2022-2023学年上海市高二上期末考试数学模拟试卷及答案解析

2022-2023学年上海市高二上期末考试数学模拟试卷

一.填空题（共12小题）

22

1.（2021-秦州区校级模拟）双曲线七_缶=1的渐近线方程是.

2.（2020秋•宝山区校级期末）复数的虚部为.

l-i

3.（2018春•保定期末）若圆锥底面半径为1,高为则其侧面积为

22

4.（2019春•舟山期末）设尸1,乃是双曲线三一-2―=1的两个焦点，户是该双曲线上一点,

54

且|PF2|=2：1,则△尸尸尸2的面积等于

5.（2020秋•黄浦区期末）过直线/：y^2x+b（bCR）上一点尸作圆/+/=1的切线，A,

8为两切点，若直线/上不存在满足证.而<0的点尸，则的6取值范围

为.

6.（2011•上海模拟）在北纬45°东经30°有一座城市在北纬45°东经120°有一座城

市8,设地球半径为R,则/、8两地之间的距离是.

7.（2020秋•杨浦区校级期末）已知直线['=卜土（/为参数，/CR）和圆c1x=4cos8（0

[y=7-2t[y=4sin0

为参数，0GR）交于P,。两点，则的长为.

8.（2016秋•松江区期末）设产（%,y）是曲线C：1上的点，Fi(-4,0),

Fi（4,0）,贝”尸尸1|+|「/切的最大值=.

9.（2020秋•闵行区校级期末）直线/与抛物线/=4x交于两点/（xi，"），B（x2,”）,

。为坐标原点，若水,比=-4，则X1X2=.

10.（2016•上海二模）已知平面上三点“、B、。满足|同=次，|前=依，|通=2企，

则标-BC+BC•'ck+ck•屈的值等于.

11.（2020秋•徐汇区校级期末）己知曲线r：FCx,y）=0对坐标平面上任意一点尸（x,

y），定义/[P]=F（x,y）.若两点尸，。满足F[P]-F[Q<0,称点P,0在曲线「两侧.记

到点（0,1）与到x轴距离和为5的点的轨迹为曲线C,曲线r：F（x,y）

-a=0,若曲线C上总存在两点M,N在曲线「两侧，则实数。的取值范围是.

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12.（2021春•海原县校级期末）把参数方程卜二s；n°-cos8（。为参数，®eR）化成普通

[y=sin6+cos6

方程是.

二.选择题（共4小题）

13.（2020秋•黄浦区期末）方程y+7x2-2x+l=0的图形是图中的（）

14.（2020秋•杨浦区校级期末）已知定圆/：（x-3）2+/=16,点/是圆加r所在平面内一

定点，点P是圆M上的动点，若线段H的中垂线交直线P/W于点0,则点。的轨迹可

能是：①椭圆；②双曲线；③抛物线；④圆；⑤直线；⑥一个点.其中所有可能的

结果有（）

A.2个B.3个C.4个D.5个

15.（2021春•上海期末）设复数z=a+bi（其中。、b€R,z•为虚数单位）,则％=0”是"z

为纯虚数”的（）

A.充分非必要条件B.必要非充分条件

C.充要条件D.既非充分又非必要条件

16.（2020秋•徐汇区校级期末）已知两个不相等的非零向量之，b.两组向量丁，丁，丁

1A2A3

[焉和J]E'E'工’云均由2个；和3个芯排列而成，记

■••9—♦■»—•9.*"・—*

,smi„表示s所有可能取值中的最小值,

S=x1-y1+x2-y2+x3*y3+x4-y4+x5-y5

S”网表示S所有可能取值中的最大值.下列说法中正确的个数是（）

①S有5个不同的值；②若Z1E，且|=|E|=1，则SH=5；

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③若|b|>4|a『则S，"">0；④若|b|=2|a|，s.=81；12,则之与词夹角为

mui3

A.1B.2C.3D.4

三,解答题（共5小题）

17.（2020秋•浦东新区校级期末）已知z=12（i是虚数单位），求：

i1

（1）2•-（"^1）的值；

z+i

（2）满足不等式庇-i|2l的实数a的取值范围.

18.（2020秋•浦东新区校级期末）疫情期间，作为街道工作人员的王阿姨和李叔叔需要上

门排查外来人员信息，王阿姨和李叔叔分别需走访离家不超过200米、〃米的区域，如图,

/1、/2分别是经过王阿姨家（点）的东西和南北走向的街道，且李叔叔家在王阿姨家的东

偏北45°方向，以点。为坐标原点，/1、/2为x轴、y轴建立平面直角坐标系，已知健康

检查点（即点M（100,400））和平安检查点（即点N（400,700））是李叔叔负责区域

中最远的两个检查点.

（1）求出％,并写出王阿姨和李叔叔负责区域边界的曲线方程；

（2）王阿姨和李叔叔为交流疫情信息，需在姑山路（直线/：x-^+1000=0）上碰头见

面，你认为在何处最为便捷、省时间（两人所走的路程之和最短）？并给出理由.

19.（2020秋•宝山区校级期末）《九章算术》是古代中国乃至东方的第一部自成体系的数学

专著，书本记载了一种名为“刍薨”的五面体（如图1）.其中四边形/8CO为矩形，EF

//AB,△刈£>和是三角形，“刍薨”字面意思为茅草屋顶.图2是一栋农村别塞，

为全新的混凝土结构.它由上部屋顶和下部主体两部分组成.如图3,屋顶五面体为“刍

薨”，其中前后两坡屋面N8E尸和尸是全等的等腰梯形，左右两坡屋面和尸8c

是全等的三角形，点厂在平面Z8C。和8C上射影分别为H,M,已知〃M=5米，BC

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=10米，梯形N8EE的面积是△E8C面积的2.2倍.设NFMH=8(0<8<子).

(1)(2)(3)

(1)求屋顶面积s关于。的函数关系式；

(2)已知上部屋顶造价由屋顶面积确定，造价为600元/平方米，下部主体造价由高度

确定，造价为9600元/米.现欲造一栋上、下总高度为6米的别墅，试问：当。为何值时，

总造价最低？

20.(2020•浦东新区三模)直三棱柱N8C-481。中，底面N8C为等腰直角三角形，AB

±AC,AB=AC=2,44i=4,M是侧棱CCi上一•点，设MC=h.

(1)若求〃的值；

(2)若/i=2,求直线与平面48M所成的角.

4

22

21.(2020•松江区二模)如图，已知椭圆心2-+^=l(a>b〉0)经过圆Mx?+Cy+l)

y

2=4与X轴的两个交点和与y轴正半轴的交点.

(1)求椭圆〃的方程；

(2)若点P为椭圆"上的动点，点。为圆N上的动点，求线段P。长的最大值；

(3)若不平行于坐标轴的直线/交椭圆”于/、B两点,交圆N于C、D两点,且满足

.*

AC=DB>求证：线段的中点E在定直线上.

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2022-2023学年上海市高二上期末考试数学模拟试卷

参考答案与试题解析

一.填空题（共12小题）

22_

1.（2021•秦州区校级模拟）双曲线勺一缶=1的渐近线方程是_y=土料

【考点】双曲线的性质.

【专题】方程思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；数学运算.

22

【分析】令工=o,解之即可.

42口

22一

【解答】解：令*_*_=（）,解得y=±&x,

所以双曲线的渐近线方程为y=±J5x.

故答案为：y=±V2x.

【点评】本题考查双曲线的渐近线方程的求法，考查学生的运算求解能力，属于基础题.

2.（2020秋•宝山区校级期末）复数的虚部为1.

l-i

【考点】虚数单位i、复数；复数的运算.

【专题】方程思想；定义法；数系的扩充和复数；数学运算.

【分析】利用复数的运算法则直接求解.

【解答】解：复数N_=.2（冲。=i+j,

1-i（l-i）（l+i）

复数2的虚部为i.

1-i

故答案为：1.

【点评】本题考查复数的虚部的求法，考查复数的运算法则等基础知识，考查运算求解

能力，是基础题.

3.（2018春•保定期末）若圆锥底面半径为1,高为次，则其侧面积为2TT.

【考点】棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积.

【专题】计算题.

【分析】先求圆锥的母线，然后直接利用圆锥侧面积公式求解即可.

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【解答】解：圆锥的高位如，底面半径为1,所以圆锥的母线为：2,

圆锥的侧面积：工X2nX2=27T

2

故答案为：2n.

【点评】本题考查圆锥的侧面积公式，是基础题.

22

4.(2019春•舟山期末)设尸1，/2是双曲线2—-匚=1的两个焦点，P是该双曲线上一点，

54

且|PQ|：|PF2|=2：1,则△PE乃的面积等于12

【考点】双曲线的性质.

【专题】计算题；转化思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程.

【分析】先由双曲线的方程求出同尸2|=6,再由|PFi|：甲尸2尸2：1,求出|PQ|,|P「2|，

由此转化求出△尸尸1尸2的面积.

22

【解答】解：F\,尸2是双曲线三-==1的两个焦点，F1(-3,0),F2(3,0),|F1F2|

54

=6,

V|PFi|：|PF2|=2：1,・••设|P尸2|=》,则|PEi|=2x,

由双曲线的性质知|2x-x|=2jj解得x=2代.

•,"1=4娓，|尸尸2]=2代，

cosZF\PFi=16X5+4X5-36sinZFiPS.

2X275X47555

...△尸四尸2的面积为工*4代义2代*3=12.

25

故答案为：12.

【点评】本题考查双曲线的性质和应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意公式的合

理运用.

5.(2020秋•黄浦区期末)过直线/：y^2x+b(b6R)上一点「作圆/+/=1的切线，力,

8为两切点，若直线/上不存在满足证.而〈0的点P,则的b取值范围为(-8,-

VlQiyiVici.)+0°).

【考点】圆的切线方程；直线与圆的位置关系.

【专题】计算题；方程思想；转化思想；综合法；直线与圆；数学运算.

【分析】根据题意，作出图形，由数量积的性质可得N4P8W90。，结合图形可得『。|

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》加,进而可得解可得方的取值范围，即可得答案.

V1+4

【解答】解：根据题意，圆x2+/=l的圆心为。（0,0）,半径,=1,

若直线/上不存在满足点.而＜0的点2则NAP8W90°,

当N4PB=90°,四边形OZP8为正方形，\OA\=r=],此时『0|=祀,

当|PO|最小时，NAPB最大,必有|PO|\注,

则有4=坦=》加，即创）行，

V1+4

解可得：bW-丁元或6，JT5，

故b的取值范围为（-8,-7[0]uW]0,+8）

6.（2011•上海模拟）在北纬45°东经30°有一座城市出在北纬45°东经120°有一座城

市8,设地球半径为R,则/、8两地之间的距离是一二八.

3

【考点】球面距离及相关计算.

【专题】计算题.

【分析】由已知中在北纬45°东经30°有一座城市A,在北纬45°东经120°有一座城市B,

设地球半径为R,我们可以求出北纬45°的纬线圈半径，及连接N8两点的弦的长，进

而求出/,8两地与地球球心。连线的夹角/ZO8,代入弦长公式即可得到答案.

【解答】解：由已知地球半径为R,

则北纬45°的纬线圈半径为亚R

又•.•两座城市的经度分别为东经30°和东经120°

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故连接两座城市的弦长L=^R•值R

则A,B两地与地球球心0连线的夹角ZAOB^—

3

则4、8两地之间的距离是工R

3

故答案为：2LR

3

【点评】本题考查的知识点是球面距离及相关计算，要计算球面两点的球面距离要有两

个关键的几何量，一是球的半径R,一是48两地与地球球心。连线的夹角NZ08.

7.（2020秋•杨浦区校级期末）已知直线（f为参数，/6R）和圆C：[x=4cos8（0

（y=7-2t[y=4sin9

为参数，0SR）交于尸，0两点，则|POI的长为2、斤[.

【考点】参数方程化成普通方程；直线的参数方程.

【专题】转化思想；综合法；坐标系和参数方程；逻辑推理；数学运算.

【分析】直接利用转换关系，把参数方程、极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换，

进一步利用点到直线的距离和垂径定理的应用求出结果.

【解答】解：直线Q为参数，转换为直角坐标方程为2x-八5=0,

ly=7-2t

圆c[x=4cos8（°为参数，gR）转换为直角坐标方程为了+产=16,

1y=4sin8

所以圆心（0,0）到直线2x-y+5=0的距离喳14百

V22+l2

所以闿尸2爪2_（付2=2日.

故答案为：2/五.

【点评】本题考查的知识要点：参数方程、极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，点

到直线的距离公式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础

题.

8.（2016秋•松江区期末）设尸（x,y）是曲线C：1上的点，Fi(-4,0),

Fi（4,0）,则IPFil+OF?」的最大值=10.

【考点】曲线与方程.

【专题】综合题；转化思想；演绎法；圆锥曲线的定义、性质与方程.

【分析】先将曲线方程化简，再根据图形的对称性可知「人|+|尸尸2|的最大值为10.

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【解答】解：曲线C可化为：」d_也_=1,它表示顶点分别为（±5,0）,（0,±3）

53

的平行四边形，

根据图形的对称性可知|PFi|+|P尸2|的最大值为10，当且仅当点P为（±5,0）,（0,±3）

时取最大值，

故答案为10.

【点评】本题主要考查曲线与方程之间的关系，考查图形的性质，属于基础题.

9.（2020秋•闵行区校级期末）直线/与抛物线y2=4x交于两点4（xi，yi）,B（尤2,”），

O为坐标原点,若0A•0B=-4，则xix2=4.

【考点】平面向量数量积的性质及其运算；直线与抛物线的综合.

【专题】计算题：转化思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；数学运算.

【分析】把点的坐标代入方程，结合向量的数量积化简求解即可.

【解答】解：直线/与抛物线夕2=4X,（X>0）交于两点/（xi，y\）,B（X2,二），

2

可得y/=4x[,及2=4X2,所以16xiM=y1y22,y[y2=+4r^—^

O为坐标原点，若赢•丽=-4，

可得XIX2+JV2=-4'RX2±4百石+4=0,

解得XIX2=4.XIX2=-4（舍去）.

故答案为：4.

【点评】本题考查抛物线的简单性质的应用，向量的数量积的应用，考查转化思想以及

计算能力.

10.（2016•上海二模）已知平面上三点4、B、C满足I咫=a，|BQ=V5-I感=2加，

则而-BC+BC-CA+CA•标的值等于-8.

【考点】平面向量数量积的性质及其运算.

【专题】转化思想；向量法；平面向量及应用.

【分析】由三边的平方和的关系，可得△NBC为直角三角形，由屈+前+以=3,两边

平方结合向量的平方即为模的平方，计算即可得到所求值.

【解答】解：由|咫=愿，|而=娓，I族=2衣，可得：

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IAH2+IBa2=ICA2>

即有△48C为直角三角形，

■♦■"♦9・,

由AB+BC+CA=O，两边平方可得，

|AB|2+|Ba2+ICAi2+2(AB-BC+BC-CA+CA-AB)=0，

即有瓦-BC+BC-CA+CA-^-(IAH2+|Ba2+|C^2)

2

=-Ax(3+5+8)=-8.

2

故答案为：-8.

【点评】本题考查向量的数量积的性质：向量的平方即为模的平方，注意平方法的运用，

考查化简整理的运算能力，属于中档题.

11.(2020秋•徐汇区校级期末)已知曲线r：FCx,y)=0对坐标平面上任意一点尸(x,

N)，定义网P]=F(x,y).若两点尸，。满足F[P]-F[Q<0,称点尸，0在曲线I、两侧.记

到点(0,1)与到x轴距离和为5的点的轨迹为曲线C,曲线「：F(x,y)=x2+y2-y

-a=0,若曲线C上总存在两点M,N在曲线「两侧，则实数a的取值范围是6<“<

24.

【考点】曲线与方程.

【专题】新定义；函数思想；综合法；圆锥曲线中的最值与范围问题；数学运算.

【分析】点(0,1)与到x轴距离和为5的点的轨迹为曲线C,画出图形，求出轨迹方

程，当0WyW3时，F(x,y)-9^+24-aS[6-a,24-a]；当-2WyW0时，F(x,

y)=/+lly+24-ae[6-a,24-a],利用[W]・F[N]<0,求解a的范围.

【解答】解：设曲线C上的动点为(x,y),则1x2+(y_i)2+|y|=5,

化简得曲线C的方程为X2=8(3-y)(0WyW3)和/=12(八2)(-2WyW0),

其轨迹为两段抛物线弧

当0WyW3时，F(x,y)=/-9y+24-a€[6-a,24-a]；

当-2Wy<0时,F(x,y)=J>2+1\y+24-ae[6-a,24-a]；

故若有F|M・F[MV0,则(6-a)(24-a)<0^>6<a<24.

故答案为：6<a<24.

【点评】本题考查球心与方程的求法，新定义的应用，考查转化思想以及计算能力，属

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于中档题.

12.（2021春•海原县校级期末）把参数方程卜=s；n8-cos8（°为参数，%R）化成普通

方程是"=2.

【考点】参数方程化成普通方程.

【专题】计算题；方程思想；转化法；坐标系和参数方程；数学运算.

【分析】利用同角三角函数的基本关系消去参数。，化为普通方程.

［解答］解•：Mx=s+nB-cos8

y=sin6+cos8

.,.x2=（sin0-cosQ）2=I-2sin0cos9,

/=（sin0+cos0）2=l+2sin0cos0,

消去。得：/旷=2,

故答案为：/+）2=2.

【点评】本题主要考查同角三角函数的基本关系的应用，把参数方程化为普通方程的方

法，属于中档题.

二.选择题（共4小题）

13.（2020秋•黄浦区期末）方程yWx2-2x+l=0的图形是图中的（）

【考点】函数的图象与图象的变换.

【专题】计算题：数形结合：转化思想；综合法；函数的性质及应用：数学抽象.

’_乂+1

【分析】根据题意，原方程变形可得尹仅-1尸0,则有y=-ix-ii=，'7，据

X-l,X<1

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此分析选项可得答案.

【解答】解：根据题意，方程yTx2_2x+l=0,即则有y=-|x-1|=

-x+1,x〉l

x-1,x〈l

在区间（-8,1）上，y=x-1,在区间（1,4-00）上，y=-x+],排除“8C,

故选：D.

【点评】本题考查曲线的方程以及图形分析，关键是对原方程的变形，属于基础题.

14.（2020秋•杨浦区校级期末）已知定圆"：（X-3）2+廿=16,点4是圆〃所在平面内一

定点，点P是圆M上的动点，若线段口的中垂线交直线PW于点0,则点。的轨迹可

能是：①椭圆；②双曲线；③抛物线；④圆；⑤直线；⑥一个点.其中所有可能的

结果有（）

A.2个B.3个C.4个D.5个

【考点】轨迹方程.

【专题】探究型；分类讨论；定义法；圆锥曲线的定义、性质与方程；逻辑推理.

【分析】。是线段口的中垂线上的点，可得修=尸。.对点”的位置分类讨论，利用线

段垂直平分线的定义与性质、圆锥曲线的定义即可判断出结论.

【解答】解：是线段我的中垂线上的点，...小二尸。，

（1）若N在圆〃内部，则M4<4,QM+QA=QM+QP=4,

点轨迹是以4为焦点的椭圆.

（2）若/在圆加外部，则-QM=|P。-0M=PM=4,MA>4,

二。点轨迹是以4〃为焦点的双曲线.

（3）若/在圆〃上，则RI的中垂线恒过圆心"，

即Q的轨迹为点M.

（4）若/为圆阳的圆心，即Z与M重合时，。为半径的中点，

点轨迹是以“为圆心，以2为半径的圆.

综上，。点轨迹可能是①②④⑥四种情况.

故选：C.

【点评】本题考查了线段垂直平分线的性质定理、圆锥曲线的定义、分类讨论方法，考

查了推理能力与计算能力，属于中档题.

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15.（2021春•上海期末）设复数z=a+加（其中.、旎R,i为虚数单位）,则％=0”是“z

为纯虚数”的（）

A.充分非必要条件B.必要非充分条件

C.充要条件D.既非充分又非必要条件

【考点】充分条件、必要条件、充要条件；虚数单位i、复数.

【专题】计算题：对应思想：定义法：简易逻辑：逻辑推理.

【分析】根据复数的概念可得当。=0,且6W0时，Z为纯虚数，再根据充分条件，必要

条件的定义可以判断.

【解答】解：复数z=a+4（其中0、乂R,i为虚数单位），当。=0,且6W0时，z为纯

虚数，

则“a=0”是“z为纯虚数”必要非充分条件，

故选：B.

【点评】本题考查了复数的概念，以及充分条件，必要条件，属于基础题.

16.（2020秋•徐汇区校级期末）已知两个不相等的非零向量之，b.两组向量三，石，不，

丁，［一和7，彳,彳，7"均由2个2和3个5排列而成，记

x4x5y1y2y3y4y5

++,min

S=X1*y1+x2*y2x3*y3x^,y^+xri*y5^表不S所有可能取值中的最小值,

s,s表示s所有可能取值中的最大值.下列说法中正确的个数是（）

①S有5个不同的值；②若Z1E，且|Z|=|E|=1，则S"S=5；

2,

③若|>4||>则S”加>0；④若|b|=21a|>Smin=8|W|则a与b的夹角为噂•.

mm3

A.1B.2C.3D.4

【考点】命题的真假判断与应用.

【专题】整体思想；综合法；空间向量及应用；逻辑推理.

【分析】根据题意可得&=29+3•，52=22+2甘+2。4，S3=4&K+*,S有三种不

同值，可推出①错误.做差得SLS2=S2-5320,推出S,S为SI，可推出②正确.若

|b|>4|a|,则SM加=S3=4|a|,|b|cos0+b2>0,故③正确,若|b|=2|a|，

s.=g|7|2.推出8百2««。+4亩2=81孑,解得e=2L,

2mm口i।3

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【解答】解：因为小yi（z-1,2,3,4,5）均由2个a和3个fc#列而成，

所以5=即加可能有三种情况：

S\=a2+a2+b2+b2+fe2=212+3b2,

52—a2+a*b+a*b+^b2—a2+2b2+2a*b>

$3=a*b+a*b1-a*b+a•b+b2—4a*b+b2，故①错误，

5i-S2-S2-S3—a2+b2-2a*b》a2+b2-2|alibi—（Ia]TbP-o,

所以S中最大值为S”

若aj_b，且|a|=|b|=l，则S”“x=5；故②正确.

若|E|〉4|；卜则S3S3=4|Z・|tcOSe+E2>一4赢值+|芯2>一前+/2=0,故③

正确，

若|b|=2|a|,S-=8|；|2,则5加加=$3=8|司2cos。+41al2=81）2,

minjJ1a

所以2cos0=1,所以。=?L,

3

即2与E的夹角为工，故④正确.

3

综上所述，正确的命题是：②③④.

故选：C.

【点评】本题考查向量的运算，数量积的定义，属于中档题.

三.解答题（共5小题）

17.（2020秋•浦东新区校级期末）已知z=12（i是虚数单位），求：

i1

（1）（21）的值；

z+i

（2）满足不等式加-421的实数〃的取值范围.

【考点】复数的运算；矩阵.

【专题】转化思想；定义法；数系的扩充和复数；数学运算.

【分析】（1）求出复数z,再代入计算即可；

（2）利用复数的模长公式化不等式为关于。的不等式，求解集即可.

【解答】解：（1）因为z=12=1-2。

i1

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所以二-一(>1)=_2―-(1+2/+1)

z+i1-i

=2(1+1)--(2+2/)

l2-i2

=(1+z)-2-2/

=-1-z；

(2)不等式|az-i|21为|a(1-万)-z|^l,

即|a-(2a+l)1,

所以Vid

整理得5。2+4020,

解得-a或a20,

5

所以实数a的取值范围是(-8,-为“0,+8).

5

【点评】本题考查了行列式与复数的运算问题，也考查了运算求解能力，是基础题.

18.(2020秋•浦东新区校级期末)疫情期间，作为街道工作人员的王阿姨和李叔叔需要上

门排查外来人员信息，王阿姨和李叔叔分别需走访离家不超过200米、k米的区域，如图，

/1、/2分别是经过王阿姨家(点)的东西和南北走向的街道，且李叔叔家在王阿姨家的东

偏北45°方向，以点O为坐标原点，11、/2为x轴、y轴建立平面直角坐标系，已知健康

检查点(即点〃(100,400))和平安检查点(即点N(400,700))是李叔叔负责区域

中最远的两个检查点.

(1)求出匕并写出王阿姨和李叔叔负责区域边界的曲线方程；

(2)王阿姨和李叔叔为交流疫情信息，需在姑山路(直线/：x-尹1000=0)上碰头见

面，你认为在何处最为便捷、省时间(两人所走的路程之和最短)？并给出理由.

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【考点】根据实际问题选择函数类型.

【专题】方程思想：转化法；直线与圆：数学建模；数学运算.

【分析】(1)先求出李叔叔家所在位置，然后利用两点间的距离公式可求出左，最后利用

圆心和半径可求出边角的曲线方程；

(2)先求出圆心。关于/：X-尸■lOOOn。的对称点尸，然后求出直线尸C与直线/的交

点，从而可求出所求.

【解答】解：(1)王阿姨负值区域边界的曲线方程为了+72=2002,

李叔叔家在王阿姨家的东偏北45°方向，设李叔叔家所在的位置为(c,c),

因为离M(100,400)和N(400,700)距离相等,

所以d(c-100)2+(c-400)2=Y(c-400)2+(c-700)2,

解得c=400,

所以"={(400-400)2+(400-700)2=30。，

故李叔叔负值区域边界的曲线方程为(x-400)2+(y-400)2=3002；

(2)圆心。关于/：x-y+1000=0的对称点P(a,b),

则有亮4+1000=0，—=-1,

/Na

解得a=-1000,%=1000,

所以k”=

PC-1000-4007

直线PC的方程为：了=2乂侬6，

y77

'__34000

联立.y~~X-t7~,解得x=-300,y=700,

x-y+1000=0

所以王阿姨和李叔叔为交流疫情信息，可选择在地点(-300,700)碰面，距离之和最

近.

【点评】本题主要考查了圆的方程，以及对称点的求法和距离公式的应用，同时考查了

转化的思想和运算求解能力，属于中档题.

19.(2020秋•宝山区校级期末)《九章算术》是古代中国乃至东方的第一部自成体系的数学

专著，书本记载了一种名为“刍薨”的五面体(如图1).其中四边形为矩形，EF

//AB,△及1。和△RBC是三角形，“刍薨”字面意思为茅草屋顶.图2是一栋农村别墅，

为全新的混凝土结构.它由上部屋顶和下部主体两部分组成.如图3,屋顶五面体为“刍

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薨”，其中前后两坡屋面/8EF和CDEF是全等的等腰梯形，左右两坡屋面EAD和FBC

是全等的三角形，点F在平面N8CZ)和8c上射影分别为，，M,已知"0=5米，BC

=10米，梯形/8E厂的面积是△尸8c面积的2.2倍.设NFMH=8(0<

(1)(2)(3)

(1)求屋顶面积S关于。的函数关系式；

(2)已知上部屋顶造价由屋顶面积确定，造价为600元/平方米，下部主体造价由高度

确定，造价为9600元/米.现欲造一栋上、下总高度为6米的别墅，试问：当。为何值时，

总造价最低？

【考点】根据实际问题选择函数类型.

【专题】函数思想；综合法；函数的性质及应用；导数的综合应用；数学运算.

【分析】(1)在中，FM=—5―,从而有SyBC=—22—，而屋顶面积5=2

cos8cos8

(S4FB计S样踞4BEF)，代入相关数据，进行运算即可；

(2)先求得下部主体的高度为6-5tan3再将总造价y表示成关于。的函数，即y=9600

X10-5sine设/(e)=10-55要使总造价最低，则最小，然后

(+6),千"

COS0COS0

利用导数求/(。)的最小值，即可.

【解答】解：(1)在中，FM=——坦——=―—,

cos/FMHCOS0

•••S"BC=iw8C=工X—10=2',

22cos8cos8

「梯形ABEF的面积是△心。面积的2.2倍，即SWABEF=22S^FBC>

二屋顶面积梯影2

S=2(SAFBC+S/BEF)=2X3.2SAFBC=2X3.2X,5=160,

cos9cos9

e€(o,2).

(2)在RtZVT/M中，"=HM・tane=5tan8,

下部主体的高度为6-5tan8,

总造价y=160X600+(6-5tan。)X9600=9600X(_12_+6-5sin9)=9600

cos8cosocos8

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X(10-5sin9+6))

COS0

设/(0)=10-5s—B,要使总造价最低，则/(。)最小，

cos0

yr=-5ccis8，cos8+(10-5sin8)士!!、lOsin8-5

7—rz―rz-，

COSDCOSD

令/(0)=0,则sine=>l,

2

,/ee(o,—A9=2L,

当ee(o,―)时，f(0)<o,f(9)单调递减，当ee(2L,2L)时，/<e)>o,/

664

(0)单调递增，

.•.当8时，y(e)取得最小值，

6

故当8工时，总造价最低.

6

【点评】本题考查函数的实际应用，涉及三角函数模型，以及利用导数解决最值问题，

考查学生的空间立体感、逻辑推理能力和运算能力，属于中档题.

20.(2020•浦东新区三模)直三棱柱中，底面N8C为等腰直角三角形，AB

LAC,AB=AC=2,/a=4,〃是侧棱CG上一点，设MC=h.

(1)若求〃的值；

(2)若人=2,求直线历11与平面Z8A/所成的角.

【考点】直线与平面垂直；直线与平面所成的角.

【专题】数形结合；向量法；空间位置关系与距离；数学运算.

【分析】(1)建立空间坐标系，根据而・1忑=0计算人的值；

(2)求出平面的法向量二，计算cos〈G，函〉,再根据线面角与向量夹角的关

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系得出答案.

【解答】解：（1）以Z为原点，以AC,力小为坐标轴建立空间直角坐标系力-xyz,

则8(2,0,0),A\(0,0,4),C(0,2,0),M(0,2,/?),

02,2,h),~^二(0,2,-4),

若BMLA\C,则而,A]即4-4/?=0,

(2)当〃=2时，M(0,2,2),BM=(-2,2,2),AB=(2,0,0),BA[=2,

0,4),

设平面期/的法向量为苍=(x,y,z),贝电'1=°，即12x=。，

n-BM=0l-2x+2y+2z=0

令z=l可得n=（0，-1，1）.

—n，BAi-4

BA1|n||BA；|&X2•亏

V10

设直线与平面所成的角为。，则sine=|cos<n，BAf尸

~5~

【点评】本题考查了空间向量在立体几何中的应用，属于中档题.

22

21.（2020•松江区二模）如图，已知椭圆心¥+2钎1（2>1：）>0）经过圆乂/+（尹1）

2=4与x轴的两个交点和与y轴正半轴的交点.

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(1)求椭圆〃的方程；

(2)若点尸为椭圆M上的动点，点。为圆N上的动点，求线段P0长的最大值；

(3)若不平行于坐标轴的直线/交椭圆M于/、8两点，交圆N于C、D两点，且满足

AC=DB>求证：线段的中点E在定直线上.

【考点】椭圆的标准方程；直线与椭圆的综合.

【专题】转化思想；设而不求法；圆锥曲线中的最值与范围问题；数学运算.

【分析】(1)由圆N的方程可得x,y轴的交点坐标，再由题意椭圆过圆N与x轴、y轴

正半轴的交点，求出a,6的值，进而求出椭圆的方程；

(2)因为|P0|为|PN|+|AQ=|PN|+2,求出PN的最大值即可，因为N的坐标(0,-1),

设尸的坐标，代入椭圆的方程，由尸的横纵坐标的关系，列出1PM的表达式，求出尸N的

最大值，进而求出P0的最大值；

(3)设直线/的方程，及A,B,C,。的坐标，联立直线与椭圆，与圆的方程，求出两

根之和，及两根之积，因为位=而，可得4,B,C,。的坐标之间的关系，可得的

中点E