2022届福建省厦门高三下学期高考热身考试数学试题（解析版）

2022届福建省厦门双十中学高三下学期高考热身考试数学试

题

一、单选题

1.已知集合A={x|x2-2x-340},8={-3,-1,1,3},则()

A.{1}B.{—1}C.{-1,1,3}D.{-3,—1,1}

【答案】C

【分析】先化简集合A,再求集合A与集合8的交集

【详解】X2-2X-3<O^>(X-3)(X+1)<O^-1<X<3„

gpA={x|-l<x<3},

所以AcB={-l,l,3},

故选：C.

2.已知tan。=2,则cos2a=()

D.±-

5

【答案】B

【分析】根据二倍角公式展开，结合齐次式化简方法，整理计算，即可得答案.

cos2cr-sin2a1-tan2a3

【详解】cos2a=cos2a-sin2a------------=—

cos~tz+sin-a1+tan2a5

故选：B

3.已知双曲线「-与=l(a>0">0)的离心率为j则该双曲线的渐近线方程为()

ab-4

5343

A.y=±-xB.y=±-xC.y=±-xD.y=?—x

3534

【答案】D

【分析】结合已知条件，利用离心率和。、b、c之间的关系可得到2=：,进而即可得

到答案.

【详解】不妨设双曲线的焦距为2c,

由题意可知，/=，=空工=1+4="，解得2=二，

a2a2a216a4

从而双曲线A-马=1的渐近线y=±*=±=x.

a2b2a4

故选：D.

4.已知单位向量否的夹角为60。，则在下列向量中，与坂垂直的是()

A.a+2bB.2a+bC.a—2bD.2a-h

【答案】D

【分析】根据平面向量数量积的定义、运算性质，结合两平面向量垂直数量积为零这一

性质逐一判断即可.

【详解】由已知可得：<?-S=|a|-|S|-cos60u=lxlx^=^.

A：因为0+25）4=£%+27=g+2xl=gwO,所以本选项不符合题意；

B：因为（22+万）啰=23石+片=2*g+l=2*0,所以本选项不符合题意；

C：因为（a—2扬%=。2―25=——2x1=——^0,所以本选项不符合题意；

D：因为（22-扬石=2£%-六=2*；-1=0,所以本选项符合题意.

故选：D.

【点睛】本题考查了平面向量数量积的定义和运算性质，考查了两平面向量数量积为零

则这两个平面向量互相垂直这一性质，考查了数学运算能力.

5.某商场举行抽奖活动，箱子里有10个大小一样的小球，其中红色的3个，黄色的3

个，蓝色的4个，现从中任意取出3个，则其中至少含有两种不同的颜色的小球的取法

共有（）

A.96种B.108种C.114种D.118种

【答案】C

【分析】由题，利用取出3个至少有两个不同颜色，等价于取出3个没有三个同色，结

合组合公式即可求解

【详解】至少含有两种不同的颜色的小球等价于从10个球中任意取出3个减去3个是

同色的情况，即％=c。-《-6-<3：=120-1-1-4=114,

故选：C.

6.等差数列｛《,｝的公差为2,前〃项和为5,,若p：$+2,丛+2,。+2成等比数列,

<7：｛七｝的首项为0,则（）

A.p是g的充要条件B.p是q的既不充分也不必要条件

C.p是g的充分不必要条件D.p是q的必要不充分条件

【答案】A

【分析】根据充分必要条件的定义判断.

【详解】q=。时，%=2,4=4,=0,S2=2,S,=6,

5+2,S2+2,S3+2依次为2,4,8,是等比数列，P是夕的必要条件,

若$+2,S2+2,邑+2成等比数列，贝lJ(S2+2)2=(H+2)(S3+2),

(2q+4>=(q+2)(3q+8),解得q=0或％=-2,

q=-2时，H+2=0,4+2,S2+2,S3+2不成等比数列，舍去.

所以4=0,因此。是4的充分条件，

综上，。是4的充要条件，

故选：A.

7.设函数y=/(x)的图象与y=2，+"的图象关于直线y=x对称，/⑵+函4)=1,则。=

()

A.-1B.1

C.2D.4

【答案】B

【分析】利用反函数的知识列方程，化简求得。的值.

【详解】依题意函数y=/(x)的图象与y=2，+"的图象关于直线>=x对称，

2=2""=x=1—a,

4=2'*"nx=2-a,

由于/(2)+/(4)=1,

所以1—a+2-a=1na=l.

故选：B

8.一个四棱锥和一个三棱锥恰好可以拼接成一个三棱柱.这个四棱锥的底面为正方形，

且底面边长与各侧棱长相等，这个三棱锥的底面边长与各侧棱长也都相等.设四棱锥、

三棱锥、三棱柱的高分别为九,4,〃，则九：4：〃

A.73：1：1B.6：2：2

C.6：2：垃D.G：2：G

【答案】B

［分析］由题意画出图形，几何体是一个棱长都相等的斜三棱柱，四棱锥的高是P到AD

的距离；三棱锥的高及三棱柱的高都是三棱锥的高；不难求得结果.

p

A

a

【详解】

由题意作图如图，几何体是一个棱长都相等的斜三棱柱,

设棱长为1,四棱锥是棱长都相等的正四棱锥，三棱锥是一个正四面体，

四棱锥的高是尸到面AC的距离，P点到线段AD的距离是正，令P在底面AC上的射

2

影为0,连接A0,

则A0=也，H(.PO=y/PA2-AO2=Jl2-f—>

22

三棱锥的高就是P点到面SBC的距离，令P点在面S8C上的射影为M，则M是三角形

的重心，故SM,

323

故尸M=yjPS^SM1=

3

三棱柱的高也是PM

3

m-3-V21V3/T--t1,u.c

因而九：〃,：/?=——:——:——=—:——:——=43:2:2,故选B

I2233233

【点睛】本题考查简单几何体的有关知识，考查空间想象能力，考查同学的想图、视图

能力，是基础题.

二、多选题

9.千百年来，我国劳动人民在生产实践中根据云的形状、走向速度、厚度、颜色等的

变化，总结了丰富的“看云识天气”的经验，并将这些经验编成谚语，如“天上钩钩云，

地上雨淋淋”，"日落云里走，雨在半夜后"，……小明同学为了验证“日落云里走，雨在

半夜后”，观察了A地区的100天日落和夜晚天气，得到如下2x2列联表：

夜晚天气

日落云里走

下雨不下雨

出现255

不出现2545

临界值表

a0.10.050.010.001

Xa2.7063.8416.63510.828

并计算得到力2=19.048,下列小明对A地区天气判断正确的是()A.夜晚下雨的

概率约为千

B.在未出现“日落云里走”的条件下，夜晚下雨的概率约为2

C.样本中出现“日落云里走”且夜晚下雨的频率是不出现“日落云里走”且夜晚下雨的频

率的2.5倍

D.认为“，日落云里走'是否出现”与“当晚是否下雨”有关，此推断犯错误的概率不大于

0.001

【答案】ABD

【分析】根据表格中的数据计算出各个选项所求的数据，然后判断即可.

【详解】对于A,样本容量为100,夜晚出现下雨的频数为50,概率约为,故

正确；

对于B,未出现“日落云里走”的天数为25+45=70,

255

夜晚下雨的概率为玄=77，故正确；

7014

对于C,出现“日落云里走”且夜晚下雨的天数为25,不出现“日落云里走”且夜晚下雨的

天数也为25,

251

其概率分别为总=:，故错误；

1004

对于D,出现“日落云里走”时，由于力、19.048>10.828,

由99.9%把握认为夜晚会下雨，故正确；

故选：ABD.

10.已知实数a,b,c满足a<b<c,且ac<0,则下列不等式不一定成立的是

()

A.ac<beB.log,(c-a)>log,e-a)C.ab2<cb2

ah

D.c<c

【答案】BCD

【分析】根据不等式性质可判断则“<0，c>0,。的情况不定，由此可判断4中ac<6c

成立，由于c与1的大小关系不确定，因此可判断B.D;8的情况不定，当匕=0时，“从<m2

不成立，判断C.

【详解】实数a,b,c满足a<b<c,且ac<0,

则”<0,c>0,b的情况不定，

故accbc一定成立，

由题意可知。-。>0力一a>0,c—a>b—a,c与1的大小关系不确定，

当CW1时，函数y=l<>g°X单调性不确定，因此1(吸("4)>108,.e-4)不一定成立；

当6=0时，而2<仍2不成立，

由于c与1大小关系不定，函数y=c'单调性不确定，故£•“<?)不一定成立,

故选：BCD

11.如图是函数/(x)=sin(s+s)]">0,⑷〈/J的部分图如下列选项正确的是()

【解析】先由〃0)=-半可求得夕冶，再Osin1*方)=0,可得

-工0-工=7+2"仅€2),解得0=~4-6々伏€2),再利用工=工>工，可得0<啰<3,

332G3

所以。=2,/(x)=sinf2x-yl即可知A正确，B不正确，计算即可判断C、D,进

而可得正确答案.

【详解】由图知/(O)=sing=-*，因为|夕|<，，所以。=-(,

所以.f(x)=sin"-g),

因为乂4卜"4。k)=0,

所以-?3-9=;r+2)br(%€Z),解得：o=T—6Z(%eZ),

T冗冗

因为7=—所以0<G<3,

2G3

所以Z=-l时。=2,可得f(x)=sin(2x-。)故选项A正确，选项B不正确,

/用=sin(2x?-?)=sinO=O,故选项C正确；

/(一夸)=sin(-f-])=sinq=#,故选项D不正确,

故选：AC

【点睛】关键点点睛：本题的关键点是求“的值，先利用f(-?)=sin]-?0-?]=0,

而且-(是下降零点可得-?0-5=乃+2吐(keZ),解得°=T-6MzeZ),再结合

图象可知工=工＞£得。＜。＜3,求得。=2,/(x)=sin(2x-g1问题即可迎刃而解，

2co3＜5)

属于常考题型.

12.如图，某校测绘兴趣小组为测量河对岸直塔A8(A为塔顶，8为塔底)的高度，选取

与8在同一水平面内的两点C与。(8,C,。不在同一直线上)，测得CD=s.测绘兴趣

小组利用测角仪可测得的角有：ZACB,ZACD/BCD,ZADB，ZADC/BDC,则根据下

列各组中的测量数据可计算出塔4B的高度的是()

A.s&CB,NBCD，NBDCB.5,ZACB,ZBCD,ZACD

C.5,ZACB,/LACD,AADCD.s,NACB,NBCD,ZADC

【答案】ACD

【分析】根据解三角形的原理：解一个三角形，需要知道三个条件，且至少一个为边长.

分析每一个选项的条件看是否能求出塔A3的高度.

【详解】解一个三角形，需要知道三个条件，且至少一个为边长.

A.在ACBO中，已知s,N5CD,NB£＞C,可以解这个三角形得到BC,再利用N4C8、BC

解直角AASC得到AB的值:

B.在ACBO中，已知s,NB8，无法解出此三角形，在ACW中，已知s,NAC£>,无法解

出此三角形，也无法通过其它三角形求出它的其它几何元素，所以它不能计算出塔AB的

高度；

C.在八48中，已知s,ZAC£),NA£>C,可以解人!。得到AC,再利用ZACB、AC解

直角AABC得到AB的值；

D.

如图，过点B作8E_LC£>,连接AE.

CRCFCF

由于cosZACB=J,cosNBCD=—,cosZACE=—,

ACBCAC

所以cosNACE=cosZACBcosZBCD,所以可以求出NACO的大小，

在△A8中，已知4。,4。。,5可以求出4。,再利用44。8、AC解直角“ABC得到

A8的值.

故选：ACD

【点睛】方法点睛：解一个三角形，需要知道三个条件，且至少一个为边长.判断一个

三角形能不能解出来常利用该原理.

三、填空题

13.在数列｛%｝中，4=-2,"”+|=1,则“2022的值为.

an

【答案】I

【分析】根据条件求出数列的周期即可求解.

11I13111,1

［详解】因为4=-2,。〃+1=1-----，所以％=1-----=不，％=1------，4=1-----------=-2,

anax2a23%

«5=1--=1.所以数列｛为｝是周期为3的周期数列，所以%。22=%74*3=%=:.

。433

故答案为：g.

22

14.已知0为坐标原点，椭圆C:鼻+春■小色乂〉。）的左焦点为F,A为C上一点，

AF与x轴垂直.若AE4O的面积为生，则C的离心率为__________.

4

【答案】.0.5

【分析】根据5.配=、以xc=%求解即可.

2a4

【详解】由题知：5AMO=-X^XC=-,解得£=!，即e=]

2a4a22

故答案为：!

15.已知48,C,。是球。的球面上的四点，8。为球。的直径，球。的表面积为16万，

且M_L3C,AB=BC=2,则直线与平面ABC所成角的正弦值是.

【答案】好?几

33

【分析】取AC中点01,延长至E,使。E=8。，根据给定条件证明DEL平面ABC,

经推理计算作答.

【详解】依题意，。是中点，取AC中点。-延长8。至E,使。E=B。，连接

则有。口/。01,且四边形A3CE是平行四边形，AE=BC=2,

因AB_L3C,则。1是平面4BC截球。所得截面小圆的圆心，于是得平面ABC,

OEJ•平面ABC,

因此，//ME是直线4。与平面A8C所成角，

由球。的表面积为16乃得球半径。4=2,而AB=BC=2,贝ljAq=0,而。O1，AC,

从而得Oq=JLDE=200、=20,口△/!£>£中，AD=ylAE2+DE2=2^>

r，DEy/6

sinZ/Dn4AE=----=——,

AD3

所以直线AO与平面45c所成角的正弦值是逅.

3

故答案为：如

3

16.己知函数f(x)=(a—l)lnx+x"e，，当a<0时,Vxe(l,-K=o),都有己xRO,则实数

a的最小值为.

【答案】［l-e,0)

【分析】根据式子结构，构造同构形式，得到lnx~ein”4xe,，构造函数

g(x)=Ae，,(x>l),判断出g(x)在(1,+8)上单调递增函数，得到lnx~4x恒成立，利

用分离参数法得到恒成立，构造函数〃(x)=^,(x>l),利用导数求出/z(x)

的最小值，即可得到答案.

【详解】Vx€(l,y),都有〃x)20,所以(a-l)lnx2恒成立，即

恒成立，亦即x〜Inxev,即为In"嘈一"4xe*对x>1恒成立.

记g(x)=m',(x>l).

因为g'(x)=(x+l)e'>0,所以g(x)在(1,+8)上单调递增函数.

所以In”，恒成立，即(1—a)lnx4x恒成立.

X

因为x>l,所以lnx>0,所以1一。47—恒成立.

Inx

记〃(%)=--，(X>】)•

Inx

lnx-1

因为"(x)=，所以当X>e时，//(x)>0,所以〃(x)在(e,+«?)上单调递增函数;

(inx)2

当Ke时,〃'(x)<0,所以秋x)在(l,e)上单调递减函数.

所以〃(x)W/z(e)=e,即1-aWe,解得:l-e<a.

又avO,所以

故答案为：”e,0)

【点睛】恒(能)成立求参数的取值范围问题常见思路：

①参变分离，转化为不含参数的最值问题；

②不能参变分离，直接对参数讨论，研究/(x)的单调性及最值;

③特别地，个别情况下/(x)>g(x)恒成立，可转换为/(x)min>g(x)3(二者在同一处

取得最值).

四、解答题

17.在AABC中，角4,B,C所对的边分别为a,b,c,且(a-b)2=c2-a6.

(1)求角C的大小；

⑵若sin(B-A)=cosC,三角形A8C的面积为3+石，求边长c的值.

【答案】(l)C=g；

(2)c=2+.

【分析】(1)由题设得/+从一,2=必，根据余弦定理求COSC,即可确定角的大小；

(2)由(1)和已知可得sin(;〃-2A)=；,进而求出角A、B,利用三角形面积公式、

正弦定理边角关系列方程求边长.

【详解】(1)由已知，a2+b2-c2=ah,

由余弦定理，cosC="2+--c-=L而Cw(O,m,

lab2

所以C=g.

⑵由(1)知：A+B=-/r,又sin(B-A)=cosC=；,则sin《乃一2Ab;，

3213/2

而Ae(0,|4则2A=(可得4=?,8=2.

1.„1.(打九、

又SJBC=—acsinB=—acsin—十一迪旦c=3+6①,

22<43j8

又Ur京即-今②，

联立①②，解得c=26.

18.等差数列｛叫的前〃项和为S“，已知q=9,出为整数，且

(1)求｛q｝的通项公式;

,1..

(2)设。=^—,求数列出｝的前〃项和人

anan+\

【答案】⑴

(2)(=9(9-2n)

【分析】（1）根据题意得公差d为整数，且ab<0,分析求出d即可；（2）

々=〈（1-一771〕，再利用裂项相消法求和即可•

2\9-2n\\-2nJ

【详解】（1）由4=9,%为整数知，等差数列｛4｝的公差d为整数.

又S”4邑,故哈。，440.

99

于是9+4d>（）,9+5dK0,解得—Wd4—,

45

因此d=-2,故数列｛为｝的通项公式为q=11-2〃.

⑵""=（ll-2n）（9-2/?）=2（9-2n-11-2n），

=__〃

又9-2"9；9（9-272）,

19.如图，正方形48c。所在的平面与菱形"EF所在的平面互相垂直，AAEF为等边

三角形.

FE

（1）求证：AEVCF-,

（2）fP=2FC（0<A<l）,是否存在2,使得平面PAEJ_平面。CE尸，若存在，求出4的

值，若不存在，请说明理由.

【答案】（1）证明见解析

（2）存在，2=9

O

【分析】（1）要证明线线垂直，转化为证明线面垂直，证明AE_L平面8CF；

(2)以。为原点，建立空间直角坐标系，分别求平面2店和平面OCE尸的法向量，利

用法向量的数量积为0,即可求解.

【详解】(1)连接防交AE于0,因为四边形ABEF为菱形，所以北工所，

又正方形A8CO所在的平面1平面ABEF,且平面A3CZ)平面ABEF=AB，

因为BCJLM,所以8c，平面43E/，所以8C_LA£,

又BFcBC=B,所以AE_L平面BCF,

因为CFu平面5CF,所以A£_LCF：

(2)存在.以。为原点，OF，诙的方向为x轴，y轴，

过点。作菱形4坦尸所在的平面的垂线为z轴，

建立如图所示的空间直角坐标系。-孙z,

则A(0,-l,0),网G,o,o),£(0,1,0),0(0,-1,2),

因为方=41，设点P(x,y,z),

则卜一百,y,z)=川-2百,0,2),所以点P(6-2吊,0,22),

/=(6-2641,2彳)，通=(0,2,0),设平面上4E的法向量为蔡=(x,y,z),

m-AP=0

则有＜可得〃?=___-___012*-

fft-AE=Q2

而=(6,1,-2),庵=(-"1,0),

设平面DCEF的法向量为n=(x,y,z),

n-DF=0

则有可得3=(百,3,3),

n-FE=0

3

由"7・〃=0可得2

o

当a=；时，A户=(0,1,1),AE=(0,2,0),n?=(x,y,z),

则令x=l，则法向量比=(1,0,0)，

此时加河工0,

3

综上可知：X=g成立.

8

20.为了使更多人参与到冰雪运动中，某校组织了一次简易冰壶比赛.每场比赛由两支

队伍对抗进行，每队由2名成员组成，共进行3局.每局比赛时，两队成员交替发球，

每名成员只能从发球区（左侧）掷冰壶一次.当所有成员全部掷完冰壶后，开始计分.

若冰壶未到达营垒区，计-1分；若冰壶能准确到达营垒区，计2分，整场比赛累计得分

多者获得比赛胜利.已知A队两名成员甲、乙每次将冰壶投掷到营垒区的概率分别为g

和《，B队两名成员丙、丁每次将冰壶投掷到营垒区的概率均为J.假设两队投掷的冰壶

在运动过程中无碰撞，每名成员投掷冰壶相互独立，每局比赛互不影响.

（1）求A队每局得分X的分布列及期望；

（2）若第一局比赛结束后，A队得1分，B队得4分，求A队最终获得本场比赛胜利且总

积分比8队高3分的概率.

【答案】（1）分布列见解析，期望为

⑵£

576

【分析】（1）根据题设写出X的所有可能取值及对应概率，即可得到分布列，再根据分

布列求期望即可；

（2）同（1）写出B的分布列，根据题设写出A队获胜且总积分比8队高3分所有可能

情况，再求出各情况的概率，最后加总即可得结果.

【详解】（1）由题设，X的所有可能取值为-2,1,4,且X的分布列如下：

X-214

2\_

P

326

所以E(x)=_2+_L+q=_L.

v'3262

(2)设B队每局得分为y,同理y的分布列为

记A队、B队在后两局总得分分别为X、y,则所包含的情况如下:

A队总得分x258

8队总得分y-4-12

旦,

\，（3622）44576

故A队最终获得本场比赛胜利且总积分比B队高3分的概率为三+」+&=上.

57624576576

21.已知函数f(x)=ln(x+1)—@—1,其中x>0,aeR.

X

⑴讨论/(X)的单调性；

(2)当4=2时，4是/(X)的零点，过点A(Xo，ln(/+l))作曲线y=ln(x+l)的切线/,试证

明直线/也是曲线y=e-i的切线.

【答案】(1)答案不唯一，具体见解析

(2)证明见解析

【分析】(1)求出函数的导函数，对。分“20和。<0两种情况讨论，分别求出函数的

单调区间；

（2）依题意可得皿（斗+1）=也上

,求出函数的导函数，即可得到切线/的方程，假设

曲线y=e印在点8（石,必）的切线与/斜率相等，即可得到用=—ln（x0+l）-l、

y=-17,代入切线/的方程中，计算可得;

%+i

【详解】（1）解：因为f（x）=ln（x+l）-@-l定义域为（0,+8）,

X

、1ax2+ax+a

所rri以sI

①当心0时，r（x）20在（0,+8）上恒成立,

所以函数/（X）在（0,xo）上单调递增，没有减区间;

②当…时，令小）=。时，寸土尸’”叶正

且X1<0<%，

令/'(X)>o得X>--4a,所以/(X)的增区间为「“-4一+8

2I2J

令fXx)<0得o<X<T+五=4a,所以/(X)的减区间为卜,一“十呼二4〃

2I2

2

(2)解：当4=2时，％是/(x)的零点，所以_/■(/)=In(玉+1)-----1=0

xo

即In5+1)=2+1=

%而

由y=ln(x+l)得y‘=<，由y=e-川得了=.

所以过点A(Xo，ln(x0+l))作曲线y=ln(x+l)的切线/的方程为

y-ln(x0+l)=—^—(x-x0)()

*0+I

假设曲线丫=63在点3(公必)的切线与/斜率相等，

所以€*'*'=二，所以5+l=_ln(%,+1),即5=—In(/+1)_]

*0+1

y=eX|+l=e-lnU+l)=-^—

%+1

把％=—ln(%+l)—1代入()式得

y=ln(x0+1)+-~-(-ln(x0+l)-l-x0)=1———In(X。+1)—1

X。+'

/、

X。Xp+211

-^7In(x0+1)-1-1=-7=yi

玉)+1、玉）+1，玉)+1

所以点3(%,必)在切线/上.

所以直线/也是曲线y=e，”的切线

22.如图，已知6：(x-l)2+(y+