2019版数学复习第三章三角函数3.2三角函数的图象和性质讲义

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精PAGE18学必求其心得，业必贵于专精PAGE§3.2三角函数的图象和性质考纲解读考点内容解读要求五年高考统计常考题型预测热度201320142015201620171。三角函数的图象及其变换1。由图象求参数2.由表达式确定图象B填空题解答题★★☆2.三角函数的性质及其应用1.判断三角函数的性质2.由性质求相关参数B填空题解答题★★☆分析解读三角函数的图象与性质是研究三角函数的基础，也是江苏高考的热点，考查重点在以下几个方面：函数解析式、函数图象及图象变换、两域（定义域、值域)、四性（单调性、奇偶性、对称性、周期性）。五年高考考点一三角函数的图象及其变换1.（2017课标全国Ⅰ理改编，9，5分）已知曲线C1:y=cosx，C2：y=sin，则下面结论正确的是。

①把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C2;②把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度,得到曲线C2;③把C1上各点的横坐标缩短到原来的,纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C2；④把C1上各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变,再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线C2.答案④2。（2016课标全国Ⅰ改编,6，5分）将函数y=2sin的图象向右平移个周期后,所得图象对应的函数为.

答案y=2sin3。(2016四川理改编，3，5分)为了得到函数y=sin的图象,只需把函数y=sin2x的图象上所有的点向平移个单位长度.

答案右；4.(2016课标全国Ⅲ，14,5分)函数y=sinx—cosx的图象可由函数y=2sinx的图象至少向右平移个单位长度得到.

答案5。(2015湖南改编,9，5分）将函数f(x）=sin2x的图象向右平移φ个单位后得到函数g(x)的图象。若对满足｜f(x1)-g(x2)|=2的x1,x2，有|x1-x2｜min=,则φ=。

答案6.（2014辽宁改编，9,5分)将函数y=3sin的图象向右平移个单位长度，所得图象对应的函数在区间上单调递增.

答案(k∈Z）7.（2013湖北理改编,4，5分）将函数y=cosx+sinx(x∈R)的图象向左平移m(m〉0)个单位长度后，所得到的图象关于y轴对称，则m的最小值是。

答案教师用书专用（8-9)8。(2015湖北，17，11分)某同学用“五点法”画函数f（x)=Asin(ωx+φ）在某一个周期内的图象时,列表并填入了部分数据，如下表：ωx+φ0π2πxAsin（ωx+φ)05-50（1)请将上表数据补充完整,并直接写出函数f（x）的解析式;(2)将y=f(x)图象上所有点向左平行移动θ(θ>0)个单位长度,得到y=g（x)的图象.若y=g(x)图象的一个对称中心为,求θ的最小值.解析(1）根据表中已知数据,解得A=5，ω=2,φ=-.数据补全如下表:ωx+φ0π2πxπAsin(ωx+φ）050—50且函数表达式为f（x)=5sin。（2)由（1)知f(x)=5sin，得g(x)=5sin.因为y=sinx的对称中心为(kπ,0)，k∈Z。所以令2x+2θ-=kπ，k∈Z,解得x=+—θ，k∈Z。由于函数y=g(x）的图象关于点中心对称，所以令+—θ=,k∈Z，解得θ=-，k∈Z。由θ>0可知，当k=1时,θ取得最小值.9.(2013福建理，20，14分）已知函数f（x）=sin(ωx+φ)（ω>0，0<φ<π)的周期为π,图象的一个对称中心为.将函数f（x)图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再将所得到的图象向右平移个单位长度后得到函数g（x)的图象。（1）求函数f(x）与g（x）的解析式；(2)是否存在x0∈,使得f(x0），g（x0)，f(x0)g(x0）按照某种顺序成等差数列?若存在,请确定x0的个数；若不存在，说明理由;（3)求实数a与正整数n,使得F(x)=f(x)+ag（x)在(0,nπ）内恰有2013个零点.解析(1）由函数f(x）=sin(ωx+φ）的周期为π,ω>0,得ω==2。又曲线y=f（x)的一个对称中心为,φ∈（0，π)，故f=sin=0,得φ=,所以f（x)=cos2x。将函数f（x)图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变)后可得到y=cosx的图象，再将y=cosx的图象向右平移个单位长度后得到函数g（x)=cos的图象，所以g（x)=sinx。（2)当x∈时，<sinx<,0<cos2x〈,所以sinx>cos2x>sinxcos2x.问题转化为方程2cos2x=sinx+sinxcos2x在内是否有解.设G（x)=sinx+sinxcos2x—2cos2x,x∈，则G'(x）=cosx+cosxcos2x+2sin2x（2-sinx）。因为x∈，所以G'（x)>0,G（x）在内单调递增.又G=-〈0,G=〉0，且函数G（x）的图象连续不断,故可知函数G(x)在内存在唯一零点x0，即存在唯一的x0∈满足题意。(3）依题意得，F(x）=asinx+cos2x，令F（x)=asinx+cos2x=0.当sinx=0,即x=kπ（k∈Z)时，cos2x=1,从而x=kπ（k∈Z）不是方程F（x）=0的解,所以方程F(x)=0等价于关于x的方程a=—，x≠kπ(k∈Z)。现研究x∈（0，π）∪（π,2π）时方程a=—的解的情况.令h(x)=-，x∈（0,π)∪（π，2π),则问题转化为研究直线y=a与曲线y=h(x)，x∈（0，π）∪(π，2π)的交点情况.h'（x）=，令h'(x）=0，得x=或x=.当x变化时,h'(x),h（x）的变化情况如下表:xh'（x)+0——0+h（x)↗1↘↘—1↗当x>0且x趋近于0时，h（x)趋向于-∞，当x〈π且x趋近于π时,h（x）趋向于—∞,当x>π且x趋近于π时,h（x)趋向于+∞，当x<2π且x趋近于2π时，h（x)趋向于+∞。故当a〉1时,直线y=a与曲线y=h（x）在(0,π)内无交点，在（π，2π)内有2个交点；当a<-1时,直线y=a与曲线y=h(x)在（0,π）内有2个交点,在（π,2π)内无交点;当—1〈a〈1时,直线y=a与曲线y=h(x）在(0,π)内有2个交点,在（π,2π）内有2个交点。由函数h（x)的周期性,可知当a≠±1时,直线y=a与曲线y=h(x)在（0,nπ）内总有偶数个交点,从而不存在正整数n，使得直线y=a与曲线y=h(x）在(0,nπ)内恰有2013个交点；又当a=1或a=—1时,直线y=a与曲线y=h(x)在（0,π)∪(π，2π)内有3个交点，由周期性，2013=3×671,所以依题意得n=671×2=1342.综上,当a=1，n=1342或a=—1，n=1342时，函数F（x)=f(x）+ag(x）在（0，nπ）内恰有2013个零点.考点二三角函数的性质及其应用1。（2017课标全国Ⅲ文改编,6，5分)函数f(x)=sin+cos的最大值为。

答案2。（2016课标全国Ⅱ理改编,7，5分)若将函数y=2sin2x的图象向左平移个单位长度,则平移后图象的对称轴为。

答案x=+(k∈Z）3.(2015浙江,11,6分）函数f（x）=sin2x+sinxcosx+1的最小正周期是，单调递减区间是。

答案π;（k∈Z）4。(2014安徽改编，6,5分）设函数f(x)（x∈R)满足f(x+π）=f（x)+sinx.当0≤x〈π时，f(x）=0,则f=.

答案5.（2015山东,16,12分)设f(x)=sinxcosx—cos2.（1）求f（x)的单调区间;（2）在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a,b，c。若f=0,a=1，求△ABC面积的最大值.解析（1）由题意知f(x）=-=—=sin2x-。由-+2kπ≤2x≤+2kπ，k∈Z,可得—+kπ≤x≤+kπ，k∈Z;由+2kπ≤2x≤+2kπ，k∈Z，可得+kπ≤x≤+kπ,k∈Z.所以f(x）的单调递增区间是(k∈Z）;单调递减区间是(k∈Z）。（2）由f=sinA-=0，得sinA=,由题意知A为锐角,所以cosA=.由余弦定理可得1+bc=b2+c2≥2bc，即bc≤2+,且当b=c时等号成立.因此bcsinA≤.所以△ABC面积的最大值为.教师用书专用（6）6.(2013湖南理,17，12分）已知函数f（x）=sin+cos,g(x）=2sin2.(1）若α是第一象限角,且f（α）=,求g(α）的值;(2)求使f（x)≥g(x）成立的x的取值集合.解析f(x）=sin+cos=sinx—cosx+cosx+sinx=sinx,g（x）=2sin2=1-cosx。(1）由f（α）=得sinα=。又α是第一象限角,所以cosα〉0。从而g(α）=1-cosα=1-=1—=.（2)f(x)≥g（x）等价于sinx≥1—cosx，即sinx+cosx≥1。于是sin≥。从而2kπ+≤x+≤2kπ+，k∈Z,即2kπ≤x≤2kπ+，k∈Z.故使f（x)≥g（x)成立的x的取值集合为x2kπ≤x≤2kπ+,k∈Z。三年模拟A组2016—2018年模拟·基础题组考点一三角函数的图象及其变换1。(2018江苏天一中学调研)将函数y=5sin的图象向左平移φ个单位后,所得函数图象关于直线x=对称，则φ=.

答案2。（苏教必4,二，3，变式)函数y=sinx的图象和y=的图象交点的个数是。

答案33。(苏教必4，二,3,变式）定义在区间上的函数y=6cosx的图象与y=5tanx的图象的交点为P,过点P作PP1⊥x轴于点P1，直线PP1与y=sinx的图象交于点P2,则线段P1P2的长为。

答案4.（2017江苏南京、盐城一模,9)将函数y=3sin的图象向右平移φ个单位后，所得图象对应的函数为偶函数，则φ=。

答案考点二三角函数的性质及其应用5。（2018江苏徐州铜山中学期中）函数f（x）=2sin的最小正周期为。

答案66。（2018江苏南通中学高三阶段练习)已知函数y=cosx与y=sin(2x+φ)(0≤φ〈π）的图象有一个横坐标为的交点，则φ的值是。

答案7.(2018江苏常熟期中)函数y=sin（2x+φ)图象的一条对称轴是x=，则φ的值是。

答案8。（2017江苏南京学情检测，4)若函数f（x）=sin（ω〉0)的最小正周期为π,则f的值是.

答案9。(2017江苏南通中学高三上学期期中，7）函数y=2sin的图象与y轴最近的对称轴方程是.

答案x=—10.（苏教必4,二，3,变式)已知函数f（x)=sin(x∈R），下面结论错误的是.(只填序号)

①函数f（x）的最小正周期为2π;②函数f（x）在区间上是增函数；③函数f（x)的图象关于直线x=0对称；④函数f（x)是奇函数。答案④11。(2016江苏如东期中，9）函数f(x）=sinx-cosx(—π≤x≤0)的单调增区间是.

答案B组2016—2018年模拟·提升题组（满分:35分时间：20分钟）一、填空题(每小题5分，共20分)1.（2018江苏常熟期中)已知函数f（x）=sin,若对任意的实数α∈,都存在实数β∈[0,m］，使f(α)+f（β）=0,则实数m的最小值是。

答案2。（2018江苏扬州中学高三月考）已知函数y=sinωx(ω〉0)在区间上为增函数,且图象关于点（3π,0)对称,则ω的取值集合为.

答案3.(2017江苏徐州沛县中学质检，12)若函数y=sinx+mcosx图象的一条对称轴方程为x=，则实数m的值为.

答案4。（2016江苏常州武进期中，9）已知函数f（x)=2sin,x∈的图象与直线y=m的三个交点的横坐标分别为x1，x2，x3，其中x1〈x2〈x3，那么x1+2x2+x3的值为.

答案二、解答题(共15分）5.（2018江苏常熟期中)已知函数f(x)=-sin++b（a〉0,b>0）的图象与x轴相切，且图象上相邻两个最高点之间的距离为.（1)求a，b的值；(2)求f（x）在上的最大值和最小值.解析(1）∵f(x）图象上相邻两个最高点之间的距离为，∴f（x)的周期为,∴=，∵a〉0，∴a=2，此时f（x)=—sin++b，又∵f（x)的图象与x轴相切,∴=,∵b〉0,∴b=-.(2)由(1)可得f(x）=-sin+,∵x∈,∴4x+∈，∴当4x+=，即x=时,f（x）取得最大值;当4x+=,即x=时,f（x)取得最小值0。C组2016—2018年模拟·方法题组方法1三角函数性质1.函数y=3tan的对称中心是.

答案(k∈Z)2.函数y=-3sin2x+9sinx+的最大值为