河南省许昌市禹州第三高级中学高三数学文期末试题含解析

河南省许昌市禹州第三高级中学高三数学文期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知＜α＜π，3sin2α=2cosα，则cos（α﹣π）等于（）A． B．

C． D．参考答案：C【考点】二倍角的正弦．【专题】三角函数的求值．分析：由条件求得sinα和cosα的值，再根据cos（α﹣π）=﹣cosα求得结果．解：∵＜α＜π，3sin2α=2cosα，∴sinα=，cosα=﹣．∴cos（α﹣π）=﹣cosα=﹣（﹣）=，故选：C．【点评】本题主要考查二倍角公式、诱导公式的应用，属于中档题．2.（5分）（2015?淄博一模）曲线f（x）=ex+x2+x+1上的点到直线2x﹣y=3的距离的最小值为（）A．B．C．D．2参考答案：B【考点】：点到直线的距离公式．【专题】：导数的综合应用．【分析】：f′（x）=ex+2x+1，设与直线2x﹣y=3平行且与曲线f（x）相切于点P（s，t）的直线方程为：2x﹣y+m=0，由es+2s+1=2．解得s=0．可得切点P，因此曲线f（x）=ex+x2+x+1上的点到直线2x﹣y=3的距离的最小值为点P到直线2x﹣y=3的距离．解：f′（x）=ex+2x+1，设与直线2x﹣y=3平行且与曲线f（x）相切于点P（s，t）的直线方程为：2x﹣y+m=0，则es+2s+1=2．解得s=0．∴切点为P（0，2），∴曲线f（x）=ex+x2+x+1上的点到直线2x﹣y=3的距离的最小值为点P到直线2x﹣y=3的距离d==．故选：B．【点评】：本题考查了导数的几何意义、相互平行的直线斜率之间的关系、点到直线的距离公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．3.若a=sinxdx，则（x+）（ax﹣1）5的展开式中的常数项为(

) A．10 B．20 C．﹣10 D．﹣20参考答案：A考点：二项式系数的性质；定积分．专题：二项式定理．分析：求定积分可得a的值，把（2x﹣1）5按照二项式定理展开，即可求得（x+）（2x﹣1）5展开式的常数项．解答： 解：a=sinxdx=﹣cosx=2，则（x+）（ax﹣1）5=（x+）（2x﹣1）5=（x+）（32x5﹣80x4+80x3﹣40x2+10x﹣1），故（x+）（2x﹣1）5展开式的常数项为=10，故选：A．点评：本题主要考查求定积分，二项式定理的应用，求展开式中某项的系数，二项式系数的性质，属于基础题．4.已知正项等比数列{an}的前n项和为Sn，已知S4﹣S1=7a2，a3=5，则Sn=（）A． B． C． D．参考答案：D【考点】等比数列的前n项和．【分析】设正项等比数列{an}的公比为q＞0，q≠1，由S4﹣S1=7a2，a3=5，可得a4+a3+a2=7a2，即=6a2，=5，联立解得q，a1．利用求和公式即可得出．【解答】解：设正项等比数列{an}的公比为q＞0，q≠1，∵S4﹣S1=7a2，a3=5，∴a4+a3+a2=7a2，即=6a2，=5，联立解得q=2，a1=．则Sn==5×2n﹣2﹣．故选：D．【点评】本题考查了比数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．5.已知函数，当时,，若在区间内，有两个不同的零点，则实数的取值范围是（

）A．

B．

C．

D．参考答案：D6.已知x0是函数f(x)＝+lnx的一个零点，若x1∈(1，x0)，x2∈(x0，+∞)，则

（）A．f（x1）＜0，f（x2）＜0

B．f（x1）＞0，f（x2）＞0C．f（x1）＞0，f（x2）＜0

D．f（x1）＜0，f（x2）＞0参考答案：D略7.已知M={}，N={}，则MN=(

)A．

B．

C．

D．参考答案：D8.sin165°?sin75°+sin105°?sin15°的值是(

)A．0 B．﹣ C．1 D．参考答案：D【考点】两角和与差的正弦函数．【专题】三角函数的求值．【分析】利用诱导公式化简后，根据二倍角的正弦函数公式及特殊角的三角函数公式即可得解．【解答】解：sin165°?sin75°+sin105°?sin15°=sin15°cos15°+sin15°cos15°=sin30°=．故选：D．【点评】本题主要考查了诱导公式，二倍角的正弦函数公式及特殊角的三角函数公式的应用，属于基础题．9.直线L过抛物线的焦点F且与C相交于A、B两点，且AB的中点M的坐标为，则抛物线C的方程为A、

B、

C、

D、参考答案：【知识点】直线与抛物线.H8【答案解析】B解析：解：由题可得直线方程为与抛物线方程联立可得，所以抛物线方程为【思路点拨】根据所给条件列出方程，利用条件求出p的值.10.若a＝20.5，b＝logπ3，，则A．b＞c＞aB．b＞a＞cC．c＞a＞bD．a＞b＞c参考答案：D二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.如图，某几何体的主视图和俯视图都是矩形，左视图是等腰直角三角形，则该几何体的体积为__________.参考答案：8【知识点】空间几何体的三视图和直观图G2由三视图知：几何体为直三棱柱，且三棱柱的高为4，

底面是直角边长为2的等腰直角三角形，∴几何体的体积V=×2×2×4=8．【思路点拨】几何体为直三棱柱，根据三视图判断三棱柱的高及底面直角三角形的边长，把数据代入棱柱的体积公式计算．12.已知数列是无穷等比数列，其前n项和是，若，，

则的值为

.参考答案：13.椅子，则

参考答案：514.已知函数f'（x）、g'（x）分别是二次函数f（x）和三次函数g（x）的导函数，它们在同一坐标系下的图象如图所示：①若f（1）=1，则f（﹣1）=；②设函数h（x）=f（x）﹣g（x），则h（﹣1），h（0），h（1）的大小关系为．（用“＜”连接）参考答案：1；h（0）＜h（1）＜h（﹣1）。【考点】利用导数研究函数的单调性．

【专题】计算题．【分析】①先结合函数图形求出f'（x）与g'（x）的解析式，然后求出原函数，根据f（1）=1，可求出f（﹣1）的值；②求出函数h（x）=f（x）﹣g（x）的解析式，然后将﹣1，0，1代入比较即可求出h（﹣1），h（0），h（1）的大小关系．【解答】解：根据函数f'（x）、g'（x）分别是二次函数f（x）和三次函数g（x）的导函数结合图象可知f'（x）=x、g'（x）=x2；则f（x）=x2+C，g（x）=x3+C'，①∵f（1）=1∴C=则f（x）=x2+，∴f（﹣1）=1②h（x）=f（x）﹣g（x）=x2﹣x3+C﹣C'记C﹣C'=m为常数则h（﹣1）=+m，h（0）=m，h（1）=+m∴h（0）＜h（1）＜h（﹣1）故答案为：1，h（0）＜h（1）＜h（﹣1）【点评】本题主要考查了利用图形求解析式，以及根据导函数求原函数等知识，同时考查了比较函数值大小，属于中档题．15.(坐标系与参数方程选讲选做题)在直角坐标系中曲线的极坐标方程为，写出曲线的普通方程__________参考答案：16.在四面体中，已知，，，则四面体的外接球的半径为______________.参考答案：略17.在平面四边形中，点分别是边的中点，且，．若，则的值为___________.参考答案：13.5略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.某班对喜爱打篮球是否与性别有关进行了调查，以本班的50人为对象进行了问卷调查得到了如下的列联表：

喜爱打篮球不喜爱打篮球合

计男生

5

女生10

合计

50已知在全部50人中随机抽取1人，抽到喜爱打篮球的学生的概率为（Ⅰ）请将上面的列联表补充完整；（Ⅱ）是否有%的把握认为喜爱打篮球与性别有关？说明你的理由；（Ⅲ）已知不喜爱打篮球的5位男生中，喜欢踢足球，喜欢打乒乓球，现再从喜欢踢足球、喜欢打乒乓球的男生中各选出1名同学进行其他方面的调查，求和至少有一个被选中的概率．

0．050．010．0013．8416．63510．828

附：

参考答案：（1）

喜爱打篮球不喜爱打篮球合

计男生20525女生101525合计302050（2）故没有%的把握认为喜爱打篮球与性别有关（3）设“和至少一个被选中”为事件A

从喜欢踢足球、喜欢打乒乓球的男生中各选出1名同学的结果有：,共6种其中和至少一个被选中的结果有：所以略19.（本小题12分）“地沟油”严重危害了人民群众的身体健康，某企业在政府部门的支持下，进行技术攻关，新上了一种从“食品残渣”中提炼出生物柴油的项目，经测算，该项目月处理成本y(元)与月处理量x(吨)之间的函数关系可以近似的表示为：且每处理一吨“食品残渣”，可得到能利用的生物柴油价值为200元，若该项目不获利，政府将补贴.(1)当x∈[200,300]时，判断该项目能否获利？如果获利，求出最大利润；如果不获利，则政府每月至少需要补贴多少元才能使该项目不亏损.(2)该项目每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？参考答案：(1)当x∈[200,300]时，设该项目获利为S，则S＝200x－(x2－200x＋80000)＝－x2＋400x－80000＝－(x－400)2，所以当x∈[200,300]时，S<0.因此，该项目不会获利.当x＝300时，S取得最大值－5000，所以政府每月至少需要补贴5000元才能使该项目不亏损.(2)由题意可知，食品残渣的每吨平均处理成本为：①当x∈[120,144)时，＝x2－80x＋5040＝(x－120)2＋240，∴当x＝120时，取得最小值240；②当x∈[144,500)时，＝x＋－200≥2－200＝200.当且仅当x＝，即x＝400时，取得最小值200.∵200<240，∴当每月处理量为400吨时，才能使每吨的平均处理成本最低20.北京、张家港2022年冬奥会申办委员会在俄罗斯索契举办了发布会，某公司为了竞标配套活动的相关代言，决定对旗下的某商品进行一次评估。该商品原来每件售价为25元，年销售8万件．（1）据市场调查，若价格每提高1元，销售量将相应减少2000件，要使销售的总收入不低于原收入，该商品每件定价最多为多少元？（2）为了抓住申奥契机，扩大该商品的影响力，提高年销售量．公司决定立即对该商品进行全面技术革新和营销策略改革，并提高定价到元．公司拟投入万作为技改费用，投入50万元作为固定宣传费用，投入万元作为浮动宣传费用．试问：当该商品改革后的销售量至少应达到多少万件时，才可能使改革后的销售收入不低于原收入与总投入之和？并求出此时商品的每件定价．参考答案：略21.对任给的实数和b，不等式恒成立，求实数x的取值范围．参考答案：【分析】先参变分离将恒成立问题转化成的最值问题，然后用绝对值不等式求出其最小值为2，再解绝对值不等式.【详解】解：因为所以恒成立又因为所以最小值为2所以当时，，所以当时，，所以当时，，所以综上所述：.【点睛】本题考查了绝对值不等式求最值，绝对值不等式的解法，恒成立问题中常采用参变分离法转化为最值问题，解绝对值不等式常采用分类讨论法.22.（本小题满分14分）已知函数.(Ⅰ)若,求曲线在处切线的斜率;(Ⅱ)求的单调区间;(Ⅲ)设,若对任意,均存在,使得,求的取值范围.参考答案：(Ⅰ)曲线在处切线的斜率为(Ⅱ)函数的单调递增区间为,单调递减区