2022高中数学新教材 2022

本文格式为Word版，下载可任意编辑——2022高中数学新教材[20221．2类比推理类比推理三角形有下面两天性质：

(1)三角形的两边之和大于第三边；

(2)三角形的面积等于高与底乘积的.问题1：你能由三角形的这两天性质揣测空间周围体的性质吗？试写出来．提示：(1)周围体任意三个面的面积之和大于第四个面的面积；

(2)周围体的体积等于底面积与高乘积的.问题2：由三角形的性质揣测周围体的性质表达了什么？提示：由一类事物的特征推断另一类事物的类似特征，即由特殊到特殊．定义特征由于两类不同对象具有某些类似的特征，在此根基上，根据一类对象的其他特征，推断另一类对象也具有类似的其他特征，把这种推理过程称为类比推理.类比推理是两类事物特征之间的推理.合情推理合情推理的含义(1)合情推理是根据测验和实践的结果、个人的阅历和直觉、已有的事实和正确的结论(定义、公理、定理等)，揣测出某些结果的推理方式．(2)归纳推理和类比推理是最常见的合情推理．1．类比推理是从人们已经掌管了的事物特征，揣测正在被研究中的事物的特征．所以类比推理的结果具有推测性，不确定稳当；

2．类比推理以旧的学识作为根基，揣测新的结果，具有察觉功能．平面图形与空间几何体的类比[例1]找出圆与球的好像性质，并用圆的以下性质类比球的有关性质．(1)圆心与弦(非直径)中点的连线垂直于弦；

(2)与圆心距离相等的两弦长相等；

(3)圆的周长C＝πd(d是直径)；

(4)圆的面积S＝πr2.[思路点拨]先找出好像的性质再类比，一般是点类比线、线类比面、面积类比体积．[精解详析]圆与球有以下好像的性质：

(1)圆是平面上到确定点的距离等于定长的全体点构成的集合；

球面是空间中到确定点的距离等于定长的全体点构成的集合．(2)圆是平面内封闭的曲线所围成的对称图形；

球是空间中封闭的曲面所围成的对称图形．通过与圆的有关性质类比，可以揣测球的有关性质.圆球圆心与弦(非直径)中点的连线垂直于弦球心与截面(不经过球心的小圆面)圆心的连线垂直于截面与圆心距离相等的两条弦长相等与球心距离相等的两个截面的面积相等圆的周长C＝πd球的外观积S＝πd2圆的面积S＝πr2球的体积V＝πr3[一点通]解决此类问题，从几何元素的数目、位置关系、度量等方面入手，将平面几何的相关结论类比到立体几何中，相关类比点如下：

平面图形立体图形点点、线直线直线、平面边长棱长、面积面积体积三角形周围体线线角面面角平行四边形平行六面体圆球1．下面类比结论错误的是()A．由“若△ABC一边长为a，此边上的高为h，那么此三角形的面积S＝ah”类比得出“若一个扇形的弧长为l，半径为R，那么此扇形的面积S＝lR”B．由“平行于同一条直线的两条直线平行”类比得出“平行于同一个平面的两个平面平行”C．由“在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行”类比得出“在空间中，垂直于同一个平面的两个平面平行”D．由“三角形的两边之和大于第三边”类比得出“凸四边形的三边之和大于第四边”解析：选C只有C中结论错误，由于两个平面还有可能相交．2.如下图，在△ABC中，射影定理可表示为a＝b·cosC＋c·cosB，其中a，b，c分别为角A，B，C的对边，类比上述定理，写出对空间周围体性质的揣摩．解：如下图，在周围体P­ABC中，S1，S2，S3，S分别表示△PAB，△PBC，△PCA，△ABC的面积，α，β，γ依次表示平面PAB，平面PBC，平面PCA与底面ABC所成二面角的大小．我们揣摩射影定理类比推理到三维空间，其表现形式应为S＝S1·cosα＋S2·cosβ＋S3·cosγ.定义、定理与性质的类比[例2]类比实数的加法和向量的加法，列出它们好像的运算性质．[精解详析]①两实数相加后，结果是一个实数，两向量相加后，结果仍是向量；

②从运算律的角度考虑，它们都得志交换律和结合律，即：a＋b＝b＋a，a＋b＝b＋a，(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)，(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)；

③从逆运算的角度考虑，二者都有逆运算，即减法运算，即a＋x＝0与a＋x＝0都有唯一解，x＝－a与x＝－a；

④在实数加法中，任意实数与0相加都不变更大小，即a＋0＝a.在向量加法中，任意向量与零向量相加，既不变更该向量的大小，也不变更该向量的方向，即a＋0＝a.[一点通]运用类比推理往往先要探索适合的类比对象，本例中实数加法的对象为实数，向量加法的对象为向量，且都得志交换律与结合律，都存在逆运算，而且实数0与零向量0分别在实数加法和向量加法中占有特殊的地位．因此我们可以从这四个方面举行类比．3．试根据等式的性质揣摩不等式的性质并填写下表.等式不等式a＝b⇒a＋c＝b＋c①a＝b⇒ac＝bc②a＝b⇒a2＝b2③答案：①a>b⇒a＋c>b＋c②a>b⇒ac>bc(c>0)③a>b>0⇒a2>b2(说明：“>”也可改为“<”)4．已知等差数列{an}的公差为d，am，an是{an}的任意两项(n≠m)，那么d＝，类比上述性质，已知等比数列{bn}的公比为q，bn，bm是{bn}的任意两项(n≠m)，那么q＝________.解析：∵an＝amqn－m，∴q＝.答案：

1．类比推理先要探索适合的类比对象，假设类比的两类对象的好像性越多，好像的性质与揣测的性质之间越相关，那么类比得出的结论就越稳当．2．归纳推理与类比推理都是合情推理．归纳推理是从特殊过渡到一般的思想方法，类比推理是由此及彼和由彼及此的联想方法，归纳和类比离不开查看、分析、比较、联想，大量数学学识都是通过归纳与类比察觉的．1．以下哪个平面图形与空间图形中的平行六面体作为类比对象较适合()A．三角形B．梯形C．平行四边形D．矩形解析：选C从构成几何图形的几何元素的数目、位置关系、度量等方面考虑，用平行四边形作为平行六面体的类比对象较为适合．2．设△ABC的三边长分别为a，b，c，△ABC的面积为S，内切圆半径为r，那么r＝；

类比这个结论可知：周围体P­ABC的四个面的面积分别为S1，S2，S3，S4，内切球的半径为r，周围体P­ABC的体积为V，那么r＝()A.B.C.D.解析：选C设内切球的球心为O，所以可将周围体P­ABC分为四个小的三棱锥，即O­ABC，O­PAB，O­PAC，O­PBC，而四个小三棱锥的底面积分别是周围体P­ABC的四个面的面积，高是内切球的半径，所以V＝S1r＋S2r＋S3r＋S4r＝(S1＋S2＋S3＋S4)r，∴r＝.3．已知{bn}为等比数列，b5＝2，那么b1b2b3…b9＝29.若{an}为等差数列，a5＝2，那么{an}的类似结论为()A．a1a2a3…a9＝29B．a1＋a2＋…＋a9＝29C．a1a2…a9＝2×9D．a1＋a2＋…＋a9＝2×9解析：选D类比等比数列{bn}中b1b2b3…b9＝b，可得在等差数列{an}中a1＋a2＋…＋a9＝9a5＝9×2.4．类比三角形中的性质：

①两边之和大于第三边；

②中位线长等于底边长的一半；

③三内角平分线交于一点．可得周围体的对应性质：

①任意三个面的面积之和大于第四个面的面积；

②过周围体的交于同一顶点的三条棱的中点的平面面积等于该顶点所对的面面积的；

③周围体的六个二面角的平分面交于一点．其中类比推理方法正确的有()A．①B．①②C．①②③D．都不对解析：选C以上类比推理方法都正确，需留神的是类比推理得到的结论是否正确与类比推理方法是否正确并不等价，方法正确结论也不确定正确．5．在△ABC中，D为BC的中点，那么＝，将命题类比到周围体中去，得到一个命题为：______________________________________.．解析：平面中线段的中点类比到空间为周围体中面的重心，顶点与中点的连线类比顶点和重心的连线．答案：在周围体A­BCD中，G是△BCD的重心，那么＝6．运用下面的原理解决一些相关图形的面积问题：假设与一条固定直线平行的直线被甲、乙两个封闭的图形所截得的线段的比都为k，那么甲的面积是乙的面积的k倍．你可以从给出的简朴图形①②中体会这个原理．现在图③中的两个曲线方程分别是＋＝1(a＞b＞0)与x2＋y2＝a2，运用上面的原理，图③中椭圆的面积为__________．解析：由于椭圆与圆截y轴所得线段之比为，即k＝，所以椭圆面积S＝πa2·＝πab.答案：πab7．在Rt△ABC中，若∠C＝90°，那么cos2A＋cos2B＝1，在空间中，给出周围体性质的揣摩．解：如图，在Rt△ABC中，cos2A＋cos2B＝2＋2＝＝1.于是把结论类比到周围体P­A′B′C′中，我们揣摩，三棱锥P­A′B′C′中，若三个侧面PA′B′，PB′C′，PC′A′两两彼此垂直，且分别与底面所成的角为α，β，γ，那么cos2α＋cos2β＋cos2γ＝1.8．在公比为4的等比数列{bn}中，若Tn是数列{bn}的前n项积，那么，，也成等比数列，且公比为4100；

类比上述结论，相应地在公差为3的等差数列{an}中，若Sn是{an}的前n项和．(1)写出相应的结论，判断该结论是否正确，并加以证明；

(2)写出该结论一个更为一般的情形(不必证明)．解：(1)在公差为3的等差数列{an}中，若Sn是{an}的前n项和，那么数列S20－S10，S30－S20，S40－S30也是等差数列，且公差为300.该结论是正确的．证明如下：

∵等差数列{an}的公差d＝3，∴(S30－S20)－(S20－S10)＝(a21＋a22＋…＋a30)－(a11＋a12＋…＋a20)＝10d＋10d＋…＋＝100d＝300，10个同理可得：

(S40－S30)－(S30－S20)＝300，所以数列S20－S10，S30－S20，S40－S30是等差数列，且公差为300.(2)在公差为d的等差数列{an}中，若Sn是{an}的前n项和，那么对于任意k∈N＋，数列S2k－Sk，S3k－S2k，S4k－S3k也成等差数列，且公差为k2d.9．先阅读以下不等式的证法，再解决后面的问题：已知a1，a2∈R，a1＋a2＝1，求证a＋a≥.证明：构造函数f(x)＝(x－a1)2＋(x－a2)2，那么f(x)＝2x2－2(a1＋a2)x＋a＋a＝2x2－2x＋a＋a.由于对一切x∈R，恒有f(x)≥0，所以Δ＝4－8(a＋a)≤0，所以a＋a≥.(1)若a1，a2，…，an∈R，a1＋a2＋…