2023年（全国乙卷）理科数学模拟试卷十二（学生版+解析版）

保密★启用前

2023年普通高等学校招生全国统一考试模拟卷十二

（全国乙卷•理科）

题号一二三总分

得分

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如

需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡

上.写在本试卷上无效.

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.

评卷人得分

一、单选题（本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小

题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）

1.设集合4={x|%2-3x+2<0},8={x|l<x<3),则()

A.A=BB.A^BC.AQBD.4nB=。

2.已知命题%2-%+a>0,若-ip为真命题，则实数a的取值范围是（）

a>7D.

A.a>74B.4

3.等差数列｛时｝的前n项和为Sn,若即=11，则S13=（)

A.66B.99C.110D.143

4.已知t>0,则丫=2竺11的最小值为（）

A.-2C.1D.2

5.执行如图的程序框图，若输入的々=0,。=0,则输出

的人为（）

A.2

B.3

C.4

D.5

6.已知tana,tan£是方程%24-3%-2=0的两根，且G（0,加），则a+£的值为（）

A.7B.?C.乎D.?

4444

7.曲线C：y=短在点4处的切线I恰好经过坐标原点，则曲线C、直线hy轴所围成的

图形面积为（）

A.y-1B.；+1C.：D.|-1

8.已知3>0,函数/0）=25皿（3久+9-1在区间（］兀）上单调递减，则3的取值范

围是（）

A・昵］B.盟］C.（0,|］D.（。,2］

9.2019年7月，中国良渚古城遗址获准列入世界遗产名录，标志着中华五千年文明史

得到国际社会认可.考古科学家在测定遗址年龄的过程中利用了“放射性物质因衰

变而减少”这一规律.已知样本中碳14的质量N随时间t（单位：年）的衰变规律满足

N=No•2-岛（M表示碳14原有的质量）.经过测定，良渚古城遗址文物样本中碳14

的质量是原来的;至|,据此推测良渚古城存在的时期距今约（）年到5730年之间？

（参考数据：log2»1.6,log2«2.3）

A.4011B.3438C.2865D.2292

10.某市有4,B,C,D,E五所学校参加中学生体质抽测挑战赛，决出第一名到第五

名的名次乂校领导和B校领导去询问成绩，回答者对4校领导说“很遗憾，你和B校

都没有得到第一名”，对B校领导说“你也不是最后一名”.从这两个回答分析，这

五个学校的名次排列的不同情况共有（）

A.27种B.36种C.54种D.72种

11.古希腊数学家阿波罗尼斯的著作胭锥曲线论少是古代世界光辉的科学成果，它将

圆锥曲线的性质网罗殆尽，几乎使后人没有插足的余地.他证明过这样一个命题：

平面内与两定点距离的比为常数>。且k*1）的点的轨迹是圆，后人将之称为

阿波罗尼斯圆.现有椭圆「三+4=l（a>b>0）,48为椭圆「长轴的端点，C,

0为椭圆r短轴的端点，动点M满足翳=2,/kMAB的面积的最大值为8,△MCD的

面积的最小值为I,则椭圆r的离心率为（）

12.设函数/(x)=F-t(lnx+x+|)恰有两个极值点，则实数t的取值范围是()

A.(-00,i]B.&+8)

C.(1-|)U6,+°°)D.(-00,|]U(|,+8)

评卷人得分

二、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分)

13.已知向量五=(1,幻，方=(k,3)，若方与方方向相同，则k等于.

14.已知等比数列｛册｝共有2n项，其和为-240,且奇数项的和比偶数项的和大80,则

公比q—.

15.在棱长为4的正方体力BCD-4/1C/i中，E为棱BC的中点，以点E为球心，以VTU

为半径的球的球面记为r,则直线BD1被r截得的线段长为.

16.体积为6的三棱锥P-4BC的顶点都在球。的球面上，平面ABC,PA=2,

AABC=120°,则球。的体积最小值为.

评卷人得分三、解答题(共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算

步骤，第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、

[]23题为选考题，考生根据要求作答.)

(~)必考题：共60分

17.已知数列｛%｝满足%=4,当n42时,an-(%+a?+…+an_i)=2"+】.

(1)求数列｛斯｝的通项公式；

(2)若砥=詈，数列出“｝的前n项和为7n，求证：947n<1.

flun4

18.四面体4-BC0中，AB=AC=AD=BC=BD=3,E是48上一动点，F、G分别

是CD、EF的中点.

(1)当E是48中点，CO=3时，求证：DG1BC；

(2)AE=1,当四面体4-BCD体积最大时，求二面角。一CE-B的平面角的正弦

值.

19.某企业拥有3条相同的生产线，每条生产线每月至多出现一次故障.各条生产线是

否出现故障相互独立，且出现故障的概率为也

(1)求该企业每月有且只有1条生产线出现故障的概率；

(2)为提高生产效益，该企业决定招聘n名维修工人及时对出现故障的生产线进行维

修.已知每名维修工人每月只有及时维修1条生产线的能力，且每月固定工资为1万

元.此外，统计表明，每月在不出现故障的情况下，每条生产线创造12万元的利润；

如果出现故障能及时维修，每条生产线创造8万元的利润；如果出现故障不能及时

维修，该生产线将不创造利润.以该企业每月实际获利的期望值为决策依据，在律=

1与71=2之中选其一，应选用哪个？(实际获利=生产线创造利润-维修工人工资)

20.在直角坐标系xOy中，动圆P与圆Q：(x-2)2+y2=1外切，且圆P与直线x=-1相

切，记动圆圆心P的轨迹为曲线C.

(1)求曲线C的轨迹方程；

(2)设过定点S(-2,0)的动直线2与曲线C交于力，B两点，试问：在曲线C上是否存在

点M(与4,B两点相异)，当直线M4MB的斜率存在时，直线M4,MB的斜率之和

为定值？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由.

21.已知函数/(%)=2nx+]aeR),且。=用函nxdx.

(1)判断函数/(x)的单调性；

(2)若方程/(X)=HI有两个根为X],%2)且叼<犯，求证：%1+%2>1-

(二)选考题:共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做.则按所做

的第一题计分.

［选修4-4:坐标系与参数方程］

22.在平面直角坐标系xOy中，曲线q的参数方程为为参数)•以坐标原点0

为极点，x轴非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为P=6sin0.

(1)求曲线G的极坐标方程和曲线的直角坐标方程；

(2)若曲线G，C2交于4,B两点，求|0*-|。8|的值.

［选修4—5:不等式选讲］

23.已知函数/(%)=|x-1|+|x4-2|

(I)解关于％的不等式f(%)>4；

(II)若关于x的不等式f(%)>c恒成立，求实数c的取值范围.

保密★启用前

2023年普通高等学校招生全国统一考试模拟卷十二

（全国乙卷•理科）

学校:姓名：班级:考号：

题号—•二三总分

得分

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需

改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写

在本试卷上无效.

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.

评卷人得分

一、单选题（本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给

出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）

24.设集合4={x|i-3x+2<0},B={X\1<X<3},贝！|（）

A.A=BB.C.AQBD.AnB=0

【答案】C

【解析】

【分析】

本题主要考查集合与集合之间的关系，属于基础题.

【解答】

解：A={x|x2-3x+2<0}={x[l<x<2},B={x|l<x<3）,所以4UB.

故选C.

25.己知命题p：VxeR,x2-x+a>0,若「p为真命题，则实数a的取值范围是（）

A.a>-B.a>-C.a<-D.a<-

4444

【答案】c

【解析】

【分析】

本题考查命题的否定，解题的关键是写出正确的特称命题,并且根据这个命题是一个真命题,

得到判别式的情况.

据所给的全称命题写出他的否定，根据命题否定是真命题，得到判别式的情况，解不等式即

可.

【解答】

解：由题意可得，命题“任意实数X,使/+ax+1>0”的否定是存在实数%,使然+ax+

1<0,

由命题否定是真命题，可知A=l-4aN0

1

­•a<-

4

故选：c.

26.等差数列｛即｝的前律项和为%,若。7=11,则Si3=()

A.66B.99C.110D.143

【答案】D

【解析】

【分析】

本题考查了等差数列的前n项和，是基础题.

根据等差数列的性质求解即可.

【解答】

_13(。1+£113)_13X2(17

解：S[3=13a7=143.

22

故选：D.

27.已知£>0,则丫=号11的最小值为()

A.—2B.1C.1D.2

【答案】A

【解析】

【分析】

本题主要考查利用基本不等式求最值，属于基础题.

对原式进行化简，利用基本不等式求最值即可.，注意等号取得的条件.

【解答】

解：t>0,贝ijy=£lzi£±l=t+A_4>2=

当且仅当即t=l时，等号成立，

则丫=二±1的最小值为一2.

故选A.

28.执行如图的程序框图，若输入的k=0,a=0,则输出的k为

()

A.2

B.3

C.4

D.5

【答案】C

【解析】解：模拟程序的运行，可得

k=0,a=0

执行循环体，a=l,k=1

执行循环体，a=3,k—2

执行循环体，a=7,k=3

执行循环体，a=15,k=4

此时，满足判断框内的条件a>10,退出循环，输出k的值为4.

故选：C.

由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算a的值并输出相应变量k的值,

模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案.

本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论,

是基础题.

29.已知tana,tan0是方程它+3%—2=0的两根，且a,0e（0,乃）,则a+0的值为（）

A.9B.乎C.-D.?

4444

【答案】B

【解析】

【分析】

本题主要考查了方程的根与系数关系及两角和的正切公式的应用，属于基础题.

由题意可得，fana+蒋n，=-3,然后结合两角和的正切公式及角的范围可求.

【解答】

解：由题意可得,｛需撰不

因为a,pE（0,7r）,设

则tana<0,tan/?>0,

故aW（］,江），6W（0,）］VQ+SV跌，

tana+tan/?

故tan(a+£)=

1-tanatan/?

=岛=-1，

所以a+/?=*.

故选：B.

30.曲线C：y=1在点4处的切线/恰好经过坐标原点，则曲线C、直线hy轴所围成的图

形面积为（）

A.y-1B.f+1C.|D.1-1

【答案】D

【解析】

【分析】

本题考查导数的几何意义及定积分在几何中的应用，属于中档题.

利用导数的几何意义求出切线，的方程，再由定积分求出面积即可.

【解答】

解：设切点4（尤0，蜻。），

则直线1的斜率卜=川『。=〃。,

・•.，的方程为y=ex,

1xx2

S=f0(e-ex)dr=(e-|x)|J=|-1.

故选D.

31.已知3>0,函数/(x)=25E(3》+9-1在区间停,兀)上单调递减，则3的取值范围是

()

A.B.[1,|]c.(0,|]D.(0,2]

【答案】A

【解析】

【分析】

本题考查了函数y=Asin^x+9）的单调性的应用，属于中档题.

+》+而，

/口7TCO.7T.7T,7T

由1<X<7T,得-y+[V3%+zV7T3+7则,jj，解出即可.

开s+4《£开+熟阳

【解答】

hTi-„i.।7T,口冗.7T,7T

解：3>0时，由:；<X<7T,得:-+;<3X+;<7T3+:,

22444

而函数y=sinx在区间（1+2版］k+2拈，，k£Z上单调递减,

手+A3淅

则<不31左eZ,解得®的取值范围是：+4k43（工+2/c,keZ,

肢+彳C-w+2kw,

又3>0,取/c=0,得［434£

故选A.

32.2019年7月，中国良渚古城遗址获准列入世界遗产名录，标志着中华五千年文明史得到

国际社会认可.考古科学家在测定遗址年龄的过程中利用了“放射性物质因衰变而减少”

这一规律.己知样本中碳14的质量N随时间t（单位：年）的衰变规律满足N=No-

2-品（%表示碳14原有的质量）.经过测定，良渚古城遗址文物样本中碳14的质量是原来

的捶|,据此推测良渚古城存在的时期距今约（）年到5730年之间？（参考数据：1叫，

1.6,log2x2.3）

A.4011B,3438C.2865D.2292

【答案】A

【解析】

【分析】

本题考查利用数学知识解决实际问题，考查学生的计算能力，属于基础题.

根据碳14的质量是原来的;至：由工S2施S?，即可推算良渚古城存在的时期.

【解答】

解：因为碳14的质量是原来的［至|,所以就

两边同时取以2为底的对数得—1<log22s73o<log2g

1

所以一4施工晦3-log25x-0.7,

所以4011<t<5730,

则推测良渚古城存在的时期距今约在4011年到5730年之间.

故选A.

33.某市有4,B,C,D,E五所学校参加中学生体质抽测挑战赛，决出第一名到第五名的

名次.4校领导和B校领导去询问成绩，回答者对4校领导说“很遗憾，你和B校都没有得

到第一名”，对B校领导说“你也不是最后一名”.从这两个回答分析，这五个学校的名

次排列的不同情况共有（）

A.27种B.36种C.54种D.72种

【答案】C

【解析】

【分析】

本题考查排列、组合的应用和分类与分步计数原理，关键是根据题意的叙述，确定甲乙的名

次情况，进而进行分类讨论，是简单题.

根据题意，分析可得，48都没有得到冠军，而B不是最后一名，分2种情况讨论：①4是最

后一-名，则B可以为第二、三、四名，剩下的三人安排在其他三个名次，②4不是最后一名，

4B需要排在第二、三、四名，剩下的三人安排在其他三个名次，由加法原理计算可得答案.

【解答】

解：根据题意，AB都没有得到第一名，而B不是最后一名，

分2种情况讨论：

①4是最后一名，则B可以为第二、三、四名，即8有3种情况，

剩下的三人安排在其他三个名次，有&=6种情况，

此时有3x6=18种名次排列情况；

②4不是最后一名，48需要排在第二、三、四名，有照=6种情况，

剩下的三人安排在其他三个名次，有胆=6种情况，

此时有6x6=36种名次排列情况；

则一共有36+18=54种不同的名次排列情况.

34.古希腊数学家阿波罗尼斯的著作胭锥曲线论》是古代世界光辉的科学成果，它将圆锥

曲线的性质网罗殆尽，几乎使后人没有插足的余地.他证明过这样一个命题：平面内与

两定点距离的比为常数>0且k丰1）的点的轨迹是圆，后人将之称为阿波罗尼斯

圆.现有椭圆门三+4=l（a>b>0）,A,B为椭圆「长轴的端点，C,。为椭圆「短

轴的端点，动点M满足鬻=2,AMaB的面积的最大值为8,△MC。的面积的最小值

为1,则桶圆r的离心率为（）

A.立B.立C.立D.更

3322

【答案】D

【解析】

【分析】

本题考查了椭圆离心率，动点轨迹，属于中档题.

求得定点时的轨迹方程0-号）2+丫2=噂，利用条件可得：x2axga=8,|x2hx|a=

1,解得a,b即可.

【解答】

解：设4(—a,0),B(Q,0),M(x,y),

・•,动点M满足儒=2,

则+a）2+y2=2j（x—a）2+y2,化简得（刀—^）2+y2=中

二动点M的轨迹是以（半,0）为圆心，以?为半径的圆，

•・,△M4B面积的最大值为8,此时M普,岸），

△MCO面积的最小值为1,此时

-x2ax-cz=8»-x2bx-a—1,解得a=V6>b=—,

23232

椭圆的离心率为e=£=11-^=立.

a7a22

故答案选：D.

35.设函数f（x）=§-t（lnx+x+|）恰有两个极值点，则实数t的取值范围是（）

A.（-°°,|]B.Q,+00）

C&£）U（|，+8）D.（-oo.|]U（|,+co）

【答案】c

【解析】

【分析】

本题考查了函数的零点与方程根的关系，利用导数研究函数的单调性和利用导数研究函数的

极值，属于较综合的中档题.

利用导数研究函数的极值得方程r（x）=o在（0,+8）恰有两个不同的解，由广（乃=

竺竺儒N=0得x=1是它的一个解，另一个解方程9-t=0确定，且这个解不等于

1.令g（x）=£（x>0）,利用导数求解即可.

【解答】

解：由题意知函数/（X）的定义域为（0,+8）,

_（x-l）[ex-t（x+2）]_（x-l）（x+2乂&-t）.

=,

因为函数/（X）恰有两个极值点，

所以方程r（x）=o在（0,+8）恰有两个不同的解，

显然x=l是它的一个解，而另一个解由方程士-t=0确定，且这个解不等于1.

X+2

令9。）=总a>°〉则g'（x）=>。，

•X■十41人T4，

因此函数g(x)在(0,+8)上单调递增，

从而g(x)>g(0)=i,且以1)=(

所以，当t>阻t打时,

即函数/'(x)=7-t(inx+x+：)恰有两个极值点,

因此实数t的取值范围是G，9U(|,+8).

故选C.

评卷人得分

二、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分)

36.已知向量1=(l,k),b=(/c,3)>若方与方方向相同，则k等于.

【答案】V3

【解析】解：；向量五=(l,k)，b=(fc,3)»弓与石方向相同,

(k>0

1_fc,解得k=g.

Ik—3

故答案为：V3.

利用向量平行、向量同向的性质直接求解.

本题考查向量平行、向量同向的性质等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题.

37.已知等比数列｛an｝共有2n项，其和为-240,且奇数项的和比偶数项的和大80,则公比

q=•

【答案】2

【解析】

【分析】

本题主要考查等比数列，属于中档题.

根据题意列出关于奇数项的和与偶数项的和的方程组，再由勺=注，求出答案.

【解答】

解：设数列奇数项的和、偶数项的和分别为S奇，S偶.

由题意得］:奇::偶=-240,

。奇一J偶=80,

•0,S奇——80,S偶——160,

-160

・•・q=-------=Z.

S奇-80

故答案为2.

38.在棱长为4的正方体ABCD—A1B1C15中，E为棱的中点，以点E为球心，以再为半

径的球的球面记为「则直线BD1被r截得的线段长为.

【答案】逅

3

【解析】

【分析】

本题以正方体为载体考查球的性质，考查空间想象能力、计算能力，属中档题.

依题意转化为求以aU为半径的球面与对角面BCD14的截面圆的弦长即可.

【解答】

解：依题意，求以为半径的球面与对角面BCD14的截面圆的弦长即可.

因为点E到直线的距离为点C到直线的距离的：，

即E到直线BD］的距离为呼X；竽

所以直线BO1被「截得的线段长为2.十噜

故答案为迹.

3

39.体积为旧的三棱锥P-ABC的顶点都在球。的球面上，PA1平面ABC,PA=2,^ABC=

120。，则球。的体积最小值为.

【答案】竺巨“

3

【解析】

【分析】

本题考查棱锥与球的位置关系，正余弦定理解三角形，属于中档题.

根据余弦定理计算4c的最小值，从而得出外接球半径的最小值，得出结论.

【解答】

解：3血=:SAABCeinl20°x2=-

・•・AB,BC=6,

•・・P41平面4BC,PA=2,

。到平面4BC的距离为d=\PA=1,

设△ABC的外接圆半径为r,球。的半径为R,R=Vr2+d2=VF7Tl，

由余弦定理可知，AC2=AB2+BC2-2AB-BC-cosl200=AB2+BC2+6>2AB-BC+

6=18,

当且仅当AB=BC=痣时等号成立，

:.AC>3A/2，

由正弦定理得2r=前2等=2乃，...「之6，

~2

/?>V7,当R=V7时，球。的体积取得最小值卜=(兀/?3=等!兀,

故答案为丑立兀.

3

评卷人得分三、解答题(共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算

步骤，第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、

23题为选考题，考生根据要求作答.)

(-)必考题：共60分

n+1

40.已知数列｛即｝满足的=4,当nN2时,an-(a2+a2-i----Fan-i)=2.

(1)求数列｛an｝的通项公式;

(2)若%=詈，数列｛&｝的前n项和为〃，求证：:《图<L

【答案】解：(1)因为当71》2时，斯一(%+。2+“,+即-1)=2"+1,①

所以为1+1—(Q]+。2+…+a九)=2n+2>(2)

②—①得，即+i-册一即=2n+2_2什1,即限】一2an=2计】，即貌-^=l(n>2),

又枭=2,。2=23,。2=12,所以|f一表=1,

所以数列｛骂｝是首项为2,公差为1的等差数列，

所以爱=2+(n-l)xl=n+l,所以即=(n+l)2n.

故数列｛〃｝的通项公式为即=(n+l)2n.

(2)由(1)知1怎=(71+1)2%

pr-p.,_n+2_n+2_(n+2)2-T_(7i+l)2n-n2r1_1__1________」

""n-na^-n(n+l)2n-n(n+l)2n-*12n-n(n+l)2n-12n-n2?i-(n+l)2n，

所以=瓦+庆+…+bn

1/I1\11

2x21\2x213x22/bi2rl一】(n4-l)2nJ

=1-(n+l)-2n<L

又数歹QW询｝是递减数列，所以』(士=:，

所以1一鬲询“V.

故太心<1.

【解析】本题主要考查数列的递推关系、数列的通项公式、裂项相消法求和等，考查的数学

核心素养是逻辑推理、数学运算.属于较难题.

(1)根据原等式递推，得到的+1和an之间的关系，然后得到数列｛段｝是等差数列，最后根据

等差数列的通项公式即可求解数列｛即｝的通项公式，也可将已知等式转化为S”和又_1之间的

关系式，得到数列｛悬｝是等差数列，并求出S”再根据即和%之间的关系求出数列｛斯｝的

通项公式；

(2)先由(1)得到数列｛%｝的通项公式，并将其转化为可以裂项的形式，再利用裂项相消法求

得%,最后根据数列的增减性即可证明.

41.四面体力-BCD^,ABAC=AD=BC=BD=3,E是ZB上一动点，尸、G分别是CD、

EF的中点.

C

(1)当E是AB中点，CD=3时，求证：DG1BC-,

(2)4E=1,当四面体A-BCD体积最大时，求二面角。一CE—B的平面角的正弦值.

【答案】(1)证明：CO=3,则四面体4-8C。为正四面体，顶点4在底面的射影。为底面正

三角形的中心，

连接B。并延长交CD于点F,建立以点。为原点，OF,Oy,。4为坐标轴的空间直角坐标系,

如图所示，

•:AB=BC=AD=BC=CD=AC=3,BF=—,OF=-BF=—,OB=-BF=：.

2323

OA=A/6，

6(-V3,0,0).71(0,0,76),O((y,|,0),F(y,0,0),C(y,-j,0),

,..£(一看0净."(0,0冷，」.前=(苧,彳0)，加=(一今—|,分

Vsc.DG=2^x(-y)+(-1)(~|)+0=BC-i-DG，即BC1DG.

(2)如图,

取AB的中点H,连接CH,DH,FH,

AB=AC=AD=BC=BD=3,

团ABC,4ABD均为等边三角形，

AB1CH,AB1DH,

•:CHCDH=H,CH,DHu面CDH,

AB1W\CDH,

'•^A-BCD=^A-CDH+^B-CDH=3^BCDH'48，

设CF=x,

则CH?=DH2=BC2-BH?=9-(|)2=彳,FH=VCH2-CF2=-x2

VA-BCD=]SMCDH,AB=H,2x,Jy-x2-3=Jyx2-x4>

=肾7=卜(/一款+詈,

二当/=2,即久=力1时，四面体4-BCD体积有最大值，

84

此时，FH=VCW2-CF2=I--X2=—.•1.FH=CF,

\44

CDH为等腰直角三角形，CHLDH,

如图，以，为坐标原点，HC为x轴，HD为y轴，”4为z轴，建立空间直角坐标系,

•・・AE=1,

・•・8(0,0,一|)，C(产,0,0)，D(0,产,0)，

1,3753V5c、二/3c1、二,3Mc3、

•••CD=(^,^,0)，CE=(CB=(^,0,--)

设面CDE的法向量为1=(X],%,zi),由/2)=0,£.CE=0得,

3V3,3y/3人

一_二与+7乃二。

2厂•胸=(1,1,3%),

3V3,1

一『1+巧=0n

设面BCE的法向量为Tn=(小,%曰?),由益•CB=0，薪-CE=0得，

3V33n

-----------%2------Z2—0

V2访=(0,1,0).

_力^2+匕=0

2/2

【解析】本题主要考查了向量法证明线线垂直、二面角的平面角的正弦值，涉及三棱锥体积

的最大值问题，属于较难题.

(1)根据条件知四面体为正四面体，所以顶点在底面的投影为底面的中心，建立空间直角坐

标系，求出相关线段的长度得到相应的点的坐标，再求出相关点的坐标、相关向量的坐标后

利用向量的数量积即可证明.

(2)取4B的中点H,连接CH,FH,根据四面体的体积最大的条件求得CH_L结合

等腰三角形性质及线面垂直的判定得到AB1面CDH,建立如图所示的空间直角坐标系，分

别求出两个平面的法向量后即可根据法向量求得二面角的余弦值，进而求得结果.

42.某企业拥有3条相同的生产线，每条生产线每月至多出现一次故障.各条生产线是否出

现故障相互独立，且出现故障的概率为£

(1)求该企业每月有且只有1条生产线出现故障的概率;

(2)为提高生产效益，该企业决定招聘n名维修工人及时对出现故障的生产线进行维

修.己知每名维修工人每月只有及时维修1条生产线的能力，且每月固定工资为1万

元.此外，统计表明，每月在不出现故障的情况下，每条生产线创造12万元的利润；

如果出现故障能及时维修，每条生产线创造8万元的利润；如果出现故障不能及时维修,

该生产线将不创造利润.以该企业每月实际获利的期望值为决策依据，在n=l与n=2

之中选其一，应选用哪个？(实际获利=生产线创造利润-维修工人工资)

【答案】解：(1)设3条生产线中出现故障的条数为X,

则X〜8（33）,

因此P(X=I)=匮包包W

(2)①当n=l时，设该企业每月的实际获利为A万元.

若X=0,则匕=12x3-1=35;

若X=1,则匕=12X2+8X1—1=31：

若X=2,则匕=12x1+8x1+0x1-1=19；

若X=3,则匕=12x0+8x1+0x2-1=7；

又P（X=O）=酸（9°（|丫=畀

p（x=1）=G©g）212

27

26

P（X=2）=

I.1.27

吵=3)=洸)3(|)°吗，

因此匕的分布列为:

A3531197

81261

P

27272727

此时，实际获利匕的均值

E（匕）=35x—+31x—+19x—+7x—=—.

k172727272727

②当n=2时，设该企业每月的实际获利为匕万元.

若X=0,则匕=12x3—2=34；

若X=l,则七=12x2+8x1—2=30；

若X=2,则七=12x1+8X2—2=26；

若X=3,则为=12x0+8x2+0X1—2=14；

因此为的分布列为:

34302614

81261

p

27272727

此时，实际获利七的均值

一

E(为)=34x—+30X-+,”26X—6,F14x——1=—802

'乙)2727272727

因为E(K)<E(匕).

于是以该企业每月实际获利的期望值为决策依据,

在n=1与n=2之中选其一，应选用n=2.

【解析】本题考查二项分布、离散型随机变量的分布列及随机变量的期望与方差，考查了学

生的计算能力，培养了学生分析问题与解决问题的能力，属于较难题.

(1)设3条生产线中出现故障的条数为X,则X〜B(3,J,进而即可求得结果；

(2)分别求得n=1及ri=2时的期望进而即可求得结果.

43.在直角坐标系xOy中，动圆P与圆Q：。一2)2+y2=1外切，且圆p与直线久=一1相切,

记动圆圆心P的轨迹为曲线C.

(1)求曲线C的轨迹方程：

(2)设过定点S(-2,0)的动直线，与曲线C交于A,B两点，试问：在曲线C上是否存在点M(

与A,B两点相异)，当直线M4MB的斜率存在时，直线MA,MB的斜率之和为定值？

若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由.

【答案】解：(1)设动圆圆心为P(x,y),动圆圆心P到点Q(2,0)的距离与到直线x=-1距离差

为定圆半径1,即动点P到顶点(2,0)的距离等于到定直线x=-2的距离，

根据圆抛物线的定义，动点P的轨迹是以定点(2,0)为焦点，直线》=-2为准线的抛物线，圆

心P的轨迹为曲线C的方程为：y2=8x.

(2))假设在曲线C上存在点M满足题设条件，

不妨设M(xo，y())，BQ2，，2)：

yi-y。_8=%一出_8

,

yi+yox2-x0及+%；

8_8d+为+2为)

+=—+，①

yi+yoy?+yoyo+(%+力)％+力力

显然动直线2的斜率非零，故可设其方程为％=ty-2,(tG/?),

联立V=8x,整理得V-sty+16=0,

64t+16y

yi+丫丫丫力y2>代入式得目出0

2=8t,12=16,J-Lyj(J)4+据+8ty()+16'

显然为H0»于是出为(%4+々MB)-64]t+*MB+kMA)(yQ+16)—16yo=0,②,

^yoC^MA+AMB)—64=0

欲使②式对任意teR成立，必有

+fcMB)Oo+16)-16y0=O'

1

・•・kMA+kMB=V=yi+16即据=16，%±4,

将此代入抛物线C的方程可求得满足条件的M点坐标为(2,4),(2,-4),

综上所述，存在点M(与A,B两点相异)，其坐标为为(2,4),(2,-4),直线MA、MB的斜率

之和为定值.

【解析】本题考查抛物线的定义以及直线与抛物线的位置关系，运算能力，属于综合题.

(1)据圆锥曲线的定义，动点C的轨迹是以定点(2,0)为焦点，直线x=-2为准线的抛物线；

(2)假设在曲线C上存在点P满足题设条件，不妨设M(g,y。)，4(xdi),B(x2,y2)^kMA=

。2-。0_88801+为+2'0)

=k,得AMA+I<MB—+,显然动

XI-XQyi+yMB力+yo-yo+(yi+y2)yo+yiy2

0X2-X0yz+%yi+yo

直线l的斜率非零，故可设其方程为芯=?一2,(t€R),联立y2=8x,整理得y2—8ty+

16=0,利用韦达定理求解.

44.已知函数/'(x)=frtx+*(aeR),且a=/：sinxdx.

(1)判断函数f(x)的单调性；

(2)若方程f(x)=m有两个根为%i，x2)且<x2>求证：+x2>1.

【答案】解：(1)函数/'(X)的定义域：(0,+8),

因为a=Jj1sinxdx=(—cosx)|g=2.

1

尤)=Inx+为：•f'(x)=i2X-1

令(。)<0,解得故f(x)在(0*)上是单调递减；

令/'(K)>0,解得X>],故/(X)在G，+8)上是单调递增.

故/(X)在(0,｝上是单调递减；在G，+8)上是单调递增.

(2)由X1，次为函数/'(X)=zn的两个零点，得+土=m,，n%2+圭=m,

两式相减，可得In%-伍叼+专一《=0,即皿2=矢乎，x”2=普，

出一