《一元二次方程解法》经典例题精讲

(xy2)(xy2)2《一元二次程的解法》典例题精讲例1方x25

．分析：解一元二次方程的方法有四种，而此题用直接开平方法较好．解：x25

，x

，25

，x＝±5．∴

xx2

．例2方程．分析：如果把x＋3看作一个字母y，就变解方程了．解：

(x

，x2

，xx

，∴

，12

．例3方程．分析：解此题虽然可用因式分解法、公式法来解，但还是用直接开平方法较好．解：

2)

81整理，

4(x

，(x2)

2

814，x

92∴

x1

13，x2．注意：对可用直接开平方法来解的一元二次方程，一定注意方程有两个解；x

，则

x

；若

(x

，则

．例4方x

2

2

．分析：此题不能用直接开平方法来解，可用因式分解法或用公式法来解．解法一x

2

3x0

，(x－2)(x－1)＝0，x－2＝0，x－1＝0，/

2222222222∴

xx1

．解法二∵a＝1，b＝－3，c＝2，∴

b

，∴

x

1

．∴

x，x

．注意：用公式法解方程时，要正确地确定方程各项的系数a、、c的值，先计算“△”的值，若△，则方程无解，就不必解了．例5关于x的方程

x

2mn)

．分析：先将原方程加以整理，化成一元二次方程的一般形式，注意此方程为关于x的方程，即x为未知数，，n为已知数．在确

的情况下，利用公式法求解．解：把原方程左边展开，整理，得3mxmn)

．∵a＝1，b＝－2m

，∴

b3m))4n

(m

．∴

x

(m2

3m(m2．∴

x，xm

．注意：解字母系数的一元二次方程与解数字系数的一元二次方程一样，都要先把方程化为一般形式，确定、b、cb

4ac

的值，然后求解．但解字母系数方程时要注意：哪个字母代表未知数，也就是关于哪个未知数的方程；(2)不要把一元二次方程一般形式中的、b、c与方程中字母系数的、b、c相混淆(3)

2

开平方时，可能会出现两种情况，但根号前有正负号包括了这两种可能，因此，

(m2n)

2n)

．例6配方法解方2x

7x

．分析：解一元二次方程虽然一般不采用配方法来解，但配方法的方法本身重要，要记住．解：2x

7x

，x

73x2，/

222；(3)2224ac221222；(3)2224ac2211xx

3x

，4

2516

，∴

7x4．∴

xx1

12．注意：用配方法解一元二次方程，要把二次项系数化1，方程左边只有二次项，一次项右边为常数项，然后方程两边都加上一次项系数一半的平方，左边就配成了一个二项式的完全平方．例7解方程，判别下列方程的根的情况：(1)

2x

3x

；(2)

16y7x

．分析：要判定上述方程的根的情况，只要看根的判别4ac符号就可以了．解：(1)∵a＝2，b＝3，c＝－4，

的值的∴

b4ac41

．∴方程有两个不相等的实数根．(2)∵a＝16，b＝－24，c＝9，∴

b

22

．∴方程有两个相等的实数解．(3)将方程化为一般形

，5x

2

7x

．∵a＝4，b＝－7，c＝5，∴

b4ac＝49－100＝－51<0．∴方程无实数解．注意：对有些方程要先将其整理成一般形式，再正确确定a、、c的符号．例8知方5xkx

的一个根是2，求另一根及k的值．分析：根据韦达定理

bcxx易得另一根和k的值．再是根据方程解的意义可知x＝2时方程成立即把＝2代入原方程先求出值再求出方程的另一根．但方法不如第一种．解：设另一根为，则/

22121所以22222121所以222k625，∴

x

35，k＝－7．即方程的另一根为，的值为－7．b注意：一元二次方程的两根之和为a，两根之积为a．例9用根与系数的关系，求一元二次方2x

3x

两根的(1)平方和；(2)倒数和．分析：已知

3x，2．要求(1)

x

2

，(2)

1xx2

，关键是把

xx2

、

1xx1

转化为含有

xx121

的式子．因为两数和的平方，等于两数的平方和加上这两数积的2倍，即b)

2aba

(ab)

，由此可求(1)．同样，用两数和与积表示两数的倒数和．解：(1)∵

1x，2，∴

xx11

2

2xx12

3294

134；(2)

xx13212

x2xx12

1＝3．注意：利用两根的和与积可求两根的平方和、倒数和，其关键是把平方和、倒数和变成两根的和与积，其变形的方法主要运用乘法公式．例知方2x

的两根平方和是34，求m的值．/

12122222222221212222222222xpx22分析：已知

mx，x2

12

，m就要在上面三个式子中设法用

xx和xx2

来表示

xx2

，m便可求出．解：设方程的两根为x121

x、xm2．

，则∵

)2xx1122

，∴

2x(x)1212＝－30．∵

xx12

2，∴m＝－30．注意解此题的关键是把式子

x

x2

变成含

xx1212

的式子从而求得m的值．例一个一元二次方程，使它的两个根是2、10．分析因为任何一元二次方程都可化为二次项系数为1)

xpx

的形式．如设其根为

xx

，根据根与系数的关系，得xx

．将p、q的值代入方程中，即得所求方程

(x)xx12

．解：设所求的方程为

xpx

．∵2＋10＝－p，2×10＝q，∴p＝－12，q＝．∴所求的方程为x

．注意以

xx

为根的一元二次方程不止一个但一般只写出比较简单的一个．例知两个数的和等于8，积等于9，求这两个数．分析：把这两个数看作某个二次项系数为1的一元二次方程的两个根，则这个方程的一次项系数就应该是－，常数项应该是9，有了这个方程，再求出它的根，即是这两个数．解设这两个数为

x12

这两个数为根的一元二次方程为

x

．∵

xxx1212

，∴方程为8x0

．解这个方程得

x7x2

，∴这两个数为

74

．/

22例图22-2-1，在长为32m，宽为20m的长方形地面上，修筑两条同样宽而且互相垂直的道路下的部分作为绿化用草地使草地的面积，那么道路的宽度应是多少？分析：设道路的宽度为xm，则两条道路的面积和32x20xx题中的等量关系为：草地面积＋道路面积＝长方形面积．解：设道路的宽度为，则32x23220．

2

．x

2

52x100

，(x－2)(x－50)＝0，x－2＝0，x－50＝0，∴

x，x

．∵x＝50不合题意，∴取x＝2．答：道路的宽度为2m．注意：两条道路重合了一部分，重合的面积x．因此计算两条道路的面积和时应减去重合面．例钢铁厂去年1份钢的产量为5000吨，3月份上升到7200，求这两个月平均每月增长的百分率是多少？分析：设平均每月增长的百分率为x，则增一次后的产量为50