新教材人教b版必修第一册1.1.3集合的基本运算课件

1.1.3集合的基本运算1.理解两个集合交集和并集的含义,会求两个简单集合的交集和并集.2.能用维恩图表达集合的关系及运算,体会图形对理解抽象概念的作用.3.理解全集、补集的概念,会用文字语言,符号语言及图形语言来描述全集、补

集.4.了解补集的一些简单性质,会求给定集合的补集.

交集

并集

交集与并集的运算性质

全集定义:如果所要研究的集合都是某一给定集合的⑤子集

,那么称这个给定的

集合为全集.符号表示:全集通常用⑥

U

表示.交集的运算性质并集的运算性质A∩B=B∩AA∪B=B∪AA∩A=AA∪A=AA∩⌀=⌀A∪⌀=AA③

⊆

B⇔A∩B=AA④

⊆

B⇔A∪B=B

补集文字语言如果集合A是全集U的一个⑦子集

,则由U中

⑧不属于A

的所有元素组成的集合,称为A在

U中的补集,记作∁UA符号语言∁UA=⑨{x|x∈U且x∉A}

图形语言

运算性质∁UA⊆U,∁UU=⑩

⌀

,∁U⌀=

U

,∁U(∁UA)=

A

,A∪(∁UA)=

U

,A∩(∁UA)=

⌀

判断正误,正确的画“√”,错误的画“✕”.A={1,2,3,4},集合B={0,2,3},则A∪B={1,2,3,4,0,2,3}.

(

✕)A∩B=C∩B,则A=C.

(

✕)设A={0,1},B={1},C={1,2},则A∩B=C∩B,但A≠C.3.两个集合并集中元素的个数一定大于这两个集合交集中元素的个数.

(

✕)如A∪A=A∩A,两者元素个数相同.A∪B=A(B≠⌀),则B中的每个元素都在集合A中.

(√)5.无理数集就是有理数集的补集.

(

✕)6.全集是由任何元素组成的集合.

(

✕)7.不同的集合在同一个全集中的补集也不同.(√)A在U中的补集时,A中可以有不属于U的元素.(

✕)某校国际班有50名学生,会讲英语的有36人,会讲日语的有20人,既会讲英语又会

讲日语的有14人.问题1.如何求既不会讲英语又不会讲日语的人数?提示:设U={该班50名学生},A={该班会讲英语的学生},B={该班会讲日语的学生},利用维恩图求∁U(A∪B).

集合的交集、并集、补集的综合运算2.求集合的交集、并集、补集的一般方法是什么?有哪些注意点?提示:求集合的交集、并集、补集的一般方法是定义法.注意以下两点:①当集合

用列举法表示时,可借助维恩图求解;②当集合是用描述法表示的连续数集时,可借助数轴求解.3.集合的交集、并集、补集混合运算的运算顺序是怎样的?提示:集合的交集、并集、补集运算是同级运算.

1.在进行集合交集、并集、补集的混合运算时,有括号的先运算括号内的,然后按

照从左到右的顺序进行计算.如求(∁UA)∩B,先求∁UA再求交集;求∁U(A∪B),先

求A∪B再求其补集.2.解决集合的交集、并集、补集运算有以下两个技巧:(1)若所给集合是有限集,一般先把集合中的元素一一列举出来,然后结合交集、

并集、补集的定义来求解.在解答过程中常常借助维恩图来求解.(2)若所给集合是无限集,则常借助数轴,把已知集合及全集分别表示在数轴上,然

后进行交集、并集、补集的运算.解答过程中要注意边界问题.3.集合的交集、并集、补集运算口诀如下:交集元素仔细找,属于A且属于B;并集元素勿遗漏,切记重复仅取一;全集U是大范围,去掉U中A元素,剩余元素成补集.破疑典例1.(

)若U=R,A={x|x>0},B={x|x>1},则A∩(∁UB)=

()A.{x|0≤x<1}

B.{x|0<x≤1}C.{x|x<0}

D.{x|x>1}思路点拨:求出∁UB

画出数轴

求得A∩(∁UB).B由题意,得∁UB={x|x≤1},画出数轴,如图所示,则A∩(∁UB)={x|0<x≤1}.

2.(

)设全集U={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9},集合A={1,3,4,5},B={3,5,7,8}.求∁UA,∁UB,(∁UA)∩(∁UB),(∁UA)∪(∁UB),∁U(A∩B).思路点拨:分析集合中元素的特征

根据集合运算的概念分别得到所求的集合.解析因为U={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9},A={1,3,4,5},B={3,5,7,8},所以∁UA={0,2,6,7,8,9};∁UB={0,1,2,4,6,9};(∁UA)∩(∁UB)={0,2,6,9};(∁UA)∪(∁

UB)={0,1,2,4,6,7,8,9}.因为A∩B={3,5},所以∁U(A∩B)={0,1,2,4,6,7,8,9}.问题1.A∪B=A的含义是什么?由A∪B=A可以得出集合A与B有怎样的关系?提示:集合B中的元素都是集合A中的元素;B⊆A.2.A∩B=A的含义是什么?由A∩B=A可以得出集合A与B有怎样的关系?提示:集合A中的元素都是集合B中的元素;A⊆B.3.借助维恩图,你能确定A∪(∁UA)与A∩(∁UA)的结果吗?提示:A∪(∁UA)=U,A∩(∁UA)=⌀.

如何利用集合的运算性质求参数的值或取值范围

由集合的运算性质求参数的值或取值范围的思路1.将集合的运算结果转化为两个集合之间的关系.若集合中的元素能一一列举,则

可用观察法得到不同集合之间的关系;若集合与不等式有关,则可利用数轴得到

不同集合之间的关系.2.将集合之间的关系转化为方程(组)或不等式(组)是否有解,或解满足某些条件的

形式.3.利用解方程(组)或解不等式(组)来确定参数的值或取值范围时,需注意以下两

点:(1)由集合间的运算得到的新集合一定要满足集合中元素的互异性.在求解含参

数的问题时,要注意这一隐含的条件.(2)对于涉及A∪B=A或A∩B=B的问题,可利用集合的运算性质,转化为相关集合

之间的关系求解,注意空集的特殊性.破疑典例1.(

)设集合M={x|-2<x<5},N={x|2-t<x<2t+1,t∈R},若M∪N=M,则实数t的取值范围为

.思路点拨:由M∪N=M知N⊆M,再利用数轴求解.答案{t|t≤2}解析由M∪N=M得N⊆M.当N=⌀时,2t+1≤2-t,即t≤

,此时M∪N=M成立;当N≠⌀时,由图可得

解得

<t≤2.综上可知,实数t的取值范围是{t|t≤2}.

2.(

)设集合A={x|2a+1≤x≤3a-5},B={x|3≤x≤22},求使A⊆(A∩B)成立的实数a的取值范围.思路点拨:由A⊆(A∩B)的含义得出A,B之间的关系,再求a的取值范围.解析由A⊆(A∩B),得A⊆B.当A=⌀时,2a+1>3a-5,解得a<6,符合题意.当A≠⌀时,

解得6≤a≤9.综上,使A⊆(A∩B)成立的a的取值范围为{a|a≤9}.3.(

)已知全集U=R,集合A={x|x≤-a-1},B={x|x>a+2},C={x|x<0或x≥4}都是U∁U(A∪B)⊆C,问这样的实数a是否存在?若存在,求出a的取值范围;若

不存在,请说明理由.思路点拨:分∁U(A∪B)=⌀和∁U(A∪B)≠⌀两种情况求解.解析存在.①若∁U(A∪B)=⌀,则A∪B=R,因此a+2≤-a-1,即a≤-

,符合题意.②若∁U(A∪B)≠⌀,则a+2>-a-1,即a>-

.又因为A∪B={x|x≤-a-1或x>a+2},所以∁U(A∪B)={x|-a-1<x≤a+2},又因为∁U(A∪B)⊆C,所以a+2<0或-a-1≥4,解得a<-2或a≤-5,即a<-2.又因为a>-

,所以此时a不存在.综上,存在这样的实数a,且a的取值范围是

.

老师想了解一下同学们中考的数学成绩,让你帮忙统计一下中考数学成绩在110

分以下(少于110分)的人数.问题1.你打算怎么办?运用了什么数学方法?提示:110分以下的同学应该占大多数,直接统计110分以下的人数较麻烦,可先统

计110分以上(含110分)的人数,再用全班人数减去这个数就是110分以下的人数.运用了补集的思想方法.2.“补集思想”的原理是什么?提示:∁U(∁UA)=A,即对A的补集再求补集就是集合A.

“补集思想”的应用对于一些比较复杂、比较抽象、条件和结论之间关系不明朗、难以从正面入手

的数学问题,在解题时,可以调整思路,从问题的对立面入手,探求已知和未知的关

系,这时能起到化难为易、化隐为显的作用,从而将问题解决.这就是“正难则

反”的解题策略,也是处理问题的间接化原则的体现.这种“正难则反”的策略

运用的是“补集思想”,即已知全集U,求子集A时,若直接求A较困难,则可先求∁

UA,再由∁U(∁UA)=A求A.1.运用“补集思想”解题的方法一般适用于正面考虑情况较多、问题较复杂的

时候,即至多、至少、存在唯一、不存在等的问题中.2.用“补集思想”解含参问题的步骤:(1)否定已知条件,考虑反面问题;(2)求反面问题对应的参数的集合;(3)求反面问题对应的参数的集合的补集,注意全集的范围.拔高问题A={2<x<4},B={x|x>3a或x<a}.(1)若A∩B=⌀,如何求出实数a的取值范围?(2)若A∩B≠⌀,如何求出实数a的取值范围?提示:(1)利用数轴表示出集合A,B.(2)利用“补集思想”.破疑典例1.(

)已知集合A={x|x2+

x+1=0},若A∩R≠⌀,则实数m的取值范围是

(

)A.m<0

B.m≥4≤m<4

D.m<0或m≥4思路点拨:求出A∩R=⌀时m的取值范围

求其对立面

得出A∩R≠⌀时的m的取值范围.B∵A={x|x2+

x+1=0},∴集合A表示方程x2+

x+1=0的根构成的集合,假设A∩R=⌀,则方程x2+

x+1=0无实数解,∴Δ=m-4<0,∴m<4,又m≥0,∴0≤m<4.∵A∩R≠⌀,m≥0,∴m≥4.2.(

)已知集合A={x|x2+ax+1=0},B={x|x2+2x-a=0},C={x|x2+2ax+2=0}.若三个集合中至少有一个集合不是空集,求实数a的取值范围.思路点拨:假设三个集合均为空集,求得a的取值集合

其补集满足题目要求.解析假设三个集合都是空集,即三个方程均无实根,则有即

解得-

<a<-1,∴当a≤-

或a≥-1时,三个方程中至少有一个方程有实根,即三个集合中至少有一个集合不是空集.∴a的取值范围为{a|a≤-

或a≥-1}.

如何解决集合中与交集、并集运算结合的新定义问题利用集合的运算给出新定义,是集合中新定义问题的常见形式,如:设A,B是非空集

合,定义A*B={x|x∈(A∪B)且x∉(A∩B)}.问题A={1,2,3},B={1,3,5},如何确定A*B?提示:依题意得A∪B={1,2,3,5},A∩B={1,3},因此A*B中的元素是2,5,即A*B={2,5}.2.已知A={x|0≤x≤3},B={y|y≥1},如何确定A*B?提示:由题意知,A∪B={x|x≥0},A∩B={x|1≤x≤3},故A*B={x|0≤x<1或x>3}.3.集合A*B中的元素是如何确定的?提示:集合A*B={x|x∈(A∪B)且x∉(A∩B)}是由并集(A∪B)和交集(A∩B)两种运

算来确定的,新定义A*B中的元素在A∪B中,但不在A∩B中,由此确定A*B中的元

素为A∪B中的元素除去A∩B中的元素后剩余的元素.

1.利用新定义将问题转化为集合的交集、并集问题.2.进行集合的交集、并集运算时的注意事项:(1)对于元素个数有限的集合,可直接根据集合的交集、并集的定义求解,但要注意集合元素的互异性.(2)对于元素个数无限的集合,进行交集、并集运算时,可借助数轴求解,但要注意

端点值的取到与否.拔高问题A={x|0≤x≤3},B={y|y≥1},计算(A*B)*B,(A*B)*A,由此能推测出什么性质?提示:由问题2知A*B={x|0≤x<1或x>3},因此(A*B)∪B={x|x≥0},(A*B)∩B={x|x>3},∴(A*B)*B={x|0≤x≤3}.又(A*B)∪A={x|x≥0},(A*B)∩A={x|0≤x<1},∴(A*B)*A={x|x≥1}.由此推测出:(A*B)*B=A,(A*B)*A=B.5.怎样说明问题4中的结论?提示:利用维恩图说明.破疑典例1.(

)(1)定义集合的商集运算为

=

.已知集合A={2,4,6},B=

,则集合

∪B中的元素个数为

()(2)如果集合A满足若x∈A,则-x∈A,那么就称集合A为“对称集合”.已知集合A=

{2x,0,x2+x},且A是对称集合,集合B是自然数集,则A∩B=

.思路点拨:(1)根据题目给出的新运算求出

,然后求

∪B.(2)根据新定义确定集合A,然后求A∩B.答案(1)B(2){0,6}解析

(1)由题意知,B={0,1,2},

=

,则

∪B=

0,

,

,

,1,

,2

,共有7个元素,故选B.(2)由题意可知-2x=x2+