高一数学下学期期末考试分类汇编七种平面向量的数量积及其应用解题方法新人教A版

PAGEPAGE54PAGE专题02七种平面向量的数量积及其应用解题方法题型一：利用定义法求平面向量数量积题型二：利用坐标运算法求平面向量数量积题型三：利用转化法求平面向量数量积题型四：坐标法求平面向量夹角题型五：数量积和模求平面向量夹角题型六：坐标公式法求平面向量的模题型七：转化法求平面向量的模题型一：利用定义法求平面向量数量积一、单选题1．（2021·江西省铜鼓中学高一期末（理））已知向量，满足，，且与的夹角为，则（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据向量的运算性质展开可得，再代入向量的数量积公式即可得解.【详解】根据向量运算性质，，故选：D2．（2021·云南·高一期末）已知=6，=2，且向量与向量的夹角为600，则·的值为（

）A．6 B．12 C．6 D．6【答案】C【分析】利用向量数量积的定义即可求解.【详解】由=6，=2，且向量与向量的夹角为600，·.故选：C3．（2021·辽宁抚顺·高一期末）在中，，则（

）A． B．25 C． D．16【答案】C【分析】根据平面向量的数量积及其几何意义，即可得解．【详解】解：．故选：C．4．（2021·湖南张家界·高一期末）已知向量与的夹角，，，则（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据平面向量数量积的定义可直接求出结果.【详解】根据平面向量数量积的定义可得，故选：B.二、多选题5．（2021·福建省厦门集美中学高一期末）对于两个向量和，下列命题中正确的是（

）A．若，满足，且与同向，则B．C．D．【答案】BC【分析】向量不能比较大小可判断选项A；根据向量的线性运算可判断选项B、D；根据向量数量积的定义可判断选项C；进而可得正确选项.【详解】对于选项A：向量不能比较大小，故选项A不正确；对于选项B：根据向量的加法运算的几何意义可知，当且仅当向量和同向时等号成立；对于选项C：，因为，所以，故选项C正确；对于选项D：由向量减法的几何意义可知，故选项D不正确；故选：BC.6．（2020·辽宁·高一期末）在RtABC中，BD为斜边AC上的高，下列结论中正确的是（

）A． B．C． D．【答案】AD【分析】根据向量的数量积关系判断各个选项的正误.【详解】对于A，AB⋅对于B，CB⋅对于C，AB⋅对于D，BA⋅BC⋅故选：AD.【点睛】本题考查三角形中的向量的数量积问题，属于基础题.三、填空题7．（2021·广东江门·高一期末）已知向量、满足，，、的夹角为，则______.【答案】【分析】直接利用向量的模的运算法则，结合向量的数量积求解即可.【详解】解：向量、满足，，、的夹角为，则.故答案为：.8．（2021·江西九江·高一期末）已知向量，夹角的余弦值是，且，，则数量积____________.【答案】1【分析】根据平面向量数量积的定义可直接求出结果.【详解】.故答案为：1.9．（2021·吉林·长春市第二十中学高一期末）在△中，，，则_____________．【答案】【分析】由已知条件可得，根据BA⋅BC【详解】在△中，，且，∴，，故，∴BA⋅故答案为：四、解答题10．（2021·北京丰台·高一期末）已知向量．（1）求；（2）求与夹角的大小；（3）求．【答案】（1）5，（2），（3）5【分析】（1）直接利用坐标求解即可；（2）利用向量的夹角公式求解；（3）先求出的坐标，再求其模【详解】解：（1）因为，所以，（2）设与夹角为，则，因为，所以，所以与夹角的大小为，（3）因为，所以，所以题型二：利用坐标运算法求平面向量数量积一、单选题1．（2020·天津市红桥区教师发展中心高一期末）已知是非零向量，且不共线，，若向量与互相垂直，则实数的值为（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根据互相垂直的向量的性质，结合平面向量数量积的运算性质进行求解即可.【详解】因为向量与互相垂直，所以有，故选：D二、多选题2．（2021·黑龙江·绥化市第二中学高一期末）已知，下列选项中正确的是（

）A． B．与同向的单位向量是C． D．【答案】ABC【分析】利用向量的坐标可求各项运算的结果，从而可得正确的选项.【详解】对于A，，故A正确，对于B，与同向的单位向量是，故B正确.对于C，因为，故，故C正确.对于D，，故D错误.故选：ABC.三、填空题3．（2021·浙江宁波·高一期末）已知向量，，则______．【答案】1【分析】直接利用向量的数量积的运算法则化简求解即可．【详解】解：向量，，则．故答案为：1．4．（2021·山东淄博·高一期末）向量，的夹角为钝角，则的范围是___________．【答案】.【分析】由两向量夹角为钝角，可得两向量的数量积小于零，且两向量不共线，从而可求得结果【详解】解：因为，的夹角为钝角，所以，且，解得，且，所以的范围为，故答案为：5．（2021·云南玉溪·高一期末）已知，若，则___________．【答案】【分析】由两向量垂直，可得数量积为0，从而可列方程求得答案【详解】解：因为，，所以，解得，故答案为：四、解答题6．（2019·湖南邵阳·高一期末）已知向量.(1)若，求的值；(2)若向量，求的值.【答案】(1)；(2).【分析】(1)由可得，利用数量积的坐标运算列方程求解；(2)由可得，将变形为，代入计算可得结果.【详解】(1)由可得，即，则；(2)由题意可得

即，∴，.【点睛】本题考查向量的数量积的坐标运算，以及倍角公式的运算，是基础题.题型三：利用转化法求平面向量数量积一、单选题1．（2021·四川成都·高一期末）已知向量，满足，则的最小值为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】两边平方得，再利用又可得答案.【详解】设与的夹角为，，由得，所以，当且仅当等号成立，又，所以，当且仅当时等号成立，故选：B.二、多选题2．（2021·江苏·金陵中学高一期末）下列说法正确的是（

）A．已知，，若，则B．在中，若，则点是边的中点C．已知正方形的边长为，若点满足，则D．若共线，则【答案】BC【分析】根据向量共线的坐标表示可判断选项A；根据向量的线性运算可判断选项B；根据向量数量积的运算可判断选项C，举反例可判断选项D，进而可得正确选项.【详解】对于A：，，可得，若则，即，所以，故选项A不正确；对于B：取的中点，则，即点与点重合，所以点是边的中点，故选项B正确；对于C：，故选项C正确；对于D：当反向时不成立，故选项D不正确，故选：BC.三、填空题3．（2021·北京东城·高一期末）已知⊙中弦，则________．【答案】【分析】利用向量的数量积、投影的定义即可求解.【详解】过点作于点，则点为的中点，，所以，故答案为：.4．（2021·陕西安康·高一期末）如图，矩形中，，，与交于点，过点作，垂足为，则______.【答案】【分析】先求得，然后利用向量运算求得【详解】，，所以，.故答案为：四、解答题5．（2021·广东·高一期末）已知，，.求（1）；

（2）求.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）由已知求，结合向量数量积的运算律，即可求；（2）由，利用向量数量积的运算律求值即可.【详解】（1），∴.（2）.6．（2021·广东揭阳·高一期末）中，已知，，分别是的中点，设，，（1）分别用、表示和；（2）设与交于点，求的余弦值．【答案】（1）；；（2）．【分析】（1）利用平面向量加法法则能求出结果．（2）首先根据平面向量数量积的运算求出、、，再根据．由此能求出的余弦值．【详解】解：解：（1），，，．（2）因为，，所以，，所以，，．7．（2021·山西朔州·高一期末）已知是复数，为实数，为纯虚数（为虚数单位）.（1）求复数；（2）在复平面中，若复数对应向量，且向量，，求向量的坐标.【答案】（1）；（2）或.【分析】（1）设,由已知条件化简计算求得即可求复数；（2）由（1）得，得出，设向量，根据已知列出方程组求解即可.【详解】（1）设（），由为实数，可得，即.∵为纯虚数，∴，，即，∴（2），则设向量，因为且，所以解得所以或题型四：坐标法求平面向量夹角一、单选题1．（2021·北京西城·高一期末）向量与的夹角为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据平面向量夹角公式、逆用两角差的余弦公式直接求解即可.【详解】设向量与的夹角为，所以有，因为，所以，故选：B2．（2021·湖南·宁乡市教育研究中心高一期末）已知向量，，则与的夹角为（）A． B． C． D．【答案】B【解析】直接代入平面向量的夹角的坐标运算公式计算即可【详解】因为向量，，所以,又因为,所以,故选B.【点睛】本题考查平面向量的夹角的坐标运算公式，属基础题，.3．（2021·北京市八一中学高一期末）已知点，则（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】先求出，再用向量的夹角公式求解即可【详解】，则故选：C二、填空题4．（2021·广东惠州·高一期末）已知向量，，为向量与的夹角，则______．【答案】【分析】利用平面向量数量积的坐标运算可求得的值.【详解】由题意得，．故答案为：.5．（2021·北京·汇文中学高一期末）已知向量，，则其夹角______.【答案】【解析】直接利用向量的夹角公式求解即可.【详解】因为向量，，所以；所以，所以�a故答案为：.【点睛】本题主要考查向量的夹角的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.6．（2021·北京顺义·高一期末）向量，在正方形网格中的位置如图所示，则__________.【答案】【分析】建立平面直角坐标系，通过平面向量夹角的坐标运算得到答案.【详解】根据题意，设正方形网格的边长为1，如图建立坐标系，则，，故，，，故；故答案为：.7．（2021·安徽黄山·高一期末）已知向量，且，则向量与向量的夹角余弦值为___________.【答案】【分析】利用向量数量积的坐标运算即可求解.【详解】由，则，若，则，解得.向量与向量的夹角余弦值.故答案为：三、解答题8．（2021·四川乐山·高一期末）已知，，，，且.（1）求的值；（2）求向量与向量夹角的余弦.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）先求出的坐标，再利用列方程可求出的值；（2）直接利用向量的夹角公式求解即可【详解】解：（1）由题知，，∵，∴，∴，（2）由（1）知，，令与的夹角为，∴.9．（2021·云南玉溪·高一期末）已知，且．（1）求的坐标；（2）当时，若，求与的夹角的正弦值．【答案】（1）或；（2）.【分析】（1）由可得，再由，可求出的值，从而可求出的坐标；（2）直接利用向量的夹角公式求解【详解】解（1），，∴或，（2）当，，因为，所以，即与的夹角的正弦值为10．（2021·江苏常州·高一期末）已知是坐标原点，向量，（1）若，求实数的值；（2）当取最小值时，求的面积．【答案】（1）或；（2）4.【分析】（1）利用向量垂直的坐标表示即可求解.（2）根据向量数量积的坐标表示得出当时，取最小值，再由向量数量积的坐标表示求出向量夹角余弦值，根据同角三角函数的基本关系求出夹角的正弦值，由三角形的面积公式即可求解.【详解】（1）因为，，，所以，，又因为，所以，即也即，解得或，则所求实数的值为或．（2）由（1）知，当时，取最小值，

此时，，则，

又在中，，则，的面积为11．（2021·山西吕梁·高一期末）已知平面向量，且与共线.（1）求的值；（2）若，，求向量与向量所夹角的余弦值.【答案】（1）3；（2）.【分析】（1）根据向量线性运算的坐标表示求出，再根据与共线即可求得的值；（2）根据向量线性运算的坐标表示求出，再根据即可求得向量与向量所夹角的余弦值.【详解】解：（1）由题意得：，，因为与共线，所以，解得.（2）由（1）可知，于是，，设向量与向量夹角为，则.题型五：数量积和模求平面向量夹角一、单选题1．（2021·山东泰安·高一期末）已知向量，，则与的夹角为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】求出两向量的模及数量积，根据即可求解.【详解】解：，，所以，又因，所以与的夹角为.故选：D.2．（2022·陕西·长安一中高一期末）若两个非零向量，满足，则与的夹角为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据数量积的运算律得到，即可得解；【详解】解：因为，所以，即，即，所以，即与的夹角为；故选：C二、多选题3．（2021·吉林·汪清县汪清第四中学高一期末）点P是所在平面内一点，满足，则的形状不可能是（

）A．钝角三角形 B．直角三角形C．锐角三角形 D．等边三角形【答案】ACD【分析】由已知结合向量的线性表示及数量积的性质可得，进而可求．【详解】解：因为，，所以，两边同时平方得，故，即，则的形状为直角三角形．故选：ACD．三、填空题4．（2021·湖南·高一期末）若向量，满足，，，则与的夹角为_________.【答案】【分析】由向量夹角公式直接求解即可.【详解】，夹角为，故答案为：.5．（2022·内蒙古包头·高一期末）已知向量，，，则与的夹角为______．【答案】【分析】对化简计算可求出，再利用向量的夹角公式可求得结果【详解】由，得，因为，，所以，解得，设与的夹角为，则，因为，所以，故答案为：四、解答题6．（2020·云南·罗平县第二中学高一期末）已知平面向量，满足，，．（1）求向量与的夹角；（2）当实数x为何值时，与垂直．【答案】（1）；（2）.【分析】（1）由化简再结合，可求出向量与的夹角；（2）要与垂直，只需，化简可求出x的值.【详解】（1）由，得．（2）当与垂直时，，所以．【点睛】此题考查平面向量的数量积运算，考查向量的夹角的求法，向量垂直等知识，属于基础题.7．（2021·甘肃·庆阳第六中学高一期末）已知向量与的夹角，且，

，求与的夹角的余弦值．【答案】.【分析】由模、夹角求，应用向量数量积的运算律求，令与的夹角为，则有cosα=a⋅(a+【详解】∵向量与的夹角，且，

，∴a⋅b=|设与的夹角为，则cosα=a⋅(∴与的夹角的余弦值为．题型六：坐标公式法求平面向量的模一、单选题1．（2021·吉林·长春市第二十九中学高一期末）已知向量，，且，则（

）A． B． C． D．8【答案】C【分析】利用平面向量垂直的坐标表示求得x的值，得到向量的坐标，进而计算其模.【详解】由题意，,解得，所以，所以，故选：C.二、双空题2．（2021·北京通州·高一期末）已知点A（1，1），点B（5，3），将向量绕点A逆时针旋转，得到向量，则点C坐标为________；________．【答案】

【分析】由于向量绕点A逆时针旋转，得到向量，结合旋转后两个向量互相垂直，以及向量的模相等，可得点C坐标，再结合向量的模长公式，即可求解【详解】解：设点C的坐标为，因为点A（1，1），点B（5，3），所以，因为向量绕点A逆时针旋转，得到向量，所以，，所以，且，解得或，因为逆时针旋转，所以点的坐标为，所以，所以，故答案为：，三、填空题3．（2022·青海海东·高一期末）已知向量，，若，则________．【答案】【分析】利用平面向量垂直的坐标表示求出的值，再利用平面向量的模长公式可求得结果.【详解】因为，所以，得，故．故答案为：.4．（2021·北京市育英学校高一期末）已知向量，则为___________【答案】【分析】先求出的坐标，再利用模长公式即可求解.【详解】因为向量，所以，所以，故答案为：.5．（2021·新疆·克拉玛依市第一中学高二期末）已知，若，则___________.【答案】【分析】由数量积公式得出，再由模长公式求.【详解】由得，即，解得由得故答案为：.四、解答题6．（2021·北京昌平·高一期末）已知向量，.（1）求；（2）求向量与向量的夹角的余弦值；（3）若，且，求向量与向量的夹角.【答案】（1）；（2）；（3）..【分析】（1）先求出的坐标，再求其模；（2）利用向量的夹角公式直接求解即可；（3）由，得化简结合已知条件可得答案【详解】解：（1）因为，，所以.所以.（2）因为，，，所以.（3）因为，所以.即.所以.即，所以.因为，所以.题型七：转化法求平面向量的模一、单选题1．（2021·湖南·高一期末）已知向量，的夹角为，，，则（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由可得，再由，可求出，从而可求得【详解】解：由，得，因为向量，的夹角为，，所以，所以，解得，故选：A二、多选题2．（2021·重庆复旦中学高一期末）已知正方形的边长为1，，，，下列说法正确的是（

）A． B．在上的投影向量为C． D．【答案】ABD【分析】结合图形根据三角形法则，可判断A；根据向量投影的定义，可判断B；分别计算左、右两边，可判断C；由，计算可判断D.【详解】如图，可知，故A正确；由图可知在上的投影向量为，故B正确；因为，所以，所以，又，所以，所以，故C错误；因为a+故选：ABD三、填空题3．（2021·四川资阳·高一期末）已知向量与的夹角为，且，则___________．【答案】【分析】通过平方将所求向量的模转化为数量运算，再通过运算即可得出答案.【详解】由题意得，，代入计算，得原式，故答案为:4．（2021·湖北孝感·高一期末）已知向量，满足，且向量与的夹角为，则__________.【答案】【分析】直接利用向量的模的运算法则，结合向量的数量积求解即可．【详解】解：因为向量，满足，且向量与的夹角为，所以．故答案为：．四、解答题5．（2021·浙江嘉兴·高一期末）已知平面向量，满足，，，若，．（Ⅰ）求；（Ⅱ）求.【答案】（Ⅰ）-10；（Ⅱ）.【分析】（Ⅰ）利用已知条件，结合向量的数量积的运算律求解即可；（Ⅱ）首先求出，再利用向量的模的运算法则，结合向量的数量积求解．【详解】解：（Ⅰ）平面向量，满足，，，，．．（Ⅱ）因为，．所以，．所以．6．（2021··高一期末）已知，，.（1）求向量与的夹角；（2）求.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）若向量与的夹角为，由已知条件可得，即可求向量与的夹角；（2）利用向量数量积的运算律有，即可求模.【详解】（1）由题意，，若向量与的夹角为，∴，即，得，∴；（2），∴.一、单选题1．（2021·重庆·高一期末）已知是单位向量，与的夹角是，且，则=（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】把的两边同时平方化简即得解.【详解】解：由题得所以或（舍去）.故选：D2．（2020·天津市红桥区教师发展中心高一期末）如图所示，在菱形中，，，为的中点，则的值是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】根据向量的加法运算，表示出，然后根据数量积的运算法则求得答案.【详解】由题意得：,故，故选：A3．（2021·河南南阳·高一期末）在锐角中，，，则的取值范围为（）A． B． C． D．【答案】A【分析】以为原点，所在直线为轴建立坐标系，得到，找出三角形为锐角三角形的的位置，得到所求范围.【详解】解：以为原点，所在直线为轴建立坐标系，，，，设是锐角三角形，，，即在如图的线段上（不与，重合），，，.则，的范围为.故选：A.【点睛】本题考查向量数量积的应用，考查数形结合的方法，属于较难题.4．（2021·江苏南通·高一期末）在中，，，，若点为边所在直线上的一个动点，则的最小值为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】以为原点，所在直线为轴，建立坐标系.由余弦定理可求出，结合同角三角函数的基本关系可求出，从而可求出，，，设，用表示向量的坐标，从而可求出的表达式，进而可求出最小值.【详解】解：由余弦定理可知，所以，如图，以为原点，所在直线为轴，建立坐标系，则，，设，因为，，则，所以，，，因为，所以，则，因为，当时等号成立，所以，故选:D.【点睛】本题考查了余弦定理，考查了同角三角函数的基本关系，考查了向量的线性坐标运算，考查了向量模的坐标表示.本题的关键是通过建立坐标系，用一个未知数表示所求模长.5．（2020·浙江温州·高一期末）已知平面向量，，且满足，若为平面单位向量，则的最大值（

）A．3 B． C．4 D．【答案】B【分析】先根据平面向量的数量积公式求出与的夹角，根据条件，可设，再设，根据平面向量的坐标运算和数量积公式，以及三角恒等变换和三角函数的性质得出，即可求出结果.【详解】解：，设与的夹角为，，，则，不妨设，再设，则，即，所以的最大值为.故选：B.【点睛】本题考查平面向量的坐标运算和数量积公式，以及三角恒等变换和三角函数的性质的应用，考查运算能力.二、多选题6．（2021·浙江湖州·高一期末）在中，，分别是，的中点，且，，则（

）A．面积最大值是12 B．C．不可能是5 D．【答案】BD【分析】A选项结合三角形的面积公式以及平面图形的几何性质即可判断；B选项结合余弦定理与均值不等式即可判断；C选项将表示为，结合平面向量的数量积的定义以及运算律，求得，即可判断；D选项将表示为，进而求出范围即可判断.【详解】设中，角所对应的边分别为，A：，当时，等号成立，所以面积最大值是6，故A错误；B：在中，，当且仅当，即时，等号成立，故B错误；C：，因为，所以，所以，则，故C正确；D：，且，所以，又因为，所以，故D正确；故选：BD.7．（2021·湖北鄂州·高一期末）设是平面内相交成角的两条数轴，分别是与轴、轴正方向同向的单位向量.若向量，则把有序数对叫做向量在斜坐标系中的坐标，计作.已知在斜坐标系中，向量，，则下列结论正确的是（

）A．B．若，则C．D．若，则=.【答案】AD【分析】先计算，再根据新定义计算、、，判断ABC的正误，利用线性关系计算坐标，判断D的正误即可.【详解】依题意，.由向量，，则，故A正确；若，则，即，当时，，即B错误；，故C错误；若，则，解得，即，即D正确.故选：AD.8．（2021·广东东莞·高一期末）已知与均为单位向量，其夹角为，则下列结论正确的是（

）A． B．C． D．【答案】AC【分析】先计算，，再分别计算和时对应夹角的取值范围，即可判断四个选项的正误.【详解】依题意，，.，等价于，即，即，即，而，故，即A正确，B错误；，等价于，即，即，即，而，故，即C正确，D错误.故选：AC.9．（2021·广东广州·高一期末）中，，，则下列结论中正确的是（

）A．若为的重心，则B．若为边上的一个动点，则为定值4C．若、为边上的两个动点，且则的最小值为D．已知Q是内部（含边界）一点，若，且，则的最大值是1【答案】BC【分析】以为坐标原点，分别以所在的直线为轴建立平面直角坐标系，求出的坐标即可判断A；将用基底表示，再利由数量积运算计算可判断B；不妨设靠近点，，则，用表示两点坐标，计算求最值，可判断C；设，，可得，利用向量相等，坐标相等可得与的关系，将表示为关于的函数，即可求最值判断D，进而可得正确选项.【详解】如图：以为坐标原点，分别以所在的直线为轴建立平面直角坐标系，则，，，，，对于A：由重心坐标公式可得所以，而，所以，故选项A不正确；对于B：设，则，所以，故选项B正确；对于C：不妨设靠近点，，则，可得，，则，当时，取得最小值为，故选项C正确；对于D：设，由可得，所以，设，所以，，由可得，所以，此时无最大值，故选项D不正确，故选：BC.10．（2021·江苏泰州·高一期末）在平面直角坐标系中，的三个顶点O，A，B的坐标分别为，，，设，，，则（

）A．B．C．(R为外接圆的半径)D．【答案】BD【分析】对A，由正弦定理以及三角形的面积公式即可求解；对B，根据三角形面积公式以及向量的运算即可求解；对C，由正弦定理以及三角形的面积公式即可求解；对D，根据点到直线的距离以及三角形的面积公式即可求解.【详解】解：对A，由正弦定理知：，，故A错误；对B，，故B正确；对C，由正弦定理知：，，故C错误；对D，由题意知：，则点到直线的距离，，即，故D正确.故选：BD.11．（2021·浙江·高一期末）已知向量，，满足，，，，则下列说法正确的是（

）A． B．若，则C．，有恒成立 D．若，则【答案】ABC【分析】结合已知条件，利用平面向量数量积的运算性质逐个检验即可【详解】对于A：，，故A正确；对于B：，，，，，故B正确；对于C：，恒成立，故C正确；对于D：，，，，，，，当时，，；当时，，；故D错误；故选：ABC12．（2021·浙江·高一期末）如图所示，设是平面内相交成角的两条数轴，分别是与轴正方向同向的单位向量，则称平面坐标系为反射坐标系，若，则把有序数对叫做向量的反射坐标，记为．在的反射坐标系中，．则下列结论中，错误的是（

）A． B．C． D．在上的投影向量为【答案】ACD【分析】借鉴单位向量夹角为时的情况，注意夹角为；；；数量积为；在上的投影向量为.【详解】A.，所以，故A错；B.，故B对；C.，故C错；D.在上的投影向量为，故D错.故选：ACD【点睛】注意和课本上夹角为的坐标系的计算进行区别，可以借鉴，计算时夹角为，注意计算的准确性.三、填空题13．（2021·广东广州·高一期末）在中，，点D在边上，且，点E是的中点，则________．【答案】【分析】利用向量的加法和减法法则，将和化为可以求出夹角余弦值的和即可﹒【详解】如图，根据余弦定理得：，故答案为：﹒14．（2021·甘肃·嘉峪关市第一中学高一期末）已知为坐标原点，点，，，，则下列式子中一定正确的序号为___________.①；②；③.【答案】①③【分析】利用平面向量的数量积运算和求解公式求解。【详解】因为点，，所以，则故①正确；因为，，，而的大小不定，所以大小不定，故②错误；因为，，，，，，所以，故③正确.故答案为：①③15．（2021·浙江嘉兴·高一期末）已知平面向量，，满足，，，，则的最小值为________.【答案】【分析】令，，，中点为，中点为，由已知画出图形，求出点轨迹，求出的最小值，除以2得答案．【详解】解：令，，，中点为，中点为，为的中点，由，，，得，则，即，所以，所以，即，，所以，因为，所以，即，所以，所以点的轨迹为以为直径的圆，，当且仅当、、共线且在线段之间时取等号．的最小值为．故答案为：．16．（2021·江苏·扬中市第二高级中学高一期末）如图在中，为斜边的中点，，，则的最大值是__________．【答案】【分析】设，，可得，，根据数量积运算化可将用表示，再利用三次均值不等式求解即可.【详解】设，，则，，，，所以，当且仅当，即时，等号成立.故答案为：四、解答题17．（2021·陕西安康·高一期末）已知点，，，.(1)若，求的值；(2)若AC⋅BC=−1【答案】(1)(2)【分析】（1）利用列方程，化简求得.（2）利用AC⋅(1)AC=，，，由于，所以.(2)若AC⋅则，，当时，上式不符合，所以，，所以，由两边平方并化简得，，所以，所以，.18．（2021·重庆·高一期末）如图，在中，已知，，点在上，且，点是的中点，连接，相交于点.(1)求线段，的长；(2)求的余弦值.【答案】(1)，(2)【分析】（1）由，，根据向量数量积的运算即可求解；（2）由与的夹角即为，利用向量的夹角公式即可求解.(1)解：由题意，，，又，所以，，即，

=，，即；(2)解：，==，

与的夹角即为，.19．（2021·云南昆明·高一期末）向量是解决数学问题的一种重要工具，我们可以应用向量的数量积来解决不等式等问题．（1）（ⅰ）若，，比较与的大小；（ⅱ）若，，比较与的大小；（2），为非零向量，，，证明：；（3）设为正数，，，，求的值．【答案】（1）（ⅰ），（ⅱ）；（2）具体见解析；（3）.【分析】（1）由向量数量积的定义即可求得；（2）根据容易发现，为两个平面向量的数量积，分别为两个平面向量模的平方，根据即可证明；（3）根据这样的结构，可以设，进而根据平面向量数量积的坐标运算即可求得.【详解】（1）（ⅰ），，∴；（ⅱ），，∴；（2）∵，，而，∴；（3）设，∴，，∴，而为正数，∴，即，则同向.设，即，∴，∴.20．（2021·江苏·南京师大附中高一期末）①已知向量，，函数，，．（1）当时，求的值；（2）若的最小值为，求实数的值；（3）是否存在实数，使函数在有四个不同的零点？若存在，求出的取值范围；若不存在，说明理由．②已知函数，．（1）若，记的解集为，求函数(为自然对数的底数)的值域；（2）当时，讨论函数的零点个数．请从①和②两题中任选一题进行解答．(注意：如果选择①和②两题进行解答，以解答过程中书写在前面的情况计分)【答案】①（1），（2），（3）②（1），（2）当时，有1个零点，当时，有2个零点，当时，有3个零点【分析】①（1）利用向量的数量积的公式化简函数即可；（2）求出函数的表达式，利用换元法结合二次函数的最值进行讨论求解即可；（3）由得到方程的根，利用三角函数的性质进行求解②（1）当时，求出的解集，函数，在求出复合函数的值域；（2），利用分类讨论思想，求出函数的零点个数【详解】①解：（1）由题意得当时，，所以，（2）因为，所以，所以，令则，，对称轴为，当，即时，当时，函数取得最小值，此时最小值，得（舍去），当，即时，当时，函数取得最小值此时最小值为，解得，当，即时，当时，函数取得最小值此时最小值，解得（舍去），综上，若的最小值为，则，（3）令解得或，所以方程或在上有4个不同的实根，所以，得，则，所以的取值范围为②（1）当时，的解集为，函数，当时，令，则，所以的值域为，（2），因为，所以1是的一个零点，，因为，所以，所以，所以1是的一个零点，当时，，所以在上无零点，当时，，在上无零点，所以在上的零点个数是在上的零点个数，因为，，若，即时，函数无零点，即在上无零点，若，即时，函数的零点为，即在上有零点，若，即时，，函数在上有2个零点，即在上有2个零点，综上，当时，有1个零点，当时，有2个零点，当时，有3个零点【点睛】关键点点睛：①此题考查向量与三角函数的综合应用，考查计算能力，解题的关键是将换元转化为，然后利用二次函数的性质分类讨论求最值，属于中档题；②此题考查复合函数零点问题，解题的关键是利用换元法将复合函数转化为基本函数讨论函数的零点，考查计算能力和分析问题的能力，属于中档题21．（2021·江苏南通·高一期末）已知O为坐标原点，对于函数，称向量为函数的伴随向量，同时称函数为向量的伴随函数.（1）设函数，试求的伴随向量；（2）记向量的伴随函数为，求当且时的值；（3）由（1）中函数的图象（纵坐标不变）横坐标伸长为原来的2倍，再把整个图象向右平移个单位长度得到的图象，已知，，问在的图象上是否存在一点P，使得.若存在，求出P点坐标；若不存在，说明理由.【答案】（1）（2）（3）存在，【分析】(1)利用三角函数诱导公式化简函数得，根据题意写出伴随向量；(2)根据题意求出函数，再由及求出及，由展开代入相应值即可得解；(3)根据三角函数图像变换规则求出的解析式，设，由得列出方程求出满足条件的点P的坐标即可.【详解】（1）∵∴∴的伴随向量（2）向量的伴随函数为，，，（3）由（1）知：将函数的图像（纵坐标不变）横坐标伸长为原来的2倍，得到函数再把整个图像向右平移个单位长得到的图像，得到设，∵∴，又∵，∴∴∴（*）∵，∴∴又∵∴当且仅当时，和同时等于，这时（*）式成立∴在的图像上存在点，使得.【点睛】本题主要考查平面向量坐标形式与三角函数的综合应用，涉及三角函数诱导公式，三角恒等变换，求三角函数图像变换后的解析式，向量垂直的数量积关系，属于中档题.22．（202