解一元二次方程（公式法）（教学设计）-九年级数学上册同步备课系列

21.2.2解一元二次方程（公式法）教学设计一、内容和内容解析1.内容本节课是人教版《义务教育教科书•数学》九年级上册（以下统称“教材”）第二十一章“一元二次方程”21.2.2公式法第1课时，内容包括：利用公式法解一元二次方程。2.内容解析公式法是在前面学的配方法的基础上学习的，对于任意的一元二次方程，只要将方程化为一般形式，代入一元二次方程的求根公式即可求解，它是所有一元二次方程的通用解法，它为进一步学习一元二次方程的简单应用起到铺垫作用。基于以上分析，确定本节课的教学重点为：熟练使用公式法求解一元二次方程。二、目标和目标解析1.目标（1）会用公式法解一元二次方程。（2）理解用根的判别式判别根的情况。（3）通过推导求根公式的过程，加强推理能力的训练，进一步发展逻辑思维能力，体验类比、转化、降次的数学思想。2.目标解析本节课我们利用配方法求解一元二次方程：ax2+bx+c=0(a≠0)，经历推导的过程，使学生理解当一元二次方程中b2－4ac的结果不同，根的情况不同。进一步得出当Δ≥0时，方程ax2+bx+c=0(a≠0）的实数根为x=−用公式法解一元二次方程的关键是先将方程化为一般形式，然后将a、b、c的值代入求根公式计算即可。对于一元二次方程，公式法是解法中的通法，它的推导建立在配方法的基础上。通过配方法推导一元二次方程求根公式的过程，进一步让学生体会解一元二次方程时降次的基本策略和转化思想。达成1）目标的标志是：熟练运用公式法解一元二次方程。达成2）目标的标志是：利用根的判别式判别根的情况，进而通过根的情况计算方程中未知数的值或取值范围。达成3）目标的标志是：过配方法推导一元二次方程求根公式的过程，体会了可以把一些问题转化为已经掌握的知识、方法来解决问题的思想方法。三、教学问题诊断分析在推导一元二次方程求根公式过程中，先由具体方程变成抽象的方程引导学生从配方法入手，注意强调被开方数一定是非负数。在(x+b2a)2=b2−4ac4a2中，因为a≠0，所以4a2>0，式子b2－4ac的值需分以下三种情况进行讨论：①b2－4ac＞0②b2－4ac=0,③b2－4ac<0，从而得出当【注意】a、b、c的值代入求根公式时易遗漏前面的符号。基于以上分析，确定本节课的教学难点为：1）正确推导出一元二次方程的求根公式。2）理解b2－4ac对一元二次方程根的影响。四、教学过程设计（一）复习旧知，引入新课【提问】简述通过配方法解一元二次方程的步骤。师生活动：师生共同回顾配方法解一元二次方程的步骤，从而引出本节课所学内容。【设计意图】先回顾配方法解一元二次方程的步骤，为本节课的学习利用配方法推导一元二次方程求根公式做好铺垫。（二）探究新知【问题】用配方法解一元二次方程：ax2+bx+c=0(a≠0)？师生活动：学生积极思考，教师板演。根据化简后的结果，教师需提醒学生：因为a≠0，所以4a2>0，式子b2－4ac的值需分情况讨论：(x+b2a)2=b1）若b2－4ac＞0，则b2−4ac4a2方程有两个不相等的实数根x12）若b2－4ac=0，则b2−4ac4a方程有两个相等的实数根x1=x2=﹣b2a3）若b2－4ac＜0，则b2而x取任何实数都不能使x+由此可知，一般地，式子b2－4ac叫做一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）根的判别式。通常用希腊字母“Δ”表示，即Δ=b2－4ac.[总结]由前面的推导过程，可知：1）若△＞0，一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）有两个不相等的实根。2）若△=0，一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）有两个相等的实根。3）若△＜0，一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）无实根。【设计意图】通过教师板演配方法解一元二次方程:ax2+bx+c=0的过程，学生再次巩固配方法求解一元二次方程的方法，引导学生回顾已有的知识，主动参与到本节课的学习中来。再通过分情况讨论，让学生理解如何通过根的判别式判别根的情况的方法。通过总结环节，引起学生的探究欲望和学习兴趣，激发学生的学习热情。师生活动：经过前面的推导过程，教师归纳与小结一元二次方程求根公式与公式法的概念：当Δ≥0时，方程ax2+bx+c=0(a≠0)的实数根为x=−b±b2−解一元二次方程时，把各系数直接代入求根公式，可以省略配方过程而直接求一元二次方程根，这种解一元二次方程的方法叫做公式法。【设计意图】学生通过观察配方法解一元二次方程:ax2+bx+c=0的过程，让学生理解一元二次方程求根公式是如何推导而得出的，从而理解利用公式法求解一元二次方程的方法。（三）典例分析例11）x2-4x-7=02）2x2-22x+1=03)5x2-3x=x+14)x2+17=8x师生活动：请学生板演，然后师生共同纠错，使学生明确自己的错误与薄弱环节，在后续的解题过程中做到有的放矢，对症下药。【设计意图】让学生加深对公式法求解一元二次方程方法的掌握。（四）知识归纳【提问】简述通过公式法解一元二次方程的步骤。1）将原方程化为一般形式，确定a、b、c的值【小技巧】若系数是分数通常将其化为整数，方便计算。2）求出b2-4ac的值，根据b2-4ac值的情况确定一元二次方程是否有解。3）如果b2-4ac≥0,将a、b、c的值代入求根公式。【易错点】a、b、c的值代入求根公式时易遗漏前面的符号。4）最后求出原方程的解。【设计意图】教师引导学生归纳公式法解一元二次方程的步骤及注意事项。使学生巩固对课堂知识的理解和掌握，同时需重点强调：a、b、c的值代入求根公式时易遗漏前面的符号。（五）典例分析例2一元二次方程4x2−2x−1=0A．没有实数根 B．只有一个实数根C．有两个相等的实数根 D．有两个不相等的实数根答案：∵△＝（-2）2-4×（-1）×4＝4+16=20＞0∴一元二次方程4x故答案为D．例3求本章引言中的问题，雕像下部高度x(m)满足方程x2+2x-4=0答案：解：用公式法解方程得x=即x如果结果保留小数点后两位，那么x1≈1.24，x2≈－3.24（舍）所以雕像下部高度应设计为约1.24m【针对训练】1．x=−7±A．2x2+7x+3=0C．2x2+7x−3=02下列一元二次方程中，有两个不相等实数根的是（）A．x2+6x+9=0 B．x2=x C．x2+3=2x D．（x﹣1）2+1=03．下列一元二次方程中，没有实数根的是（

）．A．x2−2x=0 C．3x2−5x+2=04一元二次方程mx2+mx﹣12A．0 B．0或﹣2 C．﹣2 D．2答案：1.C2.B3.D4.C【能力提升】1.关于x的一元二次方程x2−mx+2m−4=0．（1）求证：方程总有两个实数根；（2）若方程有一个根小于1，求m的取值范围．[解析]1)∵a=1,b=−m,c=2m−4，∴△=∵无论m取何值时，(m−4)2（2）解：∵△=(m−4)2≥0∴x∵此方程有一个根小于1，且x2=2≥1．∴m<3．2.关于x的方程x2−2x+2m−1=0有实数根，且m为正整数，求m的值及此时方程的根．[解析]解：∵关于x的方程x2-2x+2m-1=0有实数根，∴b2-4ac=4-4（2m-1）≥0，解得：m≤1，∵m为正整数，∴m=1，∴此时二次方程为：x2-2x+1=0，则（x-1）2=0，解得：x1=x2=1．师生活动：学生思考，独立完成，教师借助多媒体展示具体求解过程。【设计意图】通过配套练习，使学生加强对利用判别式判断根的情况、求根公式等问题的理解和解决方法。把研究的对象从具体数字抽象到字母表示的数字，体现从特殊到一般，从具体到抽象的思维过程，巩固对公式法的认识。（五）直击中考1．(2020临沂市中考)一元二次方程x2−4x−8=0A．x1=−2+23，x2=−2−2C．x1=2+22，x2=2−2答案：B2．(2022成都市中考）若一个直角三角形两条直角边的长分别是一元二次方程x2−6x+4=0【详解】解：∵一个直角三角形两条直角边的长分别是一元二次方程x2−6x+4=0的两个实数根，∴由公式法解一元二次方程x2−6x+4=0可得∴根据勾股定理可得直角三角形斜边的长是(3+5故答案为：273．（2022·四川巴中·统考中考真题）对于实数a，b定义新运算：a※b=ab2−b，若关于x的方程1※A．k>−14 B．k<−14 C．k>−14且k≠0 [解析]解：∵1※x=k，∴x2−x=k，即x∵关于x的方程1※x=k有两个不相等的实数根，∴解得：k＞−14，故【设计意图】通过对最近几年的中考试题的