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文档简介
绝密★启用前
2021-2022学年浙江省宁波市邺州区宋诏桥中学九年级
(±)强基考数学试卷
考试范围:XXX;考试时间:100分钟;命题人:XXX
注意事项:
1.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑;如需
改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号。回答非选择题时,将答案写在答题卡上,
写在试卷上无效。
3.考试结束后,本试卷和答题卡一并交回。
第I卷(选择题)
一、选择题(本大题共8小题,共48.0分。在每小题列出的选项中,选出符合题目的
一项)
1.从1、2、3、4四个数中随机选取两个不同的数,分别记为a,c,则二次函数y=ax2+
4x+c与x轴有两个不同交点的概率为()
A-;Di
2.在抛物线y=/上任取一点4(非坐标原点。),连接。4,在04上取点B,使OB=10A,
则顶点在原点且过点B的抛物线的表达式为()
A.y=^x2B.y=9x2C.y=^x2D.y=3x2
3.若M=3/-8xy+9y2—4%+6y+14(x,y是实数),则M的值一定是()
A.0B.负数C.正数D.整数
4.如图,AABC中,O、E是BC边上的点,BD:DE:EC=3:
2:1,M在4c边上,CM:MA=1:2,BM交AD,AE于
H,G,则BH:HG:GM等于()
A.3:2:1B.5:3:1C.25:12:5D.51:24:10
5.一个正方体的表面涂满了颜色,按如图所示将它切成27个大小相
等的小立方块,设其中仅有i个面。=123)涂有颜色的小立方块
的个数为阳,则%1,%2,之间的关系为()
A.—+%3=1B.+%2—=1
C.+汽2一%3=2D.—%2+%3=2
6.从一4,-3,1,3,4这五个数中,随机抽取一个数,记为m,若m使得关于x,y的
二元一次方程组2有解,且使关于%的分式方程-—I=(有正数
(mx—2y=—3x-ii-x
解,那么这五个数中所有满足条件的M的值之和是()
A.1B.2C.-1D.-2
7.设关于x的方程a/+(a+2)x+9a=0有两个不相等的实数根与、上,且与<1<
x2,那么实数a的取值范围是()
.2—22C2
A.a<B.-<a<-C.a>-
8.在圆内接四边形4BCD中,/-BAD,乙1DC的角平分线交于点
E,过E作直线MN平行于BC,与4B、CD交于M、N,则总
有MN=()
A.BM+DN
B.AM+CN
C.BM+CN
D.AM+DN
第n卷(非选择题)
二、填空题(本大题共6小题,共36.0分)
9.已知点A(l,3).B(5,-2),在%轴上找一点P,使|AP-BP|最大,则满足条件的点P的
坐标是.
10.如图,在平面直角坐标系中,正方形4B0C和正方形
OOFE的顶点B,F在x轴上,顶点C,。在y轴上,且
ShADF=3,反比例函数y=>0)的图象经过点E,
则k—.
11.已知函数y=|一一2%-3|,则使y=m成立的x值恰好有三个,则m的值为
第2页,共20页
12.如图,设4D、BE、C尸为△ABC的三条高,若AB=6,BC=5,
EF=3,则线段BE的长为
13.如图,在平面直角坐标系中,点4(一4,0),点B(2,0),
点C(0,4),D为线段BC上一动点,DELAC^E,DF1
4B于心连接EF,则线段EF的长的最小值为.
14.四边形4BCD内部有1000个点,若以顶点A,B,C,。和这1000个点能把原四边形
分割成n个没有重叠的小三角形,则个数n的值为.
三、解答题(本大题共4小题,共54.0分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步
骤)
15.(本小题14.0分)
当三个非负实数尤,y,z满足关系式x+3y+2z=3与3x+3y+z=4时,M=3x-
2y+4z的最小值和最大值分别是多少?
16.(本小题16.0分)
在平面直角坐标系xOy中,点A是x轴外的一点,若平面内的点B满足:线段4B的长
度与点4到x轴的距离相等,则称点B是点4的“等距点”.
(1)若点4的坐标为(0,2),点A(2,2),P2(l,-4),。3(-逸,1)中,点4的“等距点”
是;
(2)若点M(l,2)和点N(l,8)是点4的两个“等距点”,求点4的坐标;
(3)记函数y=4%(x>0)的图象为3OT的半径为2,圆心坐标为7(0,t).若在L上
存在点M,。丁上存在点N,满足点N是点M的“等距点”,直接写出t的取值范围.
17.(本小题16.0分)
如图,在平面直角坐标系中,直线y=:x+2与x轴交于点4,与y轴交于点C,抛
物线y=-1/+bx+c经过4,C两点,与x轴的另一个交点为点8.
(1)求抛物线的函数表达式.
(2)点D为直线4c上方抛物线上一动点,连接BC,CD,设直线BD交线段4C于点E,
△CDE的面积为Si,ABCE的面积为S2,求的最大值.
18.(本小题8.0分)
有一组邻边相等且对角互补的四边形叫做等邻边互补四边形.
(1)如图1,在等邻边互补四边形力BCD中,AD=CD,H.AD//BC,BC=2AD,求
NB的度数;
(2)如图2,四边形ABCD内接于连接。。交4c于点E(不与点。重合),若E是4C
的中点,求证:四边形4BCD是等邻边互补四边形;
(3)在(2)的条件下,延长。。交BC于点F,交。。于点G,若命=AB,tan^ABC=y,
AC=12,求FG的长;
(4)如图3,四边形4BCD内接于00,AB^BC,BD为O0的直径,连接A0并延长
交BC于点E,交。。于点F,连接FC,设tan/B4F=x,=y,求y与久之间的函
数关系式.
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答案和解析
1.【答案】B
【解析】解:画树状图得:
由树形图可知:一共有12种等可能的结果,其中使判别式△=16-4ac>0,即ac<4的
有4种结果,
二二次函数y=ax2+4x+c与其轴有两个不同交点的概率为[=
故选:B.
首先画出树状图即可求得所有等可能的结果与使ac<4的情况,然后利用概率公式求解
即可求得答案.
本题考查的是用列表法或画树状图法求概率.列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的
列出所有可能的结果,列表法适合于两步完成的事件,树状图法适合两步或两步以上完
成的事件.用到的知识点为:概率=所求情况数与总情况数之比.
2.【答案】D
【解析】解:过4作力DJLx轴于D,过B作BClx轴于C,如图:
设巾2),
AD1x轴,BC1x轴,
•••BC//AD,
•••Z.OCB—Z-ODA,/-OBC=Z.OAD,
OBC~AOADf
.OB_oc_BC
-
**OX-OD加
1
VOB=-OA,
3
OC=-OD,BC=-AD,
33
•••
2
令x--m,y=-m,
33
・•・m=3x,
22
Ay=1x(3x)=3x,
即顶点在原点且过点B的抛物线的表达式为y=3x2,
故选:D.
过4作轴于。,过B作轴于C,设4(科62),证明由0B=
-0A,可得8(1771,277i2),令%=2,小,y=-m2,即可得、=3产.
33333
本题考查求二次函数解析式,解题的关键是证明△OBCSAOAD,用含m的代数式表示B
的坐标.
3.【答案】C
【解析】解:M=3%2-8xy+9y2—4x+6y4-14
=(%2—4x+4)+(y2+6y+9)+2(x2-4xy+4y2)+1
=(%-2)2+(y+3)2+2(x-2y)2+1>0.
故选:C.
本题可将M进行适当变形,将M的表达式转换为几个完全平方式的和,然后根据非负数
的性质来得出M的取值范围.
本题主要考查了配方法的应用,非负数的性质,将M的表达式根据完全平方公式的特点
进行变形是解答本题的关键.
4.【答案】D
【解析】解:连接EM,
CE:CD=CM:CA=1:3
EM平行于力D
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・•・△BHD〜△BME,△CEM^LCDA
AHD:ME=BD:BE=3:5,ME:AD=CM:AC=1:3
-AH=(3一|)ME,
・・・AH:ME=12:5
:・HG:GM=AH:EM=12:5
设GM=5k,GH=12k,
vBH:HM=3:2=BH:17k
・•・BH=—K
2f
BH:HG:GM=—k:12k:5k=51:24:10
2
故选:D.
连接EM,根据已知可得△CEM^-ACDX,根据相似比从而不难得到答
案.
此题主要考查相似三角形的性质的理解及运用.
5.【答案】D
【解析】解:根据以上分析可知为1+巧—犯=6+8-12=2.
故选:D.
根据图示:在原正方体的8个顶点处的8个小正方体上,有3个面涂有颜色;2个面涂有
颜色的小正方体有12个,1个面涂有颜色的小正方体有6个.
此题主要考查了立体图形的性质,根据已知得出涂有颜色不同的小立方体的个数是解题
关键.
6.【答案】D
【解析】解:解方程组{露得[二正6
当方程组有解时,-4,
解分式方程三:一1={-,得X=4-771,
X—11—X
当%=1,即m=3时,分式方程无解,
,*•771H3,
由题意得,m=—3,1,
二满足条件的m的值之和=-3+1=-2,
故选:D.
分别解出二元一次方程组、分式方程,根据题意得到满足条件的小的值,计算即可.
本题考查的是分式方程的解法、二元一次方程组的解法,正确解出分式方程、二元一次
方程组是解题的关键.
7.【答案】D
【解析】
【分析】
本题主要考查了一元二次方程根的情况与判别式△的关系:(1)△>00方程有两个不相
等的实数根;(2)4=0=方程有两个相等的实数根;(3)A<0=方程没有实数根.根
与系数的关系为:X:+%2=
根据一元二次方程的根的判别式,建立关于a的不等式,求出a的取值范围.又存在与<
1<%2,即<1—1)<2—〈<0,xlx2—(X1+%2)+1<利用根与系数的关系,从
而最后确定a的取值范围.
【解答】
解:•••方程有两个不相等的实数根,
则a*0且4>0,
由(a+2)2-4aX9a=-35a2+4a+4>0,
解得一彳<a<I,
a+2c
•••+x2=——,xtx2=9,
又<1<x2>
***-1<0,%2—1>0,
那么(%1—1)(%2—1)<0,
・,・%i%2—(%1+%2)+1<0,
即9+^+1<0,
a
解得一VVa<0,
最后Q的取值范围为:-V<Q<0.
故选D.
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8.【答案】D
【解析】解:如图,在NM上截取N/=NO,连接。入AF
・•・乙NFD=乙NDF,
•・・A,B,C,。四点共圆,
/.Z.ADC=180°,
•••MN//BC,
・•・乙AMN=乙B,
・・・4AMN+乙ADN=180°,
・・.4,D,N,M四点共圆,
AZ-MND4-/-MAD=180°,
•・・AE,DE分别平分NB4D,Z.CDA,
・•・乙END+2乙DFN=乙END+2^DAE=180°,
・•・乙DFN=乙DAE,
・・.4,F,E,。四点共圆,
,乙DEN=^DAF,/-AFM=Z.ADE,
・•・Z.MAF=180°-Z.DAF-乙MND
=180°-乙DEN-乙MND
=Z.EDN=Z.ADE
=Z/4FM,
・•・MA=MF,
:.MN=MF+NF=MA+ND.
故选:D.
在NM上截取NF=NO,连接OF,AF,由4,B,C,。四点共圆,得出4MNO+4M40=
180°,由MN//BC,得出乙4MN+4WN=180。,可得到A,D,N,M四点共圆,再由
AE,DE分别平分乙BAD,Z.CDA,4F,E,。四点共圆,由4M4F=180。一4/MF一
乙MND=180°-乙DEN-乙MND=4EDN=Z.ADE=/.AFM,可得出M力=MF,即得
出MN=MF+NF=MA+ND.
本题主要考查了圆内接四边形的性质,四点共圆,解题的关键是正确作出辅助线,利用
四点共圆求解.
9.【答案】(13,0)
【解析】解:作点8(5,-2)关于x轴的对称点夕,则B'(5,2),连接48'并延长,它与x轴
的交点就是满足条件的点P,设过点4(1,3)、8'(5,2)的直线解析式为丁=依+b(k丰0),
那么k+b=3,5k+b=2,
那么,力B'所在直线与x轴的交点P的坐标,即当y=0时,x的值,则0=-六+9,
所以x=13,
则点P的坐标为(13,0).
故答案为:(13,0).
作点B(5,-2)关于x轴的对称点B',则B'(5,2),连接力夕并延长,它与x轴的交点就是满
足条件的点P,用待定系数法求出过点力(1,3)、夕(5,2)的直线解析式,根据坐标轴上点
的坐标特点令y=0求出x的值,即为点P的坐标.
本题考查的是最短路线问题及用待定系数法求一次函数的解析式,解答此类问题的关键
是熟知两点之间线段最短的知识.
10.【答案】6
【解析】解:设正方形4B0C的边长为a,正方形DOFE的边长为b,如图,
S梯形ABOD+$正方形QDEF=St^ABF+S^ADF+SADEF,
•••|(b+a)-b+a2=|-b(a+d)+3+|a2,
第10页,共20页
即。2=6,
v\k\=6,
Afc=6.
故答案为6.
设正方形4B0C的边长为a,正方形DOFE的边长为b,如图,利用面积法得+a)•b+
a2=|-b(a+b)+3+|a2,所以a?=6,然后利用k的几何意义得到k的值.
本题考查了反比例函数系数k的几何意义:在反比例函数y=[图象中任取一点,过这一
个点向x轴和y轴分别作垂线,与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|.
11.【答案】4
【解析】解:y=x2-7.x-3的顶点坐标为(1,一4),
如图:
点(1,-4)关于x轴的对称点为(1,4),
y=m成立的x值恰好有三个,
:.m=4,
故答案为4.
画出函数图象,结合函数图象可得
m=4.
本题考查二次函数的图象及性质;
利用图象变换画出函数图象,数形
结合解题是关键.
12.【答案】y
【解析】解:•••4。,BE,CF为AABC的三条高,易知B,C,E,F四点共圆,
・••△AEF^LABCJ
•_A_F____E_F_—_3
"AC~BC~5’
即cos/B4C=|,
4
:.sinZ.BAC=
.•.在RM4BE中,BE=ABsin^BAC=6•|=y.
故答案为:g.
此题考查了直角三角形的性质和锐角三角函数的性质.
本题是一道根据直角三角形的性质结合角的三角函数求解的综合题,要注意圆的性质应
用;要注意数形结合思想的应用.
13.【答案】蟀
5
【解析】解:如图,连接4D,取4D的中点G,连接EG,FG,
则力G=DG=1AD,
DE1AC,
•••^AED=90°,
••.AADE是直角三角形,
•••EG=1力。(直角三角形斜边的中线等于斜边的一半),
vDF1AB,
Z.AFD=90,
.•.△ADF是直角三角形,
FG=(直角三角形斜边的中线等于斜边的一半),
・•・EG=FG=AG=DG,
,••点A,F,D,E是以点G为圆心AD为直径的圆上,
・・•点4(-4,0),点C(0,4),
・•・OA=OC,
・•・Z,OAB=45°,
・•・LEGF=90°,
vEG=FG,
.•.△EFG是等腰直角三角形,
EF=y[2EG=V2X-2AD=—2AD,
要EF最小,贝最小,
•••点。在BC上,
二当4D1BC时,力D最小,
此时,SMBC=号48-OC=-BC-AD,
第12页,共20页
ABOC
AD
BC
•.•点4(—4,0),点8(2,0),点C(0,4),
OC=4,AB=6,BC=V224-42=2通,
.c6X412-75
.•.“■=¥”=畀胃=半,
故答案为源.
5
先判断出AFFG是等腰直角三角形,得出EF=^40,进而判断出4D18C时EF最小,
2
最后用三角形的面积求出4D,即可得出结论.
此题主要考查了直角三角形的性质,四点共圆,圆周角定理,等腰直角三角形的判定和
性质,判断出EF=立4。是解本题的关键.
2
14.【答案】2002
【解析】解:四边形4BC0内部有有n个点时,内部分割成4+2x(n-l)=(2n+2)个
三角形.
故n=2x1000+2=2002.
故答案为:2002.
有1个点时,内部分割成4个三角形;
有2个点时,内部分割成4+2=6个三角形;
那么有3个点时,内部分割成4+2x2=8个三角形;
有4个点时,内部分割成4+2x3=10个三角形;
有律个点时,内部分割成4+2X(n-1)=(2n+2)个三角形.
此题考查了图形的变化类问题,解决此类探究性问题,关键在观察、分析已知数据,寻
找它们之间的以及与第一个图形的相互联系,探寻其规律.本题需注意是得到被分割成
的三角形的个数.
15.【答案】解:由露幕2评得:
"久一),
(z=2%—1
代入M的表达式中得,
M=3%—2y4-4z=3%—y(1—x)+4(2x—1)=y%—y,
又因x、y、z均为非负实数,
rx>0
所以•1(l-x)>0,
Jx-1>0
即<1,
当x时,M有最小值为一%
当%=1时,M有最大值为7.
故M=3x-2y+4z的最小值为一:,最大值为7.
【解析】根据关系式x+3y+2z=3与3x+3y+z-4求出y和z与x的关系式,又因x、
y、z均为非负实数,求出出的取值范围,于是可以求出M的最大值和最小值.
本题主要考查函数最值问题、不等式的性质、解三元一次方程组,解答本题的关键是把
y和z用x表示出来,此题有一定难度.
16.【答案】(l)Pi,P3;
(2)•••点MQ2)和点N(l,8)是点4的两个“等距点”,
AM=AN,
・••点4在线段MN的垂直平分线上.
设MN与其垂直平分线交于点C,点4的坐标为(m,n),如图1所示.
•.•点M(l,2),点N(l,8),
.••点C的坐标为(1,5),AM=AN=n=5,
•••CM=3,AC=7AM2-CM2=4,
m=1—4=—3或m=1+4=5,
•••点Z的坐标为(一3,5)或(5,5).
(3)依照题意画出图象,如图2所示.
第14页,共20页
①当071过点。时,。A与L没有交点,
•;。A的半径为2,
此时点7\的坐标为(0,—2);
②当。72与4相切时,设切点为时2,
•••图象L的解析式为y=yx(x>0).
乙M20T2=30°.
在Rt△”2。72中,4M2。72=30°,M2T2=2,
:.OT2=2M2T2—4,
此时点心的坐标为(。,4).
综上所述:t的取值范围为一2<tW4.
【解析】
22
解:(1):4Pi=2-0=2,AP2=V(l-0)+(-4-2)=^37,AP3=
J(^V3-0)2+(l-2)2=2-
.•.点Z的“等距点”是匕,P3.
故答案为:P],P3.
(2)见答案;
(3)见答案.
【分析】
(1)利用两点间的距离公式求出ZPi,4P2,4P3的值,结合点4的坐标及“等距点”的定
义,即可得出结论;
(2)由点M,N为点4的等距点可得出4M=4N,进而可得出点4在线段MN的垂直平分线
上,设MN与其垂直平分线交于点C,点4的坐标为(m,n),由点M,N的坐标可得出点C
的坐标及AM,CM的长度,利用勾股定理可求出4C的长度,结合点C的坐标即可得出点
4的坐标;
(3)分两种情况考虑,①当。7;过点。时,由圆的半径可得出点A的坐标;②当OR与
L相切时,设切点为“2,由图象L的解析式可得出4M2。&=30°,在RtAMzOR中,通
过解含30度角的直角三角形可求出。7?的长度,进而可得出点72的坐标.综上即可得出
t的取值范围.
本题考查了两点间的距离、线段的垂直平分线、一次函数的性质、勾股定理以及解含30
度角的直角三角形,解题的关键是:(1)利用两点间的距离公式求出APi,AP2,AP3的
值;(2)利用“等距点”的定义找出点4在线段MN的垂直平分线上;(3)分过点。与
OT与L相亲两种情况找出圆心的坐标.
17.【答案】解:(1)•直线y=[%+2与x轴交于点4,与y轴交于点C,
•••4(-4,0),C(0,2),
「抛物线y=-泮+bx+c经过4,C两点,
-x16—4b+c=0
(c=2
解得F=~l.
(c=2
••・抛物线的解析式为:y=-|x2-|x+2.
(2)令y=0,
———x+2=0,
22
解得%=—4或x=1,
・•・6(1,0).
如图,过点。作DM1式轴交4c于点M,过点8作BN工工轴交AC于点N,
:・DM”BN,
DME~2BNE,
DE_DM
BE~BN
第16页,共20页
.__DE_DM
"S2-BE一BN,
设点。的横坐标为a,
:•D(a,—^a2-|a+2),
・•・M(aja+2),
a
/v(
l
-22a
&一14
-a2+2+
-=5=--
-52)5
S22
S4
大
1值为
--的最
.-
S25
【解析】(1)由题意可得,4(-4,0),C(0,2),代入抛物线y=-]/+bx+c,组成二元
一次方程,解之即可;
(2)根据题意可知,8(1,0).过点。作。M_Lx轴交4C于点M,过点B作8N1x轴交4c于点
N,所以DM〃BN,所以金=器=器.设点。的横坐标为a,则“见一口?一)+2),
M(a,|a+2),由此表达DM和BN的长,再解之二次函数的性质可得出结论.
本题主要考查待定系数法求函数解析式,相似三角形的性质与判定,二次函数的性质等
相关内容,关键是将三角形的面积比转化为线段比.
18.【答案】⑴解:如图1中,作AH〃CD交BC于H.
图1
•:AD//BC,AH//CD,
.••四边形4HCC是平行四边形,
.-.AH=CD,AD=BC,
■•AB=CD,AB=AD,BC=2AD,
•■AB=BH=AH,
48H是等边三角形,
・•・乙B=60°.
(2)证明:如图2中,连接CD.
vABCD^Q。的内接四边形,
・・・48+44。。=180。,
♦:AE=EC,
・•・0D1AC,
:.DA=DC,
•••四边形4BCD是等邻边互补四边形.
(3)解:如图2-1中,连接。4,OC,AG,CG,作FM1CG于M,FNJ.AG于N.
•••OD1AC,AD=虎,
・•・Z,AOE=乙COE,GA=GC9
•・,Z-AOC=2乙ABC,
・•・Z.AOE=Z.ABC,
24AF
•••taiE—aiFF
・•・OE=OA=\/AE24-OE2——,
44
259
:•GD
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