2022届河北省部分名校高三下学期5月联合模拟数学试题（解析版）

2022届河北省部分名校高三下学期5月联合模拟数学试题

一、单选题

1.已知集合A={1,2,3},8={(犬,封卜64蚱4,卜—引£4}中所含元素的个数为()

【答案】C

【分析】根据题意利用列举法写出集合8,即可得出答案.

【详解】解：因为A={1,2,3},

所以B={(2,1),(3,1),(3,2),(1,2),(1,3),(2,3)},3中含6个元素.

故选：C.

2.已知函数f(x)=Mg2(x+l)|-l,则“x>3”是“/(8)>「'的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】A

【分析】求出〃、)>1的解集，根据(3,+8)与解集的关系即可求解.

【详解】由f(x)=|log2(x+l)|-l>l,可得x>3或-1<x<-^,

因为(3,+8)是(T,—1)U(3,+«))的真子集，

4

所以'3>3”是"/(力>1”的充分不必要条件.

故选：A

3.设偶函数/(x)在(0,也)上单调递增，且"4)=0,则不等式&的解

2x

集是()

A.H，4)B.(Y,0)U(0,4)

C.(T0)U(4,go)D.(FT)U(O,4)

【答案】D

【分析】由函数为偶函数化简不等式，再由函数的单调性列出不等式组求解即可.

【详解】因为〃X)是偶函数，所以+<0等价于@<0

2xx

又/(X)在(0,+8)上单调递增，所以/(x)在(-8,0)上单调递减.

由©<0,得x>0,x<0,

或

/“)<0/W>0,

又“4)=0,解得0<x<4或x<-4.

故选：D

4.已知M是正方体A88-ABC2的棱的中点，则异面直线和C。所成角的

余弦值为（）

A.巫B.交C.叵D.立

10253

【答案】A

【分析】通过作辅助线，找到NNRC是和CQ所成的角或其补角.然后利用余弦定

理即可求得答案.

【详解】如图，设N是棱A4的中点，连接CN,ND、,MN,

由M是棱的中点，WMNUA\B\,MN=A\B\,

则MN//CQ,MN=C上，故四边形MN"G为平行四边形，

.故D、N〃C、M,所以NNRC是MQ和CR所成的角或其补角.

设该正方体的棱长为2,则CR=20,D、N=6CN=J（2夜了+产=3，

所以…二中尹咤震萨塔

故异面直线和CR所成角的余弦值为巫,

10

故选：A

22

5.已知椭圆C：A《=im>b>0）,4-G,0）为其左焦点，过点尸且垂直于x轴的直

3

线与椭圆。的一个交点为A,若tan/A。/=耳（。为原点），则椭圆C的长轴长等于

()

A.6B.12C.4百D.86

【答案】C

【分析】结合椭圆的几何性质求出由条件列方程求出“，由此可求长轴长.

【详解】因为椭圆C的左焦点为尸(-G,0),所以c=g,

又AF垂直于x轴，A在椭圆C上，故可设A(-C，M),

所以上T+g.=l，又/=匕2+02,所以闻二打，

a2h2a

3

又tan/AOF=—

2

2

所以b总=；3,4=〃+3，

解得卜=2"从而2a=46，

b=3

故选：C.

6.函数f(x)=/—3炉+3—a,若存在瓦使得“x°)>0,则实数。的取值范

围为()

A.B.C.(-1,3)D.(-<»,3)

【答案】D

【分析】根据题意，将问题转化为求解函数/(x)的最大值问题，先通过导数方法求出

函数”X)的最大值，进而求出答案.

【详解】因为〃x)=V-3x2+3-a,所以r(x)=3x2-6x=3x(x-2),xe|-l,l].由题

意，只需只需2>0.当xe[-1,0)时，r(x)>。，当xe(0J时，/(力<0,所以〃x)

在[-1,0)上单调递增，在(0,1]上单调递减，所以/(x)3=/(0)=3-a>0,故实数。的

取值范围为(—,3).

故选：D.

7.2月23日，以“和合共生''为主题的2021世界移动通信大会在上海召开，中国5G规

模商用实现了快速发展.为了更好地宣传5G,某移动通信公司安排A8,C,QE五名工

作人员到甲、乙、丙三个社区开展5G宣传活动，每人只能去一个社区且每个社区至少安

排一人，则不同的安排方法种数为()

A.180B.150C.120D.80

【答案】B

【分析】由条件求出所有满足条件的分堆方法数，再结合分步乘法计数原理求出安排方

法的总数.

【详解】先将ARC,。,E五名工作人员分成三组，有两种情况，分别为“2+2+1”和

C2c2C3cl

“1+1+3”，所以共有一++=25种不同的分法，再将这三组分给甲、乙、丙三个社

A；A；

区开展5G宣传活动，则不同的安排方法种数为25A；=150,

故选：B.

8.北京2022年冬奥会开幕式用“一朵雨花”的故事连接中国与世界，传递了“人类命运共

同体”的理念.“雪花曲线”也叫“科赫雪花”，它是由等边三角形三边生成的科赫曲线组

成的，是一种分形几何.图1是长度为1的线段，将图1中的线段三等分，以中间部分

的线段为边，向外作等边三角形，再将中间部分的线段去掉得到图2,这称为“一次分

形”；用同样的方法把图2中的每条线段重复上述操作，得到图3,这称为“二次分形”；

L.依次进行“〃次分形（〃wN*）”.规定：一个分形图中所有线段的长度之和为该分形

图的长度.若要得到一个长度不小于40的分形图，则〃的最小值是（）（参考数据

1g3=0.477,1g2yo.301）

图1图2图3

A.11B.12C.13D.14

【答案】C

【分析】分析可知"八次分形”后线段的长度为,可得出关于〃的不等式，解出〃的

取值范围即可得解.

【详解】图1的线段长度为1，图2的线段长度为g,图3的线段长度为总],L,

“〃次分形''后线段的长度为(g),

所以要得到一个长度不小于4()的分形图,

只需满足信)%40,则用ggzlg40=l+21g2,BPn(21g2-lg3)>l+21g2,

l+21g21+0.602

解得〃*=12.8所以至少需要13次分形.

21g2-lg30.602-0.477

故选：C.

二、多选题

9.若复数z满足z(l-2i)=8-i,则()

A.z的实部为2B.z的模为旧

C.z的虚部为2D.z在复平面内表示的点位于第四象限

【答案】AB

【分析】化简复数后根据实部、虚部的概念可判断选项A、C,求出复数的模，可判断

选项B,根据复数的几何意义可判断选项D.

8-i(8-i)(l+2i)10+15i

【详解】因为z==2+31,

l-2i(l-2i)(l+2i)5

所以z的实部为2,z的虚部为3,所以|2|=技行=4后，z在复平面内表示的点位于

第一象限

故A、B正确，C,D错误.

故选：AB

10.新冠疫情严重，全国多地暂停了线下教学，实行了线上教学，经过了一段时间的学

习，为了堤高学生的学习积极性和检测教学成果，某校计划对疫情期间学成绩优秀的同

学进行大力表彰.对本校100名学生的成绩(满分：100分)按

[40,50),[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100]分成6组,得到如图所示的频率分布

直方图，根据此频率分布直方图，用样本估计总体，则下列结论正确的是()

A.若本次测试成绩不低于80分为优秀，则这10（）人中成绩为优秀的学生人数为10

B.该校疫情期间学习成绩在70分到80分的人数最多

C.该校疫情期间学生成绩的平均得分超过70分（同一组中的数据用该组区间的中点值

代替）

D.该校疫情期间约有40%的人得分低于60分或不低于90分

【答案】BC

【分析】根据频率分布直方图逐项求解判断.

【详解】因为（0.15+0.1）x100=25,所以A错误;

由频率分布直方图知该校疫情期间学习成绩在70分到80分所对应的频率最大,B正确;

因为（45+95）*0.1+（55+85）x0.15+65x0.2+75x0.3=70.5,所以C正确;

因为（0.01+0.015+0.01）x10=0.35,所以D错误.

故选；BC

11.定义：不等式〃尤）的解集为A,若A中只有唯一整数，则称A为“和谐解集”.若

关于x的不等式sirLx+cosx>2mr+Mnx-cosx|在（0,万）上存在“和谐解集”，则实数加的

可能取值为（）

.2cos2>/3_cos2

A.D.----.D

323-I

【答案】CD

【分析】根据定义解不等式，然后验证哪些选项符合要求.

【详解】本题考查新定义与三角函数，考查推理论证能力与直观想象的核心素养.

不等式sinx+COSJV>2mx+|sinx-COSJC）可化为min{sinx,cosx）>mx.

由函数y=min{sinx,cosx}的图像，可知min{sinx,cosx}>侬只有一个整数解，这唯一整

数解只能是x=l,因为点4（1,83）,8（2,8$2）是）；=01皿$加,8口}图像上的点，所以

,2cos21cos2八V3「cos21cos2「cos2.

m<cosl,因为————,cosl,一代----,cosl,——e——,cosl

3_2J2_2）

故选：CD.

12.如图，在长方形ABCD中，A8=2,8C=4,E为BC的中点，将沿AE向上翻

折到正的位置，连接PC,P。，在翻折的过程中，以下结论正确的是（）

A.四棱锥P-AEC。体积的最大值为2&

B.PQ的中点尸的轨迹长度为叵

2

C.EP,CQ与平面PAD所成的角相等

D.三棱锥P-AEZ）外接球的表面积有最小值16）

【答案】ACD

【分析】对于A,当平面APE,平面AECD时，四棱锥P-A召8的体积取得最大值,

再计算可判断；对于B,通过期的中点G的轨迹来判断？。的中点尸的轨迹的情况；

对于C,利用线面角的知识可判断；对于D,分别从外接球的半径及球心可求解.

对于A,易知梯形AEC£>的面积为6,AE=2&,直角V4>E斜边AE上的高为正.当

平面APE，平面AECD时，四棱锥P-AECD的体积取得最大值gx6x&=2五,A正

确.

对于B,取P4的中点G,连接G£GE,FC,则GF,EC平行且相等，四边形ECFG是

平行四边形，所以点尸的轨迹与点G的轨迹形状完全相同.过G作AE的垂线，垂足为

乩G的轨迹是以“为圆心，"G="为半径的半圆弧，从而尸。的中点尸的轨迹长度

2

为叵,B错误.

2

对于C,由四边形ECFG是平行四边形，知EC〃FG,则EC〃平面E4£>,则E,C到

平面PAO的距离相等，故/?反8与平面月45所成角的正弦值之比为8:心=1:1,C

正确.

对于。AAPE外接圆Oi的半径为0,«为AE的中点，直角AAZ)E外接圆。2的半径为

2。为A。的中点，AE是圆与圆a的公共弦，|ao』=&.设三棱锥尸-的外接

球的球心为0,半径为R,则/?=，|。2同2+|。0「-2.因为|0言«0,+8),所以凡.2,

所以球。表面积的最小值为16兀,D正确.

故选：ACD

三、填空题

13.若向量还满足同=1万=(-6,8),£/=-5,则公与石的夹角为

【答案】争日

J1

【分析】求得向量B的模，求出向量的数量积，根据向量的夹角公司求得答案.

【详解】设公与B的夹角为e[0,n],由题意可知

|a|=咽=7(-6)2+82=10,£出=-5,

nab12兀

所以C°S9=FT后'，故

神23

故答案为：y

14.已知a>0,函数8(%)=》+以卫-2在[2,+00)上的最小值为1,则。=.

【答案】1

【分析】求函数的导数，讨论a的范围，判断函数的单调性，确定函数的最小值，令其

等于1,即可求得答案.

【详解】由题意得g，(x)=1-g=』一『一,

当Jl+a42,即0<aS3时,g'(x)>0,g(x)在[2,+<»)上递增,

故g«)min=g(2)=W=1,解得4=1；

当Jl+a>2,即a>3时，当24x<Jl+a时，g'(x)<0,g(x)递减，

当x>7TH时，g'(x)>0,g(x)递增，

故g(x)min=g(布工)=2^^-2=1,解得a=；,不符合。>3,舍去,

综上，a=1.

故答案为：1

15.己知圆C:X2+（〉_I）2=10,直线/过点P（2,2）且与圆C交于AB两点，若P为线段

A8的中点，。为坐标原点，则AAO3的面积为.

【答案】6

【分析】根据题意可得直线/的方程为2x+y-6=0,根据垂径定理可求

|0+0-6|

22

\AB\^2\lr-d再求点。到直线/的距离〃=计算AAOB面积.

收2+「

o_11

【详解】由己知点C（O,l）,所以上=

2—（）2

因为P（2,2）为线段A8的中点，所以CPLAB,

所以％=-2,所以直线/的方程为y-2=-2（x-2）,即2x+y-6=0.

设点C（0,l）到直线/的距离为d,则4=-g=石,

A/2~+1

所以|蝴=2a0-5=2技

|0+0-6|_6

设点。到直线/的距离为/?,贝J|〃=

扬+‘飞

则AAOB的面积S=lx|AB|x/J=6

2

故答案为：6.

16.已知耳，心分别为双曲线。。-£=1（。＞（）乃＞0）的左、右焦点，过点片的直线与双曲

线C的左、右两支分别交于M,N两点，且秘H师+丽+科电=0，

则双曲线C的离心率是.

【答案】6

【分析】在鸟中，由正弦定理可得2|N用=3|叫再根据双曲线的定义可求得

加制,|峭I，设Ng的中点为。，根据题意可得再根据双曲线的定义可求得

\MF^\MF\,在心中，利用余弦定理求得“，c的关系，即可得出答案.

【详解】解：在居中，

由冏歌="得4囱=3|陶，

因为加丹卜加玛=2a,所以|g|=6a,|N闾=4a,

又（西+丽+屉）•丽,"（丽+丽卜丽二。，

设NF?的中点为。，则&E+KW=2M0,

所以2M。•丽=0,所以

所以|M用=|MV|,

设闾=|MV|=7W,

贝I“M用=6°-加，又|MR|T"E|=2a,

则机-（6〃一机）=2a,解得m=4a,

所以|M闾=4a,|M制=2a,

所以AM^N是正三角形，从而/片用2=12。，

2

在工中，由（2c）=（2a>+（44-2x2ax4axcosl20.,

得。2=7。2,

所以e=>/7.

故答案为：手.

17.从①BE>-sin/?lB£>=3sinA,②兀皿=3石这两个条件中任选一个，补充在下面的

问题中，并作答.

TT

问题：如图，在平面四边形ABC£>中，已知4B=4,A=§,且.

jr

（2）若NBDC=］且AB_L8C,求8c的长.

6

【答案】（1）噜

（2）1^

12

【分析】（1）若选①，先用正弦定理算出AO,然后用余弦定理算出8。，再用正弦定

理计算sinNADB；若选②，先用面积公式算出AD,然后用余弦定理算出再用正

弦定理计算sinZAZM.

（2）先用两角和的正弦公式算出sinC,然后利用正弦定理计算8c的长.

【详解】（1）选①

因为BZ>sinNA8£>=3sinA,所以胡>A£>=3B£>,解得AD=3,

fJr^BD2^AB2+AD2-2ADABcosA=16+9-12=13,

解得BD=9.

由^^=处，得sin4砂=3=茎=迥.

sin/ADBsinABD71313

选②

由SABO=3>/3=—AB-ADsinA=yfiAD,得AD=3,

"2

所以=AB、AZ）2-2AZZABcosA=16+9-12=13,解得8。=旧.

由^=®,得$-3=4=辈=迺.

sin^ADBsi"BD>/1313

（2）由（1）知8。=而，又AfiLBC,

13+16-95屈从而cos/CBQ=t^,

所以smZCBD=cosZABD=

2x4713-2626

L里与里返

所以sinC=sin（/8DC+NCBD）=

22622613

,BCBDBDsinNBDCy/131313g

由二,不导BC-----------------------------x—.——---------

sin/BDCsinCsinC22>/3912

i3

18.已知数列｛叫和也｝满足q=一万，々=5,4a,,M=3%-"+4,4鼠=3。-%-4.

⑴证明：｛q+“｝是等比数列，｛4-〃,｝是等差数列；

（2）求｛%｝的通项公式以及｛%｝的前〃项和S„.

【答案】（1）证明见解析

4〃2-3〃+21

（Z）--------------------

22"

【分析】（1）根据所给递推关系，结合结论提示，变形递推关系，由等比、等差定义证

明即可；

（2）由（1）求出通项公式，利用分组求和即可得解.

【详解】⑴证明：因为4a“u=3a“-2+4,4%=3么-。“-4,

所以4（。,m+6向）=2（%+"），即“：个=；,4+4=1.0

an十%乙

所以｛q,+a｝是公比为g的等比数列.

将4〃〃+]=3a〃-4+4,4%]=3bfl-an-4方程左右两边分别相减,

得4（4+「4]）=4（4一〃）+8,化简得%+「%=4■嵋+2,

所以｛为-2｝是公差为2的等差数列.

⑵由⑴知4+〃=击，

an-b„=-2+2(n-l)=2n-4,

上式两边相加并化简，得/='+"-2,

.„(11])/,c11小-3)2-3/7+21

所rri以>S“=(/+声+~+刃+(-1+。+…+〃-2)=1尸+---=-n---------—.

19.新能源汽车是指除汽油、柴油发动机之外的所有其他能源汽车，被认为能减少空气

污染和缓解能源短缺的压力.在当今提倡全球环保的前提下，新能源汽车越来越受到消

费者的青睐，新能源汽车产业也将成为末来汽车产业发展的导向与目标.某车企统计了

近期购车的车主性别与购车种类的情况，其中购车的男性占近期购车车主总人数的

60%,女性购置新能源汽车人数为所有购车总人数的25%,男性购置传统燃油汽车人

数为所有购车总人数的10%,现有如下表格：

购置新能源汽车(辆)购置传统燃油汽车(辆)总计

男性60

女性

总计

(1)完成上面的的2x2列联表，并判断能否有95%的把握认为是否购置新能源汽车与性

别有关；

(2)以样本中购置新能源汽车的频率作为概率，现从全国购车的车主中随机抽取4人，设

其中购置新能源汽车的人数为X,求X的分布列及期望.

参考公式及数据：K。11~八，其中〃=a+/7+c+d.

[a+b)(c+d)[a+c)(b+d)

0.150.050.0100.0050.001

k。2.0723.8416.6357.87910.828

【答案】(1)填表见解析；有95%的把握认为是否购置新能源汽车与性别有关

(2)分布列见解析；期望为3

【分析】（1）由题中的数据可计算出每一个值，然后填表即可，再根据表中的数据计算

V即可求解问题；

（2）由题意，将问题看成是二项分布即可求解问题.

【详解】（1）由题中的数据可得列联表如下：

购置新能源汽车（辆）购置传统燃油汽车（辆）总计

男性501060

女性251540

总计7525100

所以犬=100(50x15-25x10)2=50

=5.556>3.841,

60x40x75x259

所以有95%的把握认为是否购置新能源汽车与性别有关.

⑵⑵由题意及⑴知，购置新能源汽车的概率为W，X的可能取值为。』,2,3,4.

尸(X=0)=C：>

尸(X=2)=C：,P(X=3)=C；

故X的分布列为:

X01234

13272781

P

2566412864256

所以E（X）=0X，£+1X』+23+3X2+4X-3.

ZJO6412864256

20.如图，在四棱锥P-ABCD中，已知AB//CD,AD1CD,CD=2AB=4,BC=BPqADP

是等边三角形，£为。P的中点.

c

（1）证明：4EJ_平面PCD.

（2）若PA=4五,求平面PBC与平面PAQ所成锐二面角的余弦值.

【答案】（1）证明见解析

⑵侦

3

【分析】（1）分别由等边三角形、等腰三角形得到线线垂直，从而得到线面垂直；

（2）建立空间直角坐标系后，计算出平面PBC的法向量和写出平面的一个法向

量，再用向量的夹角公式求出二面角的余弦值即可.

【详解】（1）证明：取PC的中点尸，连接EEBF.

因为AE是等边△4中的中线，所以

因为E是棱PD的中点，尸为PC的中点，所以EF||C。，且防=；8.

因为AB〃CO,A8=gc£）,所以E尸〃AB,且£F=A8,

所以四边形A3KE是平行四边形，所以

因为8c=BP,尸为PC的中点，所以3FLPC,从而AE_LPC.

又PCcPD=P,且PC、PDu平面PCQ,所以AE_L平面PCQ.

⑵由（1）知AE_LC£>,又AD_LC£>,ADr>AE=A,且A£>、AEu平面ADP,所以C£>_L

平面ADP,从而EF_L平面AOP.

以E为坐标原点，而，丽，丽的方向分别为x，》z轴的正方向，建立如图所示的空间直

角坐标系E-xyz.

X

因为等边△PA£＞的边长为4夜，所以

网260,0),8(0,2氏2),。卜2a,0,4),方=(-2"2五2),PC=(-472,0,4).

设平面PBC的法向量为m=(x,y,z),

PB-m=0,—I'Jl.x+2＞/6y+2z=0,

由＜__，得｛•

[PCm=0,-4忘x+4z=0,

令x=l,则y=0,z=&,所以，“=(1,0,四).

又平面产相＞的一个法向量为7=((),0,1),

/---\m-naA/6

所以cos仲,〃片丽=耳=《-,即平面PBC与平面所成锐二面角的余弦值为

76

3

21.已知抛物线(7:丫2=2〃苫5＞0)上的点河与焦点户的距离为9,点"到x轴的距离

为4万.

(1)求抛物线C的方程.

(2)经过点F的直线与抛物线C交于AB两点，E为直线x=-1上任意一点，证明：直线

的斜率成等差数列.

【答案】(l)V=4x；

(2)证明见解析.

【分析】⑴由条件结合抛物线的定义列方程求"即可；(2)联立方程组，利用设而不求

的方法证明*+kEB=2kEF即可.

【详解】⑴设点Ma。,%),由题意可知|%|=4)，

所以(4j^)2=2p$,解得人)=8.

因为河=%+勺8+勺9,所以p=2.

所以抛物线C的方程为)？=4x.

(2)设直线A8的方程为x=my+l，d3,yj,8(j,yj,

y2=4x

联立方程组F:消去X得y2_4〃7y-4=0,,

%=my+l,

所以y+%=4肛％%=-4.

2i+2/7

__j(yl+y2)+(y,+y2)-«4vr

设£(一1,"),则k班+怎8=居」+乌/•=----------1~~/r~~x-----------

互+i及+i(K+4五+i

4444

n

又因为L=-2

所以4丛+%班=2/F，即直线EA,EF,EB的斜率成等差数列.

【点睛】解决直线与抛物线的综合问题的一般方法为设而不求法，要证明直线

EA,EF,EB的斜率成等差数列只需证明总+kEB=2峪即可.

22.己知