华东师大初中数学八年级下册46.菱形(基础)知识讲解

菱形（基础【习标1.理菱形的概念2.掌菱形的性质定理及判定定理．【点理要一菱的义有一组邻边相等的平行四边形叫做菱.要诠：形的定义的两个要素：①是平行四边形.②有组邻边等即菱是一个平行四边形，然后增加一对邻边相等这个特殊条.要二菱的质菱形除了具有平行四边形的一切性质外，还有一些特殊性质：1.菱形的四条边都相等；2.菱形的两条对角线互相垂直，且每一条对角线平分一组对.3.菱也是轴对称图形有两条称（角线所在的直线轴交点就是对称中.要诠1菱是特殊的平行四边形是心对称图形，过中心的任意直线可将菱形分成完全全等的两部分（）形的面积由两种计算方法：一种是平行四边形的面积公式：底×高；另一种是两条对角线乘积的一半（即四个小直角三角形面积之和.实际上，任何一个对角线互相垂直的四边形的面积都是两条对角线乘积的一.（）形可以用来证明线段相等，角相等，直线平行，垂直及有关计算问.要三菱的定菱形的判定方法有三种：1.定义：有一组邻边相等的平行边形是菱.2.对角线互相垂直的平行四边形菱.3.四条边相等的四边形是菱.要诠：两种方法都是在平行四边形的基础上外加一个条件来判定菱形一方法是在四边形的基础上加上四条边相.【型题类一菱的质12016广）如图，四边形ABCD是形，⊥AB交的长线于点，⊥AD交的延长线于F求证：DF=BE【思路点拨连AC，根据菱形的性质可AC分DAE，再根据角平分线的

性质可得CE=FC，然后利用证≌eq\o\ac(△,Rt)CBE，即得出．【答案与解析】证明：连接AC，∵四边形ABCD是形，∴AC平∠，，∵CE⊥，CF⊥，∴CE=FC，∠CFD=CEB=90在eq\o\ac(△,Rt)CDF与eq\o\ac(△,Rt)CBE中，∴eq\o\ac(△,Rt)CDF≌eq\o\ac(△,Rt)CBE（HL∴DF=BE【总结升华此题考查了菱形的质角分线的性质关是掌握菱形的两条对角线互相垂直并每一条对角线平分一对角平分线的性质角的平分线上的点到角的两边的距离相等．同时考查了全等三角形的判定与性质．举反：【变式1温模拟）如图，在菱形ABCD中点E是AB上一点，连接DE交AC点，接BO，且∠AED=50°则∠CBO=度【答案】；解：在菱形ABCD中AB∥CD∴∠CDO=∠AED=50°，，∠BCO=∠，∴DCO中，，∴△BCO△（∴∠∠．【高清课堂特殊的平行四边形菱形）1【变式】菱形中∠∶B＝1，若周长为，则此菱形的高等()．

A.

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B.4C.1D.2【答案】；提示：由题意，A＝30°，边为，菱形的高等于类二菱的定

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×＝1.2、如图所示，在ABC中CD是∠ACB平分线DEAC，DF∥，边形是菱形吗试明理由．【思路点拨由形的定义去判定图形DE∥AC∥知边形DECF平行四边形，再由∠1＝∠2∠3到邻边相等即可．【答案与解析】解：四边形DECF是形，理由如下：∵DE∥，∥∴四形DECF是平四边形∵CD平∠ACB，∴∠＝2∵DF∥，∴∠＝3，∴∠＝3．∴CF＝DF，∴四形是形．【总结升华菱的定义判定一个四边形是菱形时判这个四边形是平行四边形，再由一对邻边相等来判定它是菱形．举反：【变式】如图所示，是ABC的角平分线EF直平分AD分别交AB于E，交AC于F，则四边形AEDF是形吗请说明由．【答案】解：四边形AEDF是形，理由如下：∵EF垂平分AD，∴△AOF与△DOF关直线EF成轴称．∴∠ODF＝OAF，又∵AD平分∠，∠OAF＝OAE

∴∠ODF＝OAE．∴AE∥，同理可得：∥．∴四形AEDF是平四边形∴EO＝又∵AEDF的角线AD、互相直平分．∴AEDF是形．3、如图所示，在ABC中，∠＝90°，AD⊥BC于，CE平分ACD，交AD于G，交AB于E，EF⊥BC于F求证四边形AEFG是菱形．【思路点拨由角平分线性质易知AE＝EF，欲证四边形AEFG是形，只要再证四边形AEFG是行四边形或AG＝GFAE即．【答案与解析】证明：方法一：∵CE平分∠ACB∠BAC90°，EF⊥BC∴AE＝，∠1＋3＝90°，∠＋＝90．∵∠＝2，∴∠＝∠．∵EF⊥，⊥，EF∥AD．∴∠＝5．∴∠＝5．∴AE＝．EFAG．∴四形AEFG是平四边形又∵AE＝，∴四形AEFG是菱．方法二：∵CE平分ACB，∠90°EF⊥BC，∴AE＝，∠1＋3＝90°，∠＋＝90．∴∠＝4．∵EF⊥，⊥，EF∥AD．∴∠＝5．∴∠＝5．∴AE＝．在△和△FEG中AE＝EF，3＝4，EGEG，∴△AEG≌FEG．∴AG＝．∴AE＝＝＝．∴四形AEFG是菱．【总结升华判定一个四边形是菱形，关键是把已知条件转化成判定方法所需要的条件．举反：【变式】如图所示，在ABCD中EF分为边ABCD的中，是对线，过A点AG∥交CB的长线于点G．求：DE∥BF；若∠G＝°求证四边形DEBF是菱．

【答案】证明：ABCD中，AB∥CD，＝CD∵E、F分为AB、CD的点∴DF＝

11DC，BE＝AB22∴DF∥．＝∴四形DEBF为平四边形∴DE∥(2)证明：∵AG∥BD∴∠＝∠＝90°∴△DBC为直三角形又∵F为CD的中点．∴BF＝

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DC＝DF又∵四形DEBF为平四边形∴四形DEBF是菱类三菱的用4、如图所示，是一种长0.3

，宽0.2

的矩形瓷砖，E、、、分为矩形四边BC、、、的中，阴影分为淡黄色花纹，中间部分为白色，现有一面长4.2

，宽2.8

的墙壁准备贴如图所示规格的瓷砖．试问：(1)这面墙最少要贴这种瓷砖多?(2)全部贴满后，这面墙壁会出现多少个面积相同的菱【答案与解析】解：墙壁长4.2，m，矩形瓷砖，宽0.2，÷0.3＝，2.8÷＝，可知矩形瓷砖横排14块，竖排14可毫无空隙地贴满墙面．(1)则至少需要这种瓷砖14×＝196(块．(2)每块瓷砖中间有一个白色菱形，则共有个白色的菱形，它的面积等于瓷砖面积的一半外同一个顶点处的瓷砖够拼成一个淡黄色花纹的菱形的面积也等于瓷砖面积的一半，有花纹的菱形横