河北省邯郸市第十三中学高三数学理测试题含解析

河北省邯郸市第十三中学高三数学理测试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.若α是锐角，且cos（）=﹣，则的值等于

（）A． B． C． D． 参考答案：A2.12名同学合影，站成了前排4人后排8人，现摄影师要从后排8人中抽2人调整到前排，若其他人的相对顺序不变，则不同调整方法的种数是 （

）A．

B．

C．

D．

参考答案：C3.在长方体中，，，点为的中点，点为对角线上的动点，点为底面上的动点（点，可以重合），则的最小值为（）A.

B.

C.

D.参考答案：C.试题分析：由题意易得：，作平面于，由对称性可知，因此，问题转化为在平面内，体对角线上找一点使得最小，如下图所示，过点作它关于直线的对称点，交直线与点,再过点作于点，交于点，则的长度即为所求的最小值，易得，∴，，.考点：立体几何中的最值问题.4.甲、乙两人玩猜数字游戏，先由甲心中想一个数字，记为，再由乙猜甲刚才所想的数字，把乙猜的数字记为，其中，若，则称甲乙“心有灵犀”。现任意找两人玩这个游戏，则他们“心有灵犀”的概率为（

）

A．

B．

C．

D．参考答案：C5.已知某几何体的三视图如图所示．则该几何体的体积是

（

）．

．

．

．参考答案：B6.已知函数为R上周期为4的奇函数，,又，则（

）A

B

C

D

参考答案：B7.某学生5次考试的成绩(单位:分)分别为85，67，m，80，93，其中,若该学生在这5次考试中成绩的中位数为80，则得分的平均数不可能为（

）A.70 B.75 C.80 D.85参考答案：D【分析】根据中位数为，可知，从而得到平均数小于等于，从而确定结果.【详解】已知的四次成绩按照由小到大的顺序排序为：，，，该学生这5次考试成绩的中位数为，则所以平均数：，可知不可能为本题正确选项：【点睛】本题考查统计中的中位数、平均数问题，关键是通过中位数确定取值范围，从而能够得到平均数的范围.8.若为定义在上的偶函数，且，当时，，则当时，（

）

A.

B.

C.

D.参考答案：【知识点】函数的奇偶性与周期性B4【答案解析】C

,则x-4[-1,1],又因为为偶函数，[-1,0]和[0,1]对称，所以f（x）=,故选C。【思路点拨】根据函数的奇偶性和周期性求出解析式。9.已知集合，则中元素的个数是A.2

B.3

C.4

D.5参考答案：B当时，；当时，；当时，；当时，，所以，所以，故选B.10.已知向量，若，则的最小值为（

）

A．

B．12

C．6

D．参考答案：C因为，所以，即，所以。则，当且仅当取等号，所以最小值为6，选C.二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.给出下列四个命题：①若

②若；③若

④的最小值为9.其中正确命题的序号是 .（把你认为正确命题的序号都填上）参考答案：答案：②④12.函数的最小正周期为

参考答案：13.已知，，则向量在向量上的投影为

。参考答案：14.给定集合S={x1，x2，…，xn}（n≥2，xk∈R且xk≠0，1≤k≤n），（且），定义点集T={（xi，xj）|xi∈S，xj∈S}．若对任意点A1∈T，存在点A2∈T，使得（O为坐标原点），则称集合S具有性质P．给出以下四个结论：①{﹣5，5}具有性质P；②{﹣2，1，2，4}具有性质P；③若集合S具有性质P，则S中一定存在两数xi，xj，使得xi+xj=0；④若集合S具有性质P，xi是S中任一数，则在S中一定存在xj，使得xi+xj=0．其中正确的结论有．（填上你认为所有正确的结论的序号）参考答案：①③【考点】元素与集合关系的判断．【分析】利用集合S具有性质P的概念，{﹣5，5}﹣5，5与{﹣2，1，2，4}分析判断即可；取A1（xi，xi），集合S具有性质P，故存在点A2（xi，xj）使得OA1⊥OA2，利用向量的坐标运算整理即可证得xi+xj=0；数列{xn}中一定存在两项xi，xj使得xi+xj=0；【解答】解：集合S具有性质P，若A1（﹣5，5），则A2（5，5），若A1（﹣5，﹣5）则A2（5，﹣5），均满足OA1⊥OA2，所以①具有性质P，故①正确；对于②，当A1（﹣2，3）若存在A2（x，y）满足OA1⊥OA2，即﹣2x+3y=0，即，集合S中不存在这样的数x，y，因此②不具有性质P，故②不正确；取A1（xi，xi），又集合S具有性质P，所以存在点A2（xi，xj）使得OA1⊥OA2，即xixi+xixj=0，又xi≠0，所以xi+xj=0，故③正确；由③知，集合S中一定存在两项xi，xj使得xi+xj=0；假设x2≠1，则存在k（2＜k＜n，k∈N*）有xk=1，所以0＜x2＜1．此时取A1（x2，xn），集合S具有性质P，所以存在点A2（xi，xs）使得OA1⊥OA2，所以x2xi+xnxs=0；只有x1，所以当x1=﹣1时x2=xnxs＞xs≥x2，矛盾，∴xi是S中任一数，则在S中一定存在xj，使得xi+xj=0．故④不正确；故答案为：①③15.若x，y满足约束条件，则的最大值为

．参考答案：316.设是非零实数，，若则————参考答案：解析：已知

………………（1）

将（1）改写成

.

而.

所以有

.

即,也即

将该值记为C。则由（1）知，

。于是有，.

而17.球O的球面上有四点S，A，B，C，其中O，A，B，C四点共面，△ABC是边长为2的正三角形，平面SAB⊥平面ABC，则棱锥S﹣ABC的体积的最大值为．参考答案：【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．【专题】计算题；空间位置关系与距离．【分析】由于面SAB⊥面ABC，所以点S在平面ABC上的射影H落在AB上，根据球体的对称性可知，当S在“最高点”，也就是说H为AB中点时，SH最大，棱锥S﹣ABC的体积最大．【解答】解：由题意画出几何体的图形如图由于面SAB⊥面ABC，所以点S在平面ABC上的射影H落在AB上，根据球体的对称性可知，当S在“最高点”，也就是说H为AB中点时，SH最大，棱锥S﹣ABC的体积最大．∵△ABC是边长为2的正三角形，所以球的半径r=OC=CH=．在RT△SHO中，OH=OC=OS∴∠HSO=30°，求得SH=OScos30°=1，∴体积V=Sh=××22×1=．故答案是．【点评】本题考查锥体体积计算，根据几何体的结构特征确定出S位置是关键．考查空间想象能力、计算能力．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（本小题满分13分）已知向量a＝(x，y)，b＝(1,0)，且(a＋b)⊥(a－b)．(1)求点Q(x，y)的轨迹C的方程；(2)设曲线C与直线y＝kx＋m相交于不同的两点M、N，又点A(0，－1)，当|AM|＝|AN|时，求实数m的取值范围．参考答案：19.在中，分别为角的对边，△ABC的面积S满足.（1）求角的值；（2）若，设角的大小为用表示，并求的取值范围．

参考答案：略20.已知等差数列{}的公差大于0，且a3，a5是方程－14x＋45＝0的两根，数列{}的前n项和为，且＝（n∈N﹡）．

（Ⅰ）求数列{}，{}的通项公式；

（Ⅱ）记＝·，求证：≤；

（Ⅲ）求数列{}的前n项和．参考答案：略21.已知函数f(x)=sin2x+cos2x．（Ⅰ）f(0)=

；（将结果直接填写在答题卡的相应位置上）（Ⅱ）求函数f(x)的最小正周期及单调递增区间.参考答案：（Ⅰ）解：．

……2分（Ⅱ）解：由题意得.所以.

因为，，所以，.所以的单调递增区间是，.

…………5分22.若存在实常数和，使得函数和对其定义域上的任意实数分别满足：和，则称直线为和的“隔离直线”．已知，为自然对数的底数)．（1）求的极值；（2）函数和是否存在隔离直线？若存在，求出此隔离直线方程；若不存在，请说明理由．参考答案：解(1)，．

…………2分当时，．

…………3分当时，，此时函数递减；

当时，，此时函数递增；∴当时，取极小值，其极小值为．

…………6分(2)解法一：由（1）可知函数和的图象在处有公共点，因此若存在和的隔离直线，则该直线过这个公共点．

…………7分设隔离直线的斜率为，则直线方程为，即．

…………8分由，可得当时恒成立．，

由，得．

…………10分下面证明当时恒成立．令，则，

………Ks5u