导数应用举例

1、§26 导数应用举例我们知道，函数的导数的一般意义，就是表示函数对自变量的变化率，因此，很多非均匀变化的变化率问题都可以应用导数来研究。在具有不同的实际意义时，作为变化率的导数就具有不同的实际意义。一、 导数在物理上的应用举例（一） 导数的力学意义设物体作变速运动的方程为，则物体运动的速度是位移对时间的变化率，即位移对时间的一阶导数；此时，若速度仍是时间的函数，我们可以求速度对时间的导数，用表示，就是在力学中，称为物体的加速度，也就是说，物体运动的加速度是位移对时间的二阶导数。例1 某物体的运动方程为，求秒时的速度和加速度。解： 根据导数的力学意义，得（二） 导数的电学意义 设通过某

2、导体截面的电量是，则通过该导体的电流是电量对时间的变化率（单位时间内通过的电量），即电量的一阶导数例2 设通过某导体截面的电量 （库仑），其中为常数，时间的单位为秒，求通过该截面的电流解： 因为，所以 （安培）。二、 导数在经济工作中的应用举例（一） 边际的概念 经济学上把“某某”经济函数的导数，称为函数在处的“边际某某”，即称为函数的边际函数，称为函数在点处的边际函数值。它反映了函数在点处的变化速度。 一般地，“某某”经济函数，则“边际某某”就记作 它表示经济函数在点处，当经济量改变一个单位时，近似地改变个单位。 设成本C是产量的函数，则边际成本 设产量P是某种投入资源的函数，则边际产量 设

3、总收入R是产量的函数，则边际收入 设总利润L是产量的函数，则边际利润例3 某种产品的总成本C（万元）是产量（万件）的函数（称为总成本函数） （万元），试问当生产水平为（万件）时，从降低单位成本角度看，继续提高产量是否得当？解：当生产水平为（万件）时，总成本（万元），这时每个单位产品的平均成本为，而 ，所以生产水平（万件）时的边际成本为 由于边际成本是生产水平为（万件）时成本的瞬时变化率，可以近似地看作在这个水平上再增加一个单位产品，总成本增加的数量，它低于平均成本14，所以从降低单位成本的角度看，还应该继续提高产量。例4 某公司总利润L（元）与每天产量（吨）的关系为试确定每天生产20吨、25吨

4、和35吨时的边际利润，并予以经济解释。解： 因为 上述结果表明，当日产量为20吨时，再多生产1吨，总利润约增加50元；当日产量为25吨时，再多生产产品，则利润不再增加，且开始减少；当日产量为35吨时，再多生产1吨，则利润约减少100元。（二） 弹性的概念 例如，甲商品每单位价格5元，涨价1元；乙商品每单位价格200元，也涨价1元，两种商品价格的绝对改变量都是1元，哪个商品的涨价幅度更大呢？我们只要用它们与其原价相比就能获得问题的解答。甲商品涨价百分比为20%，乙商品涨价百分比为0.5%,显然甲商品的涨价幅度比乙商品的涨价幅度更大.为此,我们有必要研究函数的相对改变量与相对变化率.例5 设函数,

5、当从8增加到10时,相应的从64增加到100,即自变量的绝对改变量函数绝对改变量又即当增加到时,增加了25%,相应增加了56.25%,我们分别称为自变量与函数的相对改变量.如果在本例中,再引入下式则该式表示在(8,10)内,从到时,函数的平均相对变化率.因此我们有如下定义:定义 设函数在处可导,函数的相对改变量与自变量的相对改变量之比称为从到两点间的弹性.当时,的极限称为在处的弹性,记作由于也为的函数,故也称它为的弹性函数.反映了随着的变化,函数变化幅度的大小,也就是函数对自变量的变化反映的灵敏度,即表示在点处,当产生1%的改变时,函数近似地改变.例6 求幂函数(为常数)的弹性函数.解: 可见

6、,幂函数的弹性恒为常数,等于幂指数,即在任意点处的弹性不变. 设某产品的需求量为价格P的函数,通常当产品的价格上涨时,需求量就会减少,而当产品的价格下降时,需求量就会增加.根据函数弹性的定义可得,需求量Q对价格P的弹性需求量Q对价格P的弹性的经济意义是:当价格为P时,若价格上涨(或下降)1%,需求量Q将减少(或增加).例7 设某商品的需求函数为Q=60-3P,求P=10,P=15时,需求量Q对价格P的弹性,并解释其含义.解: 因为 所以 当P=10时, 当P=15时, 这表明,当价格P=10时,若涨价(或降价)1%,则需求量将减少(或增加)1%;当价格P=15时,若涨价(或降价)1%,则需求量

7、将减少(或增加)3%. 练习261. 下列说法是否正确?(1) 一汽车在刹车后秒所行的距离(米),则刹车开始时的速度为,当秒时的加速度为.(2) 生产某种产品个单位成本函数为则生产90个单位产品时,再多生产一个单位产品,成本将增加9个单位.(3) 设某种商品的总收益R是商品价格P和销售量Q乘积,如果销售量Q是价格P的函数,则当价格P=6元时,价格每上涨1%,总收益将随之增加0.67%.2. 已知一物体的运动规律为(米),求秒时速度和加速度.3. 某企业利润函数(单位:千元),为日产量(单位:吨),求每日生产20吨25吨、35吨时的边际利润.4. 某种产品的销售量Q与价格P之间的关系为,求销售价格P=时的弹性系数. 习题261. 设质点作直线运动,其运动规律给定如下,求质点在指定时刻的速度与加速度:(1) (2) (A为常数), .2. 设通过某导体截面的电量为(库仑),其中为常数,时间的单位为秒,求通过该截面的电流.3. 某产品生产个单位的总成本C为的函数(元).求生产1000件产品时的边际成本,并说明其经济意义.4. 某企业产品的成本函数和收入函数分别为其中为产品的产量,求边际成