一元二次方程 复习课2 【查漏补缺+典例精讲】 九年级数学上册教学课件（人教版）

人教版九年级(上)数学教学课件第21章

一元二次方程专题02复习课2情境导入探究新知当堂训练典例精讲知识归纳根的判别式的应用01根与系数的关系02新定义与阅读理解03知识要点精讲精练【例1-1】已知方程x2+2x-m+1=0没有实根,

求证：方程x2+mx=1-2m一定有两个不相等的实根．知识点一典例精讲根的判别式的应用方程x2+mx=1-2m一定有两个不相等的实根。解：∵方程x2+2x-m+1=0没有实根，∴Δ=22-4(-m+1)＜0,得m＜0.∵方程x2+mx=1-2m可化为x2+mx+2m-1=0.∴Δ=m2-8m+4.∵m＜0.m2＞0,得-8m＞0,从而Δ=m2-8m+4＞0.1.关于x的方程(m+1)x2-4mx+4m-2=0有两个实数根,求m的取值范围。知识点一针对训练根的判别式的应用解：依题意,得Δ=(-4m)2-4(m+1)(4m-2)≥0.且m+1≠0.解得m≤1且m≠-1.知识点一针对训练根的判别式的应用2.已知方程2(m+1)x2+4mx+3m=2有两个不相等的实数根,求m的取值范围．解：依题意，得∴-2＜m＜1且m≠-1【例1-2】已知关于x的方程(k-1)x2+(2k-3)x+k+1=0有两个不相等的实数根.(1)求k的取值范围；(2)如果k是符合条件的最大整数,且一元二次方程x2-4x+k=0与x2+mx-1=0有一个相同的根,求此时m的值.知识点一典例精讲根的判别式的应用解：(1)依题意,得(2)∵k是符合条件的最大整数,k＜13/12且k≠1.∴k=0.x2-4x=0.解得x=0或4.当x=0时,x2+mx-1=0,无意义；当x=4时,42+4m-1=0.m=-15/4.∴所求的m的值为-15/4.解法二：原方程可化为：x2-2mx-(3m-2)(m-2)=0.知识点一针对训练根的判别式的应用3.已知关于x的一元二次方程-2mx-3㎡+8m-4=0的两个实数根中,一个小于5,另一个大于2,求m的取值范围．解法一：Δ=(-2m)-4(-3㎡+8m-4)=4㎡+12㎡-32m+16=16(m-1)≥0.x1=3m-2,x2=2-m.依题意,得解得m＜0或m＞4/3∴m＜0或m＞4/3∴x1=3m-2,x2=2-m.[x-(3m-2)][x+(m-2)]=0.x-(3m+2)=0或x+(m-2)=0.知识点一针对训练根的判别式的应用4.已知方程|x2+ax|=4只有3个不相等的实数根,求a的值和相应的3个根，解：∵|x2+ax|=4∴x2+ax-4=0……①或x2+ax+4=0……②∴方程①②的两个根不可能完全相同,∵原方程有3个不相等的实数根,∴方程①②中有一个方程有两个相等的实数根，∵Δ1=a2+16＞0.∴Δ2=a2-16=0∴a=±4.当a=4时,原方程为x2+4x-4=0或x2+4x+4=0.相应的根为当a=-4时,原方程为x2-4x-4=0或x2-4x+4=0.相应的根为综上所述,当a=4时,相应的三个根为知识点一典例精讲根的判别式的应用【例1-3】求函数的最大值，解：将原函数转化成关于工的一元二次方程,得(y-2)x2+(y-3)x+0.25y=0.①当y≠2时,∵x为实数.∴Δ=(y-3)2-4(y-2)·0.25y=-4y+9≥0∴y≤9/4且y≠2.②当y=2时,代入(y-2)x2+(y-3)x+0.25y=0.得-x+0.5=0.方程有解(即x的值存在).y≤9/4,因此y的最大值为9/4.知识点一针对训练根的判别式的应用5.求函数的最小值，解：将原函数转化成关于成关于x的一元二次方程,得(y-3)x2+(2y+2)x+y-1=0.当y≠3时,∵x为实数,∴Δ=(2y+2)2-4(y-3)(y-1)=24y-8≥0.∴y≥1/3且y≠3.当y=3时,代入(y-3)x2+(2y+2)x+y-1=0.得8x+2=0.方程有解(即x的值存在).∴y≥1/3,所以y的最小值为1/3知识点一针对训练根的判别式的应用6.已知关于x的一元二次方程x2-x+1/4m=0的一个实数根为b,若y=4b2-4b-3m+3,求y的取值范围.解：∵Δ=1-m≥0,∴m＜1,∵b是方程的一个实数根，∴b2-b+1/4m=0.∴4b2-4b=-m.∴y=4b2-4b-3m+3=3-4m.∴y可看作是m的一次函数,且m≤1,∴y=3-4m≥3-4×1=-1.即y≥-1.7.满足(x-3)2+(y-3)2=6的所有实数对(x,y)中,y/x的最大值是多少？知识点一针对训练根的判别式的应用解：设y=kx,把y=kx代入(x-3)2+(y-3)2=6得(x-3)2+(kx-3)2=6整理,得(1+k2)x2-6(k＋1)x+12=0．∴Δ=36(k+1)2-4×12×(1+k2)=-12(k2-6k+1)≥0.(k-3)2-8≤0.∴k2-6k+1≤0.根的判别式的应用01根与系数的关系02新定义与阅读理解03知识要点精讲精练【例2-1】已知关于x的一元二次方程x2＋kx-6＝0的一个根是2,求方程的另一个根及k的值．知识点二典例精讲根与系数的关系解法一：把x=2代入原方程得22＋2k-6＝0,解得k＝1.∴k＝1,方程的另一个根是-3.∴x2＋x-6＝0解得：x1＝2.x2=-3解法二：设原方程的另一个很为x2，1.已知关于x的方程己x2-kx+6＝0的两根比为2：3,求k的值.知识点二针对训练根与系数的关系又当k＝±5时,均符合Δ＞0,所以人的值为±5.解：设原方程的两根分别为2t.3t，解得k＝±5．2.已知关于x的一元二次方程8x2-(m-1)x+m-7＝0．(1)当m为何值时,方程有一根为零?(2)当m为何值时,方程的两个根互为相反数?(3)是否存在m,使方程的两个根互为例数?若存在,请求出m的值；若不存在,说明理由.知识点二针对训练根与系数的关系解：(1)将x=0代入原方程,得m-7=0,解得m=7；(2)设方程的两个很分别为x1,x2,依题意,得解得m=1.∵m=1时,原方程为8x2-6=0,方程有实数根，∴当m=1时,方程的两个根互为相反数(3)假设存在,设方程的两个根分别为x1,x2.依题意,得解得m=15.当m=15时,原方程为8x2-14x＋8=0,Δ＜0．∴不存在m的值,使方程的两个很互为倒数.∵方程没有实数根,知识点二典例精讲根与系数的关系【例2-2】已知x1,x2是一元二次方程(a-6)x2+2ax+a=0的两个实数根.(1)求实数a的取值范围；(2)若x1,x2满足x1x2-x1=4+x2,求实数a的值.解：(1)依题意,得解得：a≥0且a≠6；(2)由题意,得解得：a=24；3.已知关于x的一元二次方程(x-3)(x-2)=p(p+1)(p为实数)(1)求证：不论p取何值,此方程总有两个实数根；(2)若原方程的两根x1,x2满足x12+x22-x1x2=3p2+1,求p的值.知识点二针对训练根与系数的关系(1)证明：原方程可化为x2-5x+6-p2-p=0.Δ=(-5)2-4(6-p2-p)=(2p+1)2≥0∴不论P取何值,此方程总有两个实数根；(2)解：由根与系数的关系,得：x1+x2=5,x1x2=6-p2-p∵x12+x22-x1x2=3p+1,∴(x1+x2)2-3x1x2=3p+1,∴52-3(6-p2-p)=3p+1,解得：p=-2.4.已知关于x的一元二次方程x2-4x+m=0．(1)若方程有两个实数根,求的范围；(2)若方程的两个实数根为x1,x2,且x12-5x1-x2+mx1x2=16,求m的值.知识点二针对训练根与系数的关系【解】(1)由题意,得：Δ=(-4)2-4m≥0．解得：m≤4.(2)由题意,得：x12-4x1=-m,x1+x2=4,x1x2=m.∵x12-5x1-x2+mx1x2=16,∴x12-4x1-(x1+x2)+mx1x2=16,即：-m-4+m2=16.解得：m=5或m=-4.∵m≤4,∴m=-4,【例2-3】已知关于x的一元二次方程x2-(2k-3)x+k2+1=0有两个不相等的实数根x1,x2.(1)求k的取值范围；(2)求证：x1＜0,x2＜0；(3)若x1x2-|x1|-|x2|=6,求k的值．知识点二典例精讲根与系数的关系(1)解：由题意,得：Δ＝[-(2k-3)2]2-4(k2+1)＞0．(2)证明：∵k＜5/12,解得k＜5/12.∴x1+x2=2k-3＜2×5/12-3=-13/6＜0.∵k2≥0,∴k2+1＞0,即：x1x2=k2+1＞0,∴x1＜0,x2＜0.(3)解：∵x1x2-|x1|-|x2|=6,且x1＜0,x2＜0．∴x1x2+(x1+x2)=6.即k2+1+2k-3=6.∴k的值为-4.解得k1=-4,k2=2(不合题意,舍去).知识点二针对训练根与系数的关系5.已知关于x的一元二次方程x2+2x-m2-m=0(m＞0).(1)求证：这个方程有两个不相等的实数根；(2)求证：这个方程的两个实根中,一个根比-2大,另一个根比-2小；(1)证明：由题意得：Δ=2-4(-m2-m)=4m2+4m+4＞0．∴这个方程总有两个不相等的实数根；∵m＞0.(2)证明：设原方程的两根为x1,x2.则x1+x2＝-2,x1x2＝-m2-m.∵(x1+2)(x2+2)=x1x2+2(x1+x2)+4=-m2-m+2×(-2)+4=-m2-m=-m(m+1).∵m＞0,∴-m(m+1)＜0.∴(x1+2)(x2+2)＜0．∴一个根比-2大，另一个根比-2小；知识点二针对训练根与系数的关系5.已知关于x的一元二次方程x2+2x-m2-m=0(m＞0).(3)若对于m=1,2,3,…,2019,相应的一元二次方程的两个根分别记为α1，β1,α2,β2,…,α2019,β2019,求的值.(3)解：依题意,得x2+2x-m(m+1)=0且m=1,2,3,…,2019.∴α1+β1=-2,α1β1；α2+β2=-2,α2β2=-2×3；…；a2019+β2019=-2,a2019β2019=-2018×2019.【例2-4】已知x1和x2是方程x2+2x+k-5=0的两个根,求x12+x22的最小值.知识点二典例精讲根与系数的关系解：依题意,得Δ=22-4(k-5)≥0．解得k≤6．∵x1+x3=-2,x1x2=k-5.∴x12+x22=(x1+x2)2-2x1x2=4-2(k-5)=14-2k.∴当k=6时,x12+x22的最小值为14-2×6=2.知识点二针对训练根与系数的关系6.关于x的一元二次方程x2-(2k+1)x+k+1=0有两个不相等的实根x1和x2.(1)若,求k的值；(2)求m=(x12-1)(x22-1)+2k2+2k的最大值．解：(1)∵x1+x2=2k+1,x1x2=k+1.即：8k2-k-7=0,解得k1=-7/8,k2=1(2)x1+x2=2k+1.x1x2=k+1.∴m=(x12-1)(x22-1)+2k2+2k=(x1x2)2-(x1+x2)2+2x1x2+1+2k2+2k=(k+1)2-(2k+1)2+2(k+1)+1+2k2+2k=-k2+2k+3=-(k-1)2+4.∴k=-1时,m有最大值为4.知识点二针对训练根与系数的关系7.关于x的方程x2+2(m-2)x+m2-3m+3=0有两个不相等的实数根x1x2.且m≥-1.若,求T的取值范围.解：依题意,得Δ=[2(m-2)]2-4(m2-3m+3)=-4m＋4＞0.∴m＜1∵m≥-1,∴-1≤m＜1.∵x+x=-2(m-2)=4-2m,x1x2=m2-3m+3.∵-1≤m＜1且m≠0,∴-2＜-2m≤2且m≠0,∴0＜2-2m≤4且m≠0,∴0＜T≤4且m≠0,知识点二典例精讲根与系数的关系【例1-5】已知实数m,n满足3m2+6m-5=0,3n2+6n-5=0.解：①若m≠n,设m,n是方程3x2+6x-5=0的两根,∴m+n=-2,mn=-5/3②8.已知关于x的方程(m2-1)x2-3(3m-1)x+18=0有两个正整数根(m是正整数),且a,b满足满㎡＋am-8a＝0．㎡＋bm-85＝0．（1）求m的值：（2）R／＋／的值．【解】（1）依题意．得Δ＝（9m-3）-72（㎡＇-1）＝9（m-3）＇≥0．4㎡-1＝1或2或3或6或9或18．又m为正整数，．m＝2：（2）把m＝2代入两等式，化简得a2-4a＋2＝0.6-46＋2＝0．/6+2/9-+09=09＝2；当a≠b时．a．b是方程P-4x＋2＝0的两根，又Δ＞0．a+b=4>0.ab=2>0.8+/=(a+6}-20b=4-2x2=结上所达，2／2＋2／号的值为2元6．知识点二针对训练根与系数的关系9.已知实数p．q满足p＝3p＋2与2q＝3q＋1．且p≠2q．求p＋4q的值．【解】设1＝29．则q＝1／2：代入2㎡＝3g＋1．得2（／2）＝3x1／2＋1，化简，＃／＝3t＋2．财p与A即2g）为方程亡＝3x＋2即2-3r-2＝0的两实数根．+p+2q=3.p-2q=-2.=p+4q=(p+2q)'-2p-2q=3'-2x(-2)=13.知识点二针对训练根与系数的关系10.实数a．b，c请足a＋b＋c＝2．ab＋bc＋ca＝1．求正：0≤a≤4／3.0≤b≤4／3.0≤c≤4／3【解】＂a＋b＋c＝2．a＋b＝2-c．Vab+br+ca=1.÷ab=1-bc-ca=1-c(a+b)=1-c(2-c)=(c-1).．a．b可以看作是关于1的一元二次方程户-（2-c）t＋（c-1）＇＝0的两个实数根．Wc为实数，心上述关于1的方程有实数根。4Δ＝（2-0＇＋4（-1＇≥0.732-4（＜0．c（3c-4）≤0．解得0≤≤4／3九、与一元二次方程相关的新定义和阅读理解知识点二针对训练根与系数的关系根的判别式的应用01根与系数的关系02新定义与阅读理解03知识要点精讲精练【例1】定义：若两个一元二次方程有一个相同的实数根，则称这两个方程为“友好方程”，已知关于x的一元二次方程-2x＝0与＋3r＋m-1＝0为“友好方程”．求m的值．【分析】先解得第一个方程，然后利用友好方程的定义，将所得的解代人第二个方程可得m的值.【解】由x-2x＝0．得x＝0或1＝2．依题意，得2＋3x2＋m-1＝0或0＋3x0＋m-1＝0．＝解得m＝-9或m＝1．六m的值为-9或1．知识点三典例精讲新定义与阅读理解1.已知关于x的方程己＋ax＋b＝0（b≠0）与2＋cx＋d＝0都有实数根，若这两个方程有且只有一个公共根．且ab＝cd．则称它们互为“同根轮换方程”。如-1-6＝0与2-2r-3＝0互为“同根轮换方程”，若关于r的方程＋4r＋m＝0与r-6r＋n＝0互为“同根轮换方程”，求m的值．【解】“方程亡＋4x＋m＝0与x-6x＋n＝0互力“同根轮换方程＂．．．4m＝-6n．设1是公共根，则有户＋44＋m＝0.2-6t＋n＝0．两式相减，将10k＋m-n＝0．＃t＝＂＝㎡．v4m＝-6n．dn＝-2／3m．代入上式，得t＝-／弄将1＝-1／6代入第一个方程，符（-π）＋4（-2π／6）＋m＝0.7㎡＋12m＝0．解得m＝-12或m＝0（不合题意，含去）．：m＝-12．知识点三针对训练新定义与阅读理解2.规定：如果关于x的一元二次方程ar＋br＋c＝0（a≠0）有两个实数根，且其中一个根是另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”．（1）解方程子＋2r-8＝0，并判断是否是“倍根方程”；（2）若关于x的方程＋ax＋2＝0是倍根方程，求a的值；（3）若关于x的方程ar-6ax＋c＝0（a≠0）是“倍根方程”，求a和c的关系．【解】（1）原方程可化为（x＋4）（x-2）＝0．解得x＝-4或2．“原方程不是“倍根方程”；（2）：原方程是“倍根方程”．．．可设方程的两根分别为m．2m．则 m·2m=2. 解得a＝±3；m+2m=-a.n+2n=6,（3）设该方程的两根分别为n．2n．则 解得n＝2．／＝8．＾c＝8a．n-2n=/5.知识点三针对训练新定义与阅读理解3.观察下列一组方程：①-x＝0；②r-3x＋2＝0；③2-5x＋6＝0；④r-7x＋12＝0；·它们的根有一定的规律：两根均为两个连续的自然数，我们称这类一元二次方程为“连根一元二次方程”.（1）若＋kk＋56＝0也是“连根一元二次方程”，写出k的值，并解这个一元二次方程；（2）请写出第n个方程和它的根．【解】（1）k＝-15．则原方程为2-15x＋56＝0．则（x-7）（x-8）＝0，解得x＝7．x3＝8；（2）第n个方程为：-（2n-1）x＋n（n-1）＝0，（x-n）（x-n＋1）＝0．解得x＝n-1，x；＝n．知识点三针对训练新定义与阅读理解【例2】对于一元二次方程ar＋bx＋c＝0（a≠0）的两根为x1，x2，根据一元二次方程的解的概念知：ar＋bx＋c＝a（x-x，）（x-x；）＝0．即ar＋bx＋c＝a（x-x1）（x-x2）．这样，就可以利用这个结论在实数范围内分解因式.例：分解因式2r＋2r-1．［解：：22＋2r-1＝0的根为xu＝＝1±V3，%2r+2x+1=2(x- =1+V1)(x-=1-V3)=2(x-V3-1)(x+V3+1).试仿照上例，在实数范围内分解因式3r-5x＋1．【分析】用求根公式求方程32-5x＋1＝0的根，再仿照阅读材料中的例题进行分解因式．【解】：32-5x＋1＝0的根为xi3＝5±V13．3r2-5x+1=3(x- 5+v13)(x-5-V13).知识点三典例精讲新定义与阅读理解4.阅读下列例题的解题过程：解方程子-｜x｜-2＝0．解：分两种情况讨论：①当x≥0时，原方程为-x-2＝0．解得x＝2．x3＝-1（不合题意，含去）：②当x＜0时，原方程为＋x-2＝0．解得x1＝-2．x3＝1（不合题意，含去）。综上所述，原方程的根为x1＝2．r，＝-