人教A版高考数学一轮复习（理）专题练习（提高）：平面向量

平面向量一、选择题（共12小题；共60分）1.平面内给定三个向量a=3,2，b=−1,2，c=4,1 A.1613 B.34 C.−162.在Rt△ABC中，CA=CB=3，M，N是斜边AB上的两个动点，且MN=2，则CM A.2,52 B.2,4 C.3,6 3.若向量a，b的夹角为π3，且∣a∣=2，∣b∣=1，则 A.π6 B.π3 C.2π4.已知a=1,cosα，b=sin A.−12 B.−1 C.325.设P为锐角△ABC的外心（三角形外接圆圆心），AP=kAB+ACk∈R A.514 B.17 C.576.设a，b是平面上的两个单位向量，a⋅b=35，若 A.34 B.43 C.457.在△ABC中，点D满足AD=34AB，P为△ABC内一点，且满足AP A.310 B.920 C.6358.在△ABC内，存在一点P，使∣PA∣2+∣PB∣ A.重心 B.外心 C.垂心 D.内心9.若直角△ABC内接于单位圆O，M是圆O内的一点，若OM=22，则 A.2+1 B.2+2 C.3210.在△ABC中，E，F分别为AB，AC上的点，且AE:EB=AF:FC=1:2，P为EF上任一点，实数x，y满足PA+xPB+yPC=0，设△ABC，△PBC，△PCA，△PAB的面积分别为S，S1，S2，S3，记S1 A.12 B.34 C.1 11.已知∣OA∣=∣OB∣=∣OC∣=1，OA⋅OB=− A.x−12y≥−32，x+y≤2 C.x−12y≥−12，x+y≥1 12.在实数集R中，我们定义的大小关系“》”为全体实数排了一个“序”．类似的，我们在平面向量集D=aa=x,y,x∈R,y∈R上也可以定义一个称为“序”的关系，记为“》”．定义如下：对于任意两个向量a1=x1, ①若e1=1,0，e2= ②若a1》a2， ③若a1》a2，则对于任意 ④对于任意向量a》0，0=0,0，若 其中真命题的序号为   A.①②④ B.①②③ C.①③④ D.②③④二、填空题（共5小题；共25分）13.设向量a，b的夹角为θ（其中0<θ≤π），∣a∣=1，∣b∣=2，若214.在半径为1的圆周上按顺序均匀分布着A1,A2,15.在平行四边形ABCD中，∠BAD=60∘，AB=1，AD=3，P为平行四边形内一点，且AP=32，若AP16.如图，已知正方形ABCD的边长为2，点E为AB的中点．以A为圆心，AE为半径，作弧交AD于点F．若P为劣弧EF上的动点，则PC⋅PD的最小值为 17.设V是已知平面M上所有向量的集合，对于映射f:V→V,a∈V，记a的象为fa．若映射f:V→V满足：对所有a,b∈V及任意实数λ,μ都有 ①设f是平面M上的线性变换，则f0 ②对a∈V，设fa=2a，则 ③若e是平面M上的单位向量，对a∈V，设fa=a− ④设f是平面M上的线性变换，a，b∈V，若a，b共线，则fa， 其中真命题是

．（写出所有真命题的序号）三、解答题（共5小题；共65分）18.在△ABC中，BC=a，CA=b，AB=c19.如图，在平行四边形ABCD中，AB=a，AD=b， （1）用a，b表示EF；（2）若a=1，b=4，∠DAB=60∘，分别求20.设向量a=λ+2,λ2−3cos2α，（1）若α=π12，求（2）若a=2b，求21.如图，在平行四边形OACB中，BD=13BC，OD与BA相交于点E．求证： 22.如图所示，在△ABC中，点M是BC的中点，N在边AC上，且AN=2NC，AM与BN相交于点P．求证：AP:PM=4:1． 答案第一部分1.C 2.D 【解析】以C为坐标原点，CA为x轴建立平面坐标系，则A3,0，B所以AB所在直线的方程为：y=3−x，设Ma,3−a，Nb,3−b，且0≤a≤3，0≤b≤3，不妨设因为MN=2所以a−b2所以a−b=1，所以a=b+1，所以0≤b≤2，所以CM⋅所以b=1时有最小值4；当b=0或b=2时有最大值6，所以CM⋅CN的取值范围为3.A 【解析】因为向量a，b的夹角为π3，且∣a∣=2所以a⋅所以a⋅∣a所以cos⟨所以a与a+2b的夹角为4.B 5.A 【解析】如图所示，取BC的中点D，连接PD，D．则PD⊥BC，AB+因为满足AP所以AP=2k所以A，P，D三点共线，所以AB=AC，所以cos∠BAC=所以D．所以2k=5解得k=56.C 7.A 8.A 【解析】以BC所在直线为x轴，线段BC的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系．设B−a,0，Ca,0，Am,n∣要使上式取最小值，只需x=m3，y=n所以点P为△ABC的重心．9.C 【解析】设直角三角形的斜边为AC，因为直角△ABC内接于单位圆O，所以O是AC的中点，所以MA+所以当MO和OB同向时，3MO+OB10.B 【解析】题意知EF∥BC，且EF=13BC，所以P到BC的距离等于△ABC可得S1则λ2当且仅当S2=S3时，即所以PE+PF=0，PA+AE+所以x=111.C 12.B 【解析】（1）因为任意两个向量a1=x1,y1，a2=x2所以若e1=1,0，e2=0,1，0（2）设a1=x1,由a1》a2，得“x1由a2》a3，得“x2若“x1>x若“x1>x2”，且“x2所以a1若“x1=x2且y1所以a1若“x1=x2且y1>y2”且“所以a1综上所述，若a1》a2，a2（3）设a1=x1,y1，a由a1》a2，得“x1若x1>x2，则若x1=x2且y1所以a1综上所述，若a1》a2，则对于任意所以③正确．（4）设a1=x1,由a》0，得“x>0”或“x=0且由a1》a2，得“x1>若“x=0且y>0”且“x1>x2且y1所以a⋅所以④不正确．综上所述，①②③正确．第二部分13.2【解析】因为2a−b⊥ka+b，向量a，b的夹角为所以2a所以k−21−cosθ所以k=2．14.3【解析】如图，因为A1A2=A2AA从而所求向量式的值为6×115.116.5−2【解析】如图，以AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴，建立平面直角坐标系．则可知D0,2，C易知，弧EF的参数方程为x=cosθy=sinθ，0≤θ≤π2．设点P的坐标为cosPD其中φ是满足sinφ=由于0≤θ≤π2，所以存在θ使得θ+φ=π2，此时17.①②④【解析】①正确，令a=b=0，所以f0②正确，因为fa=2a，所以fλa+μb③错误，fλa+μb=λa+μ④正确，因为a与b共线，所以a=λb，所以f所以fa=λfb，所以f第三部分18.△ABC为正三角形．∵a∴b∵△ABC中，a+∴b=−a+c∴∣a∣∴△ABC为正三角形．19.（1）如图，EF

（2）因为a=1，b=4，所以EF2所以EF=AC20.（1）当α=π12时，所以b2所以bmin

（2）因为a=2b，向量a=所以λ+2=2m，λ2所以4m因为−2≤2sin所以−2≤4m2解得14而λm所以λm21.设Eʹ是线段BA上的一点，且BEʹ=14BA，OA=a，O