

如上结果中，Q的值未代入相乘，这样使读者能清楚地看到去归一

C

化后，3dB截止频率对归一化系统函数的改变作用。

2.设计一个切比雪夫低通滤波器，要求通带截止频率/=3kHz，通

P

带最在衰减速a=0.2dB9阻带截止频率f=12kHz,阻带最小衰减

P5

a=50dBo求出归一化传输函数”（p）和实际的〃⑸。

saa

解：

（1）确定滤波器技术指标:

a=0.2dB9Q=2nf=6TIX103rad/S

Ppp

（2）求阶数N和c:

为了满足指标要求，取N=4。

（2）求归一化系统函数〃（刀

a

其中，极点〃

k

（3）将“（p）去归一化，求得实际滤波器系统函数”⑶

aa

其中s=Qp=6nxl03p，4=1,2,3,4,因为p=p*,p=p*>所以

kpkk4132

s=s*,s=s*。将两对共趣极点对应的因子相乘，得到分母为二阶

4I32

因子的形式，其系数全为实数。

4.已知模拟滤波器的传输函数”⑸为:

a

（1）H（S）=」+2一；

a（S+Q）2+/72

（2）H（5）=一）一,o式中，a,b为常数，设”⑸因果稳定，试采

a（S+Q）2+。2a

用脉冲响应不变法，分别将其转换成数字滤波器”⑶。

解：

该题所给〃⑸正是模拟滤波器二阶基本节的两种典型形式。所以，

a

求解该题具有代表性，解该题的过程，就是导出这两种典型形式的

“⑸的脉冲响应不变法转换公式，设采样周期为T。

a

(1)“⑸――

a(S+Q)2+〃2

H(s)的极点为：

a

s=-a+jbfs=-a-jh

将”(s)部分分式展开(用待定系数法)：

a

比较分子各项系数可知：

A、B应满足方程：

解之得

所以

按照题目要求，上面的〃⑶表达式就可作为该题的答案。但在

工程实际中，一般用无复数乘法器的二阶基本结构实现。由于两个

极点共枕对称，所以将“⑶的两项通分并化简整理